Номер 560, страница 262 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 560, страница 262.

Условие.

Вычислите с помощью формулы (4) приближенные значения (560—561).

560.— a) $24^{\frac{1}{3}}$; б) $\sqrt[4]{625 \cdot 3}$; в) $\sqrt[3]{81}$; г) $\sqrt[4]{48}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для вычисления приближенных значений воспользуемся формулой линейного приближения функции, которая, по-видимому, имеется в виду под «формулой (4)»:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$

где $f(x)$ — вычисляемая функция, $x_0$ — точка, близкая к искомому значению, в которой значение функции и ее производной легко вычислить, а $\Delta x$ — приращение аргумента.

а) Вычислим приближенное значение для $243^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{243}$.

1. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x}$.

2. Выберем точку $x_0$, близкую к 243, для которой кубический корень известен. Ближайший к 243 куб целого числа — это $6^3 = 216$. Итак, пусть $x_0 = 216$.

3. Найдем приращение $\Delta x = 243 - x_0 = 243 - 216 = 27$.

4. Найдем производную функции: $f'(x) = (\sqrt[3]{x})' = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

5. Вычислим значения функции и ее производной в точке $x_0=216$:

$f(x_0) = f(216) = \sqrt[3]{216} = 6$.

$f'(x_0) = f'(216) = \frac{1}{3\sqrt[3]{216^2}} = \frac{1}{3 \cdot (\sqrt[3]{216})^2} = \frac{1}{3 \cdot 6^2} = \frac{1}{3 \cdot 36} = \frac{1}{108}$.

6. Подставим найденные значения в формулу приближения:

$\sqrt[3]{243} = f(216 + 27) \approx f(216) + f'(216) \cdot 27 = 6 + \frac{1}{108} \cdot 27 = 6 + \frac{27}{108} = 6 + \frac{1}{4} = 6.25$.

Ответ: 6.25.

б) Вычислим приближенное значение для $\sqrt[4]{625 \cdot 3}$.

1. Упростим выражение: $\sqrt[4]{625 \cdot 3} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{3} = 5\sqrt[4]{3}$. Теперь задача сводится к вычислению приближенного значения $\sqrt[4]{3}$.

2. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{x}$.

3. Выберем $x_0 = 1$, так как $1^4=1$ и это число близко к 3. Тогда $\Delta x = 3 - 1 = 2$.

4. Найдем производную: $f'(x) = (\sqrt[4]{x})' = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

5. Вычислим значения в точке $x_0=1$:

$f(x_0) = f(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.

$f'(x_0) = f'(1) = \frac{1}{4\sqrt[4]{1^3}} = \frac{1}{4}$.

6. Найдем приближенное значение для $\sqrt[4]{3}$:

$\sqrt[4]{3} = f(1+2) \approx f(1) + f'(1) \cdot 2 = 1 + \frac{1}{4} \cdot 2 = 1 + \frac{1}{2} = 1.5$.

7. Теперь вычислим исходное выражение:

$\sqrt[4]{625 \cdot 3} = 5\sqrt[4]{3} \approx 5 \cdot 1.5 = 7.5$.

Ответ: 7.5.

в) Вычислим приближенное значение для $\sqrt[3]{81}$.

1. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x}$.

2. Ближайший к 81 куб целого числа — это $4^3 = 64$. Выберем $x_0 = 64$.

3. Приращение $\Delta x = 81 - 64 = 17$.

4. Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

5. Вычислим значения в точке $x_0=64$:

$f(x_0) = f(64) = \sqrt[3]{64} = 4$.

$f'(x_0) = f'(64) = \frac{1}{3\sqrt[3]{64^2}} = \frac{1}{3 \cdot (\sqrt[3]{64})^2} = \frac{1}{3 \cdot 4^2} = \frac{1}{3 \cdot 16} = \frac{1}{48}$.

6. Подставим в формулу:

$\sqrt[3]{81} = f(64 + 17) \approx f(64) + f'(64) \cdot 17 = 4 + \frac{1}{48} \cdot 17 = 4 + \frac{17}{48} = 4\frac{17}{48}$.

Ответ: $4\frac{17}{48}$.

г) Вычислим приближенное значение для $\sqrt[4]{48}$.

1. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{x}$.

2. Найдем число, близкое к 48, из которого легко извлекается корень 4-й степени. Возможные варианты: $2^4 = 16$ и $3^4 = 81$. Для получения более точного результата выберем точку $x_0 = 81$, так как относительное приращение $|\frac{\Delta x}{x_0}|$ будет меньше.

3. Выберем $x_0 = 81$. Тогда приращение $\Delta x = 48 - 81 = -33$.

4. Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

5. Вычислим значения в точке $x_0=81$:

$f(x_0) = f(81) = \sqrt[4]{81} = 3$.

$f'(x_0) = f'(81) = \frac{1}{4\sqrt[4]{81^3}} = \frac{1}{4 \cdot (\sqrt[4]{81})^3} = \frac{1}{4 \cdot 3^3} = \frac{1}{4 \cdot 27} = \frac{1}{108}$.

6. Подставим в формулу:

$\sqrt[4]{48} = f(81 - 33) \approx f(81) + f'(81) \cdot (-33) = 3 + \frac{1}{108} \cdot (-33) = 3 - \frac{33}{108}$.

Сократим дробь: $\frac{33}{108} = \frac{11 \cdot 3}{36 \cdot 3} = \frac{11}{36}$.

Тогда $\sqrt[4]{48} \approx 3 - \frac{11}{36} = \frac{108 - 11}{36} = \frac{97}{36}$.

Ответ: $\frac{97}{36}$.