Номер 563, страница 262 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 563, страница 262.

Условие.

563. Найдите общий вид первообразных для функции:

a) $f(x) = -\frac{1}{2} x^{-\sqrt{2}};$

б) $f(x) = x^{2\sqrt{3}};$

в) $f(x) = 3x^{-1};$

г) $f(x) = x^{e}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = -\frac{1}{2}x^{-\sqrt{2}}$ используется формула для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, так как показатель степени $n = -\sqrt{2} \neq -1$.
Постоянный множитель $-\frac{1}{2}$ можно вынести за знак интеграла:
$F(x) = \int -\frac{1}{2}x^{-\sqrt{2}} dx = -\frac{1}{2} \int x^{-\sqrt{2}} dx$.
Применяем формулу, подставляя $n = -\sqrt{2}$:
$F(x) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\sqrt{2}+1}}{-\sqrt{2}+1} + C$.
Упростим полученное выражение:
$F(x) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1-\sqrt{2}}}{1-\sqrt{2}} + C = -\frac{x^{1-\sqrt{2}}}{2(1-\sqrt{2})} + C = \frac{x^{1-\sqrt{2}}}{2(\sqrt{2}-1)} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^{1-\sqrt{2}}}{2(\sqrt{2}-1)} + C$.

б) Для функции $f(x) = x^{2\sqrt{3}}$ также применяется формула для интегрирования степенной функции, так как показатель степени $n = 2\sqrt{3} \neq -1$.
$F(x) = \int x^{2\sqrt{3}} dx$.
Подставляем в формулу $n = 2\sqrt{3}$:
$F(x) = \frac{x^{2\sqrt{3}+1}}{2\sqrt{3}+1} + C$.
Это выражение является окончательным, так как дальнейшее упрощение нецелесообразно.
Ответ: $F(x) = \frac{x^{2\sqrt{3}+1}}{2\sqrt{3}+1} + C$.

в) Функция $f(x) = 3x^{-1}$ представляет собой частный случай степенной функции, где показатель степени $n = -1$. В этом случае формула для первообразной имеет вид $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.
Вынесем постоянный множитель 3 за знак интеграла:
$F(x) = \int 3x^{-1} dx = 3 \int x^{-1} dx = 3 \int \frac{1}{x} dx$.
Применяем формулу для данного случая:
$F(x) = 3\ln|x| + C$.
Знак модуля у аргумента логарифма необходим, так как область определения исходной функции $f(x) = \frac{3}{x}$ включает все действительные числа, кроме нуля ($x \neq 0$), а логарифм определен только для положительных чисел.
Ответ: $F(x) = 3\ln|x| + C$.

г) Для функции $f(x) = x^e$ используется стандартная формула для интегрирования степенной функции, так как показатель степени $n = e$ (число Эйлера, $e \approx 2.718$) не равен -1.
$F(x) = \int x^e dx$.
Применяем формулу, подставляя $n = e$:
$F(x) = \frac{x^{e+1}}{e+1} + C$.
Это окончательный вид первообразной.
Ответ: $F(x) = \frac{x^{e+1}}{e+1} + C$.