Номер 569, страница 268 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Производная показательной и логарифмической функций - номер 569, страница 268.

Условие.

569. – Докажите, что функция $y = 5e^{3x}$ удовлетворяет уравнению $y' = 3y$.

Решение 1.

Решение 5.

Чтобы доказать, что функция $y = 5e^{3x}$ удовлетворяет уравнению $y' = 3y$, нужно найти производную функции $y$ по переменной $x$ и подставить полученное выражение и саму функцию в данное уравнение.

1. Нахождение производной.
Дана функция $y = 5e^{3x}$.
Найдем ее производную $y'$, используя правило дифференцирования сложной функции. Если $f(x) = e^{u(x)}$, то $f'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$. В нашем случае $u(x) = 3x$, и производная $u'(x) = 3$.
$y' = (5e^{3x})' = 5 \cdot (e^{3x})' = 5 \cdot e^{3x} \cdot (3x)' = 5 \cdot e^{3x} \cdot 3 = 15e^{3x}$.

2. Подстановка в уравнение.
Теперь подставим выражения для $y$ и $y'$ в уравнение $y' = 3y$.
Левая часть уравнения: $y' = 15e^{3x}$.
Правая часть уравнения: $3y = 3 \cdot (5e^{3x}) = 15e^{3x}$.

Сравниваем левую и правую части:
$15e^{3x} = 15e^{3x}$.

Так как левая часть уравнения равна правой, мы получили верное тождество. Это доказывает, что функция $y = 5e^{3x}$ является решением дифференциального уравнения $y' = 3y$.

Ответ: Утверждение доказано.