Страница 268 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

569. – Докажите, что функция $y = 5e^{3x}$ удовлетворяет уравнению $y' = 3y$.

Чтобы доказать, что функция $y = 5e^{3x}$ удовлетворяет уравнению $y' = 3y$, нужно найти производную функции $y$ по переменной $x$ и подставить полученное выражение и саму функцию в данное уравнение.

1. Нахождение производной.
Дана функция $y = 5e^{3x}$.
Найдем ее производную $y'$, используя правило дифференцирования сложной функции. Если $f(x) = e^{u(x)}$, то $f'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$. В нашем случае $u(x) = 3x$, и производная $u'(x) = 3$.
$y' = (5e^{3x})' = 5 \cdot (e^{3x})' = 5 \cdot e^{3x} \cdot (3x)' = 5 \cdot e^{3x} \cdot 3 = 15e^{3x}$.

2. Подстановка в уравнение.
Теперь подставим выражения для $y$ и $y'$ в уравнение $y' = 3y$.
Левая часть уравнения: $y' = 15e^{3x}$.
Правая часть уравнения: $3y = 3 \cdot (5e^{3x}) = 15e^{3x}$.

Сравниваем левую и правую части:
$15e^{3x} = 15e^{3x}$.

Так как левая часть уравнения равна правой, мы получили верное тождество. Это доказывает, что функция $y = 5e^{3x}$ является решением дифференциального уравнения $y' = 3y$.

Ответ: Утверждение доказано.

570. Докажите, что функция $y = 7e^{-2x}$ удовлетворяет уравнению

$y' = -2y.$

Для того чтобы доказать, что функция $y = 7e^{-2x}$ удовлетворяет уравнению $y' = -2y$, необходимо найти производную этой функции и подставить её вместе с исходной функцией в уравнение, чтобы проверить, выполняется ли равенство.

1. Нахождение производной функции

Дана функция $y = 7e^{-2x}$. Найдём её производную $y'$ по переменной $x$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования произведения константы на функцию и правилом дифференцирования сложной функции.

Производная от показательной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$. В нашем случае $u = -2x$, следовательно, производная внутреннего аргумента $u' = (-2x)' = -2$.

$y' = (7e^{-2x})' = 7 \cdot (e^{-2x})' = 7 \cdot e^{-2x} \cdot (-2x)' = 7 \cdot e^{-2x} \cdot (-2) = -14e^{-2x}$

2. Подстановка в уравнение и проверка тождества

Теперь подставим полученное выражение для производной $y' = -14e^{-2x}$ и исходное выражение для функции $y = 7e^{-2x}$ в дифференциальное уравнение $y' = -2y$.

Подставляем в левую часть уравнения:

$y' = -14e^{-2x}$

Подставляем в правую часть уравнения:

$-2y = -2 \cdot (7e^{-2x}) = -14e^{-2x}$

Сравниваем левую и правую части уравнения:

$-14e^{-2x} = -14e^{-2x}$

Поскольку левая часть уравнения равна правой, мы получили верное тождество. Это доказывает, что функция $y = 7e^{-2x}$ является решением данного уравнения.

Ответ: Что и требовалось доказать: функция $y = 7e^{-2x}$ удовлетворяет уравнению $y' = -2y$.

571. Докажите, что функция $y = 3e^{-7x}$ удовлетворяет уравнению $y' = -7y$.

Для того чтобы доказать, что функция $y = 3e^{-7x}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $y' = -7y$, необходимо найти производную данной функции и подставить ее и саму функцию в уравнение.

1. Найдем производную функции $y = 3e^{-7x}$

Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная показательной функции $(e^{u})'$ равна $e^u \cdot u'$. В нашем случае, $u = -7x$, и производная внутренней функции $u' = -7$.

$y' = (3e^{-7x})' = 3 \cdot (e^{-7x})' = 3 \cdot e^{-7x} \cdot (-7x)' = 3 \cdot e^{-7x} \cdot (-7) = -21e^{-7x}$.

2. Подставим найденную производную $y'$ и исходную функцию $y$ в уравнение $y' = -7y$

Подставляем выражения в левую и правую части уравнения, чтобы проверить, выполняется ли равенство.

Левая часть уравнения: $y' = -21e^{-7x}$.

Правая часть уравнения: $-7y = -7 \cdot (3e^{-7x}) = -21e^{-7x}$.

3. Сравним левую и правую части

$-21e^{-7x} = -21e^{-7x}$.

Мы получили верное тождество. Это означает, что функция $y = 3e^{-7x}$ является решением данного дифференциального уравнения.

Ответ: Что и требовалось доказать.

572. Найдите какое-нибудь отличное от нуля решение дифференциального уравнения:

a) $y'' = -25y$;

б) $\frac{1}{9} y'' + 4y = 0$;

в) $4y'' + 16y = 0$;

г) $y'' = -\frac{1}{4} y.$

Все представленные уравнения являются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами вида $y'' + \omega^2 y = 0$. Общее решение таких уравнений имеет вид $y(x) = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$. Для нахождения какого-либо ненулевого решения достаточно определить $\omega$ и выбрать ненулевые константы $C_1$ или $C_2$. В качестве примеров будем использовать частные решения, где одна из констант равна 1, а другая — 0.

а) $y'' = -25y$

Перепишем уравнение в стандартном виде $y'' + \omega^2 y = 0$:

$y'' + 25y = 0$

Отсюда квадрат угловой частоты $\omega^2 = 25$, следовательно, $\omega = 5$.

Общее решение: $y(x) = C_1 \cos(5x) + C_2 \sin(5x)$.

Выберем в качестве частного ненулевого решения $y = \sin(5x)$. Проверим его, найдя вторую производную:

$y' = 5\cos(5x)$

$y'' = -25\sin(5x)$

Подставляя в исходное уравнение, получаем верное тождество:

$-25\sin(5x) = -25 \cdot (\sin(5x))$

Ответ: $y = \sin(5x)$

б) $\frac{1}{9}y'' + 4y = 0$

Приведем уравнение к стандартному виду, умножив обе части на 9:

$y'' + 36y = 0$

Здесь $\omega^2 = 36$, значит $\omega = 6$.

Общее решение: $y(x) = C_1 \cos(6x) + C_2 \sin(6x)$.

Возьмем в качестве частного решения $y = \cos(6x)$. Его производные:

$y' = -6\sin(6x)$

$y'' = -36\cos(6x)$

Подставим в исходное уравнение:

$\frac{1}{9}(-36\cos(6x)) + 4(\cos(6x)) = -4\cos(6x) + 4\cos(6x) = 0$

Решение верное.

Ответ: $y = \cos(6x)$

в) $4y'' + 16y = 0$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы привести его к стандартному виду:

$y'' + 4y = 0$

Отсюда $\omega^2 = 4$, и $\omega = 2$.

Общее решение: $y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$.

Выберем в качестве частного решения $y = \sin(2x)$. Найдем производные:

$y' = 2\cos(2x)$

$y'' = -4\sin(2x)$

Проверим подстановкой в исходное уравнение:

$4(-4\sin(2x)) + 16(\sin(2x)) = -16\sin(2x) + 16\sin(2x) = 0$

Решение верное.

Ответ: $y = \sin(2x)$

г) $y'' = -\frac{1}{4}y$

Перепишем уравнение в стандартном виде:

$y'' + \frac{1}{4}y = 0$

Здесь $\omega^2 = \frac{1}{4}$, следовательно, $\omega = \frac{1}{2}$.

Общее решение: $y(x) = C_1 \cos(\frac{x}{2}) + C_2 \sin(\frac{x}{2})$.

Возьмем в качестве частного решения $y = \cos(\frac{x}{2})$. Его производные:

$y' = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$

$y'' = -\frac{1}{4}\cos(\frac{x}{2})$

Подставим в исходное уравнение:

$-\frac{1}{4}\cos(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{4} \cdot (\cos(\frac{x}{2}))$

Решение верное.

Ответ: $y = \cos(\frac{x}{2})$

573.- Напишите дифференциальное уравнение гармонического колебания:

a) $x = 2 \cos (2t - 1)$;

б) $x = 6,4 \cos (0,1t + \frac{\pi}{7})$;

в) $x = 4 \sin (3t - \frac{\pi}{4})$;

г) $x = 0,71 \sin (0,3t - 0,7)$.

Общее дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид: $x'' + \omega^2 x = 0$, где $x$ — смещение, $x''$ — вторая производная смещения по времени (ускорение), а $\omega$ — циклическая (круговая) частота колебаний.

Уравнение движения для гармонического колебания в общем виде записывается как $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ или $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза.

Для нахождения дифференциального уравнения для каждого случая необходимо определить циклическую частоту $\omega$ из данного уравнения движения и подставить ее в общее дифференциальное уравнение.

а)

Дано уравнение колебаний: $x = 2 \cos(2t - 1)$.

Из сравнения с общей формой $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ видно, что циклическая частота $\omega$ (коэффициент при $t$) равна 2.

$\omega = 2$ рад/с.

Теперь подставим это значение в дифференциальное уравнение $x'' + \omega^2 x = 0$:

$x'' + 2^2 x = 0$

$x'' + 4x = 0$

Ответ: $x'' + 4x = 0$.

б)

Дано уравнение колебаний: $x = 6,4 \cos(0,1t + \frac{\pi}{7})$.

Из сравнения с общей формой $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ находим циклическую частоту $\omega$:

$\omega = 0,1$ рад/с.

Подставляем значение $\omega$ в дифференциальное уравнение $x'' + \omega^2 x = 0$:

$x'' + (0,1)^2 x = 0$

$x'' + 0,01x = 0$

Ответ: $x'' + 0,01x = 0$.

в)

Дано уравнение колебаний: $x = 4 \sin(3t - \frac{\pi}{4})$.

Из сравнения с общей формой $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$ находим циклическую частоту $\omega$:

$\omega = 3$ рад/с.

Подставляем значение $\omega$ в дифференциальное уравнение $x'' + \omega^2 x = 0$:

$x'' + 3^2 x = 0$

$x'' + 9x = 0$

Ответ: $x'' + 9x = 0$.

г)

Дано уравнение колебаний: $x = 0,71 \sin(0,3t - 0,7)$.

Из сравнения с общей формой $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$ находим циклическую частоту $\omega$:

$\omega = 0,3$ рад/с.

Подставляем значение $\omega$ в дифференциальное уравнение $x'' + \omega^2 x = 0$:

$x'' + (0,3)^2 x = 0$

$x'' + 0,09x = 0$

Ответ: $x'' + 0,09x = 0$.

574. – Докажите, что сумма двух гармонических колебаний $x_1 (t) = A_1 \cos (\omega_1 t + \varphi_1)$ и $x_2 (t) = A_2 \cos (\omega_2 t + \varphi_2)$ будет периодической функцией тогда и только тогда, когда отношение частот есть рациональное число $r$, т. е. $\frac{\omega_1}{\omega_2}=r$.

Для доказательства утверждения «тогда и только тогда, когда» необходимо доказать два взаимно обратных утверждения: достаточность и необходимость. Рассматривается функция $x(t)$, представляющая собой сумму двух гармонических колебаний:

$x(t) = x_1(t) + x_2(t) = A_1 \cos(\omega_1 t + \phi_1) + A_2 \cos(\omega_2 t + \phi_2)$

Функция $f(t)$ называется периодической, если существует такое число $T > 0$ (период), что для любого $t$ из области определения выполняется равенство $f(t+T) = f(t)$.

Доказательство достаточности

В этой части мы докажем, что если отношение частот $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ является рациональным числом, то функция $x(t)$ является периодической.

Пусть отношение частот рационально, то есть $\frac{\omega_1}{\omega_2} = r = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа (можно считать их натуральными и взаимно простыми). Из этого соотношения следует, что $q\omega_1 = p\omega_2$.

Периоды каждого из слагаемых-колебаний равны соответственно $T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1}$ и $T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2}$.

Для того чтобы сумма функций была периодической, достаточно, чтобы существовал общий период $T$, который был бы кратен периодам каждого из слагаемых. То есть, должны существовать такие целые числа $n_1$ и $n_2$, что $T = n_1 T_1 = n_2 T_2$.

Подставим выражения для $T_1$ и $T_2$:

$n_1 \frac{2\pi}{\omega_1} = n_2 \frac{2\pi}{\omega_2} \implies \frac{n_1}{n_2} = \frac{\omega_1}{\omega_2}$

По нашему условию, $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{p}{q}$. Следовательно, мы можем выбрать $n_1 = p$ и $n_2 = q$.

Таким образом, существует общий период $T = p T_1 = p \frac{2\pi}{\omega_1}$, который также равен $T = q T_2 = q \frac{2\pi}{\omega_2}$. Проверим равенство этих выражений, используя $q\omega_1 = p\omega_2$:

$p \frac{2\pi}{\omega_1} = p \frac{2\pi q}{p\omega_2} = q \frac{2\pi}{\omega_2}$

Равенство выполняется. Теперь проверим, является ли $x(t)$ периодической с периодом $T$:

$x(t+T) = A_1 \cos(\omega_1(t+T) + \phi_1) + A_2 \cos(\omega_2(t+T) + \phi_2)$

Рассмотрим аргументы косинусов отдельно:

$\omega_1(t+T) + \phi_1 = \omega_1 t + \omega_1 T + \phi_1 = \omega_1 t + \phi_1 + \omega_1 (p \frac{2\pi}{\omega_1}) = \omega_1 t + \phi_1 + 2\pi p$

$\omega_2(t+T) + \phi_2 = \omega_2 t + \omega_2 T + \phi_2 = \omega_2 t + \phi_2 + \omega_2 (q \frac{2\pi}{\omega_2}) = \omega_2 t + \phi_2 + 2\pi q$

Поскольку $p$ и $q$ — целые числа, а функция косинуса имеет период $2\pi$, то $\cos(\theta + 2\pi k) = \cos(\theta)$ для любого целого $k$. Следовательно:

$\cos(\omega_1 t + \phi_1 + 2\pi p) = \cos(\omega_1 t + \phi_1)$

$\cos(\omega_2 t + \phi_2 + 2\pi q) = \cos(\omega_2 t + \phi_2)$

Подставляя это обратно в выражение для $x(t+T)$, получаем:

$x(t+T) = A_1 \cos(\omega_1 t + \phi_1) + A_2 \cos(\omega_2 t + \phi_2) = x(t)$

Таким образом, функция $x(t)$ является периодической. Достаточность доказана.

Доказательство необходимости

В этой части мы докажем, что если функция $x(t)$ является периодической, то отношение частот $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ является рациональным числом.

Пусть функция $x(t)$ является периодической с периодом $T > 0$. Это означает, что для всех $t$ выполняется равенство $x(t+T) = x(t)$.

$A_1 \cos(\omega_1(t+T) + \phi_1) + A_2 \cos(\omega_2(t+T) + \phi_2) = A_1 \cos(\omega_1 t + \phi_1) + A_2 \cos(\omega_2 t + \phi_2)$

Будем считать, что амплитуды $A_1, A_2$ не равны нулю, и частоты $\omega_1, \omega_2$ положительны. Если $\omega_1 = \omega_2$, то их отношение равно 1, что является рациональным числом, и утверждение выполнено. Рассмотрим случай $\omega_1 \neq \omega_2$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$A_1[\cos(\omega_1(t+T) + \phi_1) - \cos(\omega_1 t + \phi_1)] + A_2[\cos(\omega_2(t+T) + \phi_2) - \cos(\omega_2 t + \phi_2)] = 0$

Применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$A_1 \left[-2\sin\left(\omega_1 t + \phi_1 + \frac{\omega_1 T}{2}\right)\sin\left(\frac{\omega_1 T}{2}\right)\right] + A_2 \left[-2\sin\left(\omega_2 t + \phi_2 + \frac{\omega_2 T}{2}\right)\sin\left(\frac{\omega_2 T}{2}\right)\right] = 0$

Разделив на -2, получим:

$A_1 \sin\left(\frac{\omega_1 T}{2}\right) \sin\left(\omega_1 t + \phi_1 + \frac{\omega_1 T}{2}\right) + A_2 \sin\left(\frac{\omega_2 T}{2}\right) \sin\left(\omega_2 t + \phi_2 + \frac{\omega_2 T}{2}\right) = 0$

Это равенство должно выполняться для всех $t$. Функции $f_1(t) = \sin(\omega_1 t + \psi_1)$ и $f_2(t) = \sin(\omega_2 t + \psi_2)$ при $\omega_1 \neq \omega_2$ являются линейно независимыми. Это означает, что их линейная комбинация равна нулю для всех $t$ только в том случае, если коэффициенты при них равны нулю.

Следовательно, должны выполняться условия:

$A_1 \sin\left(\frac{\omega_1 T}{2}\right) = 0$

$A_2 \sin\left(\frac{\omega_2 T}{2}\right) = 0$

Поскольку мы предположили, что $A_1 \neq 0$ и $A_2 \neq 0$, то должны быть равны нулю синусы:

$\sin\left(\frac{\omega_1 T}{2}\right) = 0 \implies \frac{\omega_1 T}{2} = \pi n_1$ для некоторого целого $n_1$.

$\sin\left(\frac{\omega_2 T}{2}\right) = 0 \implies \frac{\omega_2 T}{2} = \pi n_2$ для некоторого целого $n_2$.

Так как $T>0$ и $\omega_1, \omega_2 > 0$, то $n_1$ и $n_2$ должны быть ненулевыми целыми числами.

Из этих двух равенств можно выразить период $T$:

$T = \frac{2\pi n_1}{\omega_1}$

$T = \frac{2\pi n_2}{\omega_2}$

Приравнивая эти выражения для $T$, получаем:

$\frac{2\pi n_1}{\omega_1} = \frac{2\pi n_2}{\omega_2}$

$\frac{n_1}{\omega_1} = \frac{n_2}{\omega_2} \implies \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{n_1}{n_2}$

Поскольку $n_1$ и $n_2$ — ненулевые целые числа, их отношение $\frac{n_1}{n_2}$ является рациональным числом. Необходимость доказана.

Ответ: Доказано, что сумма двух гармонических колебаний $x(t) = A_1 \cos(\omega_1 t + \phi_1) + A_2 \cos(\omega_2 t + \phi_2)$ является периодической функцией тогда и только тогда, когда отношение их частот $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ является рациональным числом.

От $m$ миллиграммов радия $C$ через $t$ минут радиоактивного распада осталось $n$ миллиграммов. Найдите период полураспада радия $C$.

Закон радиоактивного распада описывает, как количество радиоактивного вещества уменьшается со временем. Этот процесс подчиняется экспоненциальному закону. Формула, связывающая начальное и конечное количество вещества с периодом полураспада, выглядит следующим образом:

$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

где $N(t)$ — количество вещества, оставшееся через время $t$; $N_0$ — начальное количество вещества; $t$ — прошедшее время; $T$ — период полураспада, то есть время, за которое количество вещества уменьшается вдвое.

В условиях данной задачи нам дано: начальное количество радия $N_0 = m$ миллиграммов; количество радия, оставшееся через $t$ минут, $N(t) = n$ миллиграммов; время распада составляет $t$ минут. Нам необходимо найти период полураспада $T$.

Подставим известные значения в формулу закона радиоактивного распада:

$n = m \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

Для того чтобы найти $T$, необходимо решить это уравнение относительно этой переменной. Сначала разделим обе части уравнения на $m$ (поскольку $m > n > 0$, деление на $m$ корректно):

$\frac{n}{m} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

Чтобы выделить показатель степени $\frac{t}{T}$, прологарифмируем обе части уравнения. Можно использовать логарифм по любому основанию, но наиболее удобным является натуральный логарифм ($\ln$).

$\ln\left(\frac{n}{m}\right) = \ln\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\right)$

Воспользуемся свойством логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$:

$\ln\left(\frac{n}{m}\right) = \frac{t}{T} \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

Используя свойства логарифмов $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(1) - \ln(2) = -\ln(2)$ и $\ln\left(\frac{n}{m}\right) = - \ln\left(\frac{m}{n}\right)$, преобразуем уравнение:

$-\ln\left(\frac{m}{n}\right) = \frac{t}{T} \cdot (-\ln(2))$

Умножим обе части на $-1$, чтобы избавиться от знаков минуса:

$\ln\left(\frac{m}{n}\right) = \frac{t}{T} \cdot \ln(2)$

Теперь выразим искомую величину $T$. Для этого умножим обе части на $T$ и разделим на $\ln\left(\frac{m}{n}\right)$:

$T \cdot \ln\left(\frac{m}{n}\right) = t \cdot \ln(2)$

$T = \frac{t \cdot \ln(2)}{\ln\left(\frac{m}{n}\right)}$

Эту формулу можно также записать, используя свойство логарифма частного $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$:

$T = \frac{t \cdot \ln(2)}{\ln(m) - \ln(n)}$

Так как время $t$ было дано в минутах, то и период полураспада $T$ будет выражен в минутах.

Ответ: $T = \frac{t \cdot \ln 2}{\ln(m/n)}$ минут.

К началу радиоактивного распада имели 1 г радия А. Через сколько минут его останется 0,125 г, если его период полураспада равен 3 мин?

Для решения этой задачи используется закон радиоактивного распада. Этот закон описывает, как со временем уменьшается количество радиоактивного вещества.

Способ 1: Использование формулы

Формула закона радиоактивного распада имеет вид:$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$где:

• $m$ – масса вещества, оставшаяся после распада;
• $m_0$ – начальная масса вещества;
• $t$ – время распада;
• $T$ – период полураспада.

Согласно условиям задачи:

• $m_0 = 1$ г
• $m = 0,125$ г
• $T = 3$ мин

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти время $t$:$0,125 = 1 \cdot 2^{-\frac{t}{3}}$

Сначала преобразуем десятичную дробь 0,125 в обыкновенную, а затем в степень с основанием 2:$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$

Теперь уравнение выглядит так:$2^{-3} = 2^{-\frac{t}{3}}$

Так как основания степеней одинаковы, мы можем приравнять их показатели:$-3 = -\frac{t}{3}$

Умножим обе части уравнения на $-3$:$t = (-3) \cdot (-3) = 9$

Таким образом, время распада составляет 9 минут.

Способ 2: Логический расчет

Период полураспада – это время, за которое количество вещества уменьшается вдвое. Рассчитаем массу радия после каждого периода полураспада.

• Начальная масса: 1 г.
• После первого периода полураспада (через 3 мин): масса уменьшится в 2 раза и станет $1 / 2 = 0,5$ г.
• После второго периода полураспада (через 3 + 3 = 6 мин): масса снова уменьшится в 2 раза и станет $0,5 / 2 = 0,25$ г.
• После третьего периода полураспада (через 6 + 3 = 9 мин): масса вновь уменьшится в 2 раза и станет $0,25 / 2 = 0,125$ г.

Мы получили требуемую массу 0,125 г. Это произошло через 3 периода полураспада. Общее время составляет $3 \cdot 3 = 9$ минут.

Ответ: через 9 минут его останется 0,125 г.

577.-- Период полураспада радиоактивного вещества равен 1 ч.

Через сколько часов его количество уменьшится в 10 раз?

Вычислите, какая доля радия останется через 1000 лет, если период его полураспада равен 1550 лет.

Через сколько часов его количество уменьшится в 10 раз?

Для решения задачи используется формула закона радиоактивного распада: $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$, где $N(t)$ — количество радиоактивного вещества в момент времени $t$, $N_0$ — начальное количество вещества, а $T$ — период полураспада.

В данной задаче период полураспада $T = 1$ час. Нам нужно найти время $t$, через которое количество вещества уменьшится в 10 раз, то есть $N(t) = \frac{N_0}{10}$.

Подставим известные значения в формулу: $\frac{N_0}{10} = N_0 \cdot 2^{-t/1}$

Разделим обе части уравнения на $N_0$, чтобы избавиться от начального количества: $\frac{1}{10} = 2^{-t}$ Это уравнение эквивалентно следующему: $10 = 2^t$

Чтобы найти $t$, прологарифмируем обе части уравнения. Можно использовать логарифм по любому основанию, например, по основанию 10 (десятичный логарифм, $\lg$): $\lg(10) = \lg(2^t)$

Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, получаем: $1 = t \cdot \lg(2)$

Отсюда выражаем $t$: $t = \frac{1}{\lg(2)}$ Подставляя приближенное значение $\lg(2) \approx 0.30103$, находим время: $t \approx \frac{1}{0.30103} \approx 3.3219$ часа. Ответ: количество вещества уменьшится в 10 раз примерно через 3.32 часа.

Вычислите, какая доля радия останется через 1000 лет, если период его полураспада равен 1550 лет.

Мы снова обращаемся к формуле закона радиоактивного распада: $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$. В этом случае нам нужно найти долю оставшегося вещества, то есть отношение $\frac{N(t)}{N_0}$. $\frac{N(t)}{N_0} = 2^{-t/T}$

По условию задачи, прошедшее время $t = 1000$ лет, а период полураспада радия $T = 1550$ лет. Подставим эти значения в формулу для доли вещества: $\frac{N(t)}{N_0} = 2^{-1000/1550}$

Сначала упростим дробь в показателе степени: $\frac{1000}{1550} = \frac{100}{155} = \frac{20}{31}$

Теперь необходимо вычислить значение выражения $2^{-20/31}$: $2^{-20/31} \approx 2^{-0.64516} \approx 0.6394$ Таким образом, через 1000 лет сохранится примерно 63.94% от начального количества радия. Ответ: через 1000 лет останется доля радия, равная примерно 0.639.

578. Одно тело имеет температуру 200°, а другое — 100°. Через 10 мин остывания этих тел на воздухе с температурой 0° первое тело остыло до температуры 100°, а второе — до 80°. Через сколько минут температуры тел сравняются?

(Температура тела $T(t)$ удовлетворяет уравнению $T'(t) = -k(T - T_1)$, где $T_1$ — температура окружающей среды.)

Процесс остывания тел описывается законом охлаждения Ньютона, который представлен в виде дифференциального уравнения: $T'(t) = -k(T - T_a)$, где $T(t)$ — температура тела в момент времени $t$, $T_a$ — температура окружающей среды, а $k$ — коэффициент остывания.

В условиях задачи температура окружающей среды $T_a = 0°$. Следовательно, уравнение принимает вид: $T'(t) = -kT$.

Решением этого дифференциального уравнения является функция $T(t) = T_0 e^{-kt}$, где $T_0$ — начальная температура тела при $t=0$.

Теперь определим параметры для каждого из двух тел.

Для первого тела

Начальная температура $T_{1,0} = 200°$. Закон остывания для него: $T_1(t) = 200 e^{-k_1 t}$. Из условия известно, что через 10 минут температура опустилась до $T_1(10) = 100°$. Подставив эти данные, найдем коэффициент $k_1$:

$100 = 200 e^{-10k_1} \implies 0.5 = e^{-10k_1}$

Взяв натуральный логарифм от обеих частей, получаем: $\ln(0.5) = -10k_1$, откуда $k_1 = \frac{-\ln(0.5)}{10} = \frac{\ln(2)}{10}$.

Для второго тела

Начальная температура $T_{2,0} = 100°$. Закон остывания для него: $T_2(t) = 100 e^{-k_2 t}$. Через 10 минут температура стала $T_2(10) = 80°$. Найдем коэффициент $k_2$:

$80 = 100 e^{-10k_2} \implies 0.8 = e^{-10k_2}$

Взяв натуральный логарифм, получаем: $\ln(0.8) = -10k_2$, откуда $k_2 = \frac{-\ln(0.8)}{10} = \frac{\ln(1/0.8)}{10} = \frac{\ln(1.25)}{10}$.

Поиск времени, когда температуры сравняются

Искомый момент времени $t$ — это момент, когда $T_1(t) = T_2(t)$. Приравняем функции температур:

$200 e^{-k_1 t} = 100 e^{-k_2 t}$

$2 e^{-k_1 t} = e^{-k_2 t}$

$2 = \frac{e^{-k_2 t}}{e^{-k_1 t}} = e^{(-k_2 + k_1)t} = e^{(k_1 - k_2)t}$

Чтобы найти $t$, снова возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

$\ln(2) = (k_1 - k_2)t \implies t = \frac{\ln(2)}{k_1 - k_2}$

Подставим найденные значения коэффициентов $k_1$ и $k_2$:

$t = \frac{\ln(2)}{\frac{\ln(2)}{10} - \frac{\ln(1.25)}{10}} = \frac{\ln(2)}{\frac{1}{10}(\ln(2) - \ln(1.25))}$

Используя свойство разности логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$, получаем точное выражение для времени:

$t = \frac{10 \ln(2)}{\ln(2/1.25)} = \frac{10 \ln(2)}{\ln(1.6)}$

Вычислим приближенное значение, используя $\ln(2) \approx 0.6931$ и $\ln(1.6) \approx 0.4700$:

$t \approx 10 \cdot \frac{0.6931}{0.4700} \approx 14.75$ минут.

Ответ: Температуры тел сравняются через $10 \frac{\ln(2)}{\ln(1.6)}$ минут, что составляет приблизительно 14.75 минут.

579. Два тела имеют одинаковую температуру $100^\circ$. Они вынесены на воздух (его температура $0^\circ$). Через 10 мин температура одного тела стала $80^\circ$, а второго — $64^\circ$. Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна $25^\circ$?

Для решения задачи используется закон охлаждения Ньютона, который гласит, что скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Математически это выражается дифференциальным уравнением, решением которого для данной задачи является следующая функция, описывающая температуру тела $T$ в момент времени $t$:

$T(t) = T_{среды} + (T_{начальная} - T_{среды}) \cdot e^{-kt}$

где $T_{начальная}$ — начальная температура тела, $T_{среды}$ — температура окружающей среды, а $k$ — коэффициент остывания, зависящий от свойств тела.

В условиях задачи $T_{начальная} = 100^{\circ}C$ и $T_{среды} = 0^{\circ}C$. Формула упрощается:

$T(t) = 100 \cdot e^{-kt}$

1. Определение коэффициентов остывания для каждого тела

Пусть $T_1(t)$ и $T_2(t)$ — температуры первого и второго тел соответственно, а $k_1$ и $k_2$ — их коэффициенты остывания.

Для первого тела известно, что через 10 минут ($t=10$) его температура стала $80^{\circ}C$:

$T_1(10) = 80 = 100 \cdot e^{-k_1 \cdot 10}$

Отсюда находим $e^{-10k_1} = \frac{80}{100} = 0.8$.

Для второго тела известно, что через 10 минут ($t=10$) его температура стала $64^{\circ}C$:

$T_2(10) = 64 = 100 \cdot e^{-k_2 \cdot 10}$

Отсюда находим $e^{-10k_2} = \frac{64}{100} = 0.64$.

Теперь мы можем выразить функции температуры через время $t$ в минутах, не вычисляя сами коэффициенты $k_1$ и $k_2$:

$T_1(t) = 100 \cdot (e^{-10k_1})^{t/10} = 100 \cdot (0.8)^{t/10}$

$T_2(t) = 100 \cdot (e^{-10k_2})^{t/10} = 100 \cdot (0.64)^{t/10}$

2. Нахождение времени, когда разность температур равна 25°C

Нам нужно найти время $t$, при котором разность температур $T_1(t) - T_2(t)$ будет равна $25^{\circ}C$. (Первое тело остывает медленнее, поэтому его температура всегда будет выше).

$T_1(t) - T_2(t) = 25$

$100 \cdot (0.8)^{t/10} - 100 \cdot (0.64)^{t/10} = 25$

Разделим обе части уравнения на 100:

$(0.8)^{t/10} - (0.64)^{t/10} = 0.25$

Заметим, что $0.64 = 0.8^2$. Подставим это в уравнение:

$(0.8)^{t/10} - (0.8^2)^{t/10} = 0.25$

$(0.8)^{t/10} - ((0.8)^{t/10})^2 = 0.25$

Сделаем замену переменной. Пусть $x = (0.8)^{t/10}$. Уравнение примет вид:

$x - x^2 = 0.25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x + 0.25 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x - 0.5)^2 = 0$

Отсюда следует, что $x = 0.5$.

3. Вычисление искомого времени t

Теперь вернемся к нашей замене $x = (0.8)^{t/10}$:

$(0.8)^{t/10} = 0.5$

Чтобы найти $t$, прологарифмируем обе части уравнения (можно использовать натуральный логарифм $\ln$):

$\ln((0.8)^{t/10}) = \ln(0.5)$

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, получаем:

$\frac{t}{10} \ln(0.8) = \ln(0.5)$

Выразим $t$:

$t = 10 \cdot \frac{\ln(0.5)}{\ln(0.8)}$

Подставим числовые значения логарифмов ($\ln(0.5) \approx -0.6931$, $\ln(0.8) \approx -0.2231$):

$t \approx 10 \cdot \frac{-0.6931}{-0.2231} \approx 10 \cdot 3.106 \approx 31.06$ минут.

Ответ: разность температур тел будет равна 25°C примерно через 31.06 минут после начала остывания.