Страница 275 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

9. 1) а) Укажите все корни уравнения $log_a x = b (a > 0, a \ne 1)$.

б) Решите неравенство $log_a x > log_a c$ (рассмотрите два случая: $0 < a < 1, a > 1$).

2) Решите уравнение:

а) $log_2 (x - 15) = 4$;

б) $lg^2 x + 2 lg x = 8$;

в) $ln^2 (x - 2) = 4$;

г) $lg (x^2 - 2x - 4) = lg 11$.

3) Решите неравенство:

а) $log_{0,6} x > 2$;

б) $lg x \le -2$;

в) $ln x \ge -3$;

г) $log_7 x < 1$.

1) a)

Уравнение $\log_a x = b$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, является определением логарифма. По определению, логарифм числа $x$ по основанию $a$ есть показатель степени $b$, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $x$. Следовательно, $x = a^b$. Область определения логарифма требует, чтобы $x > 0$. Так как $a > 0$, то $a^b$ всегда будет больше нуля для любого действительного $b$. Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = a^b$.

1) б)

Рассмотрим неравенство $\log_a x > \log_a c$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства: $x > 0$ и $c > 0$. Решение зависит от значения основания $a$.
Случай 1: $a > 1$
В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому из $\log_a x > \log_a c$ следует $x > c$. С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем, что решение неравенства есть $x > c$ (поскольку $c$ уже должно быть больше нуля).
Случай 2: $0 < a < 1$
В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: из $\log_a x > \log_a c$ следует $x < c$. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем решение: $0 < x < c$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (c, +\infty)$; если $0 < a < 1$, то $x \in (0, c)$ (при условии $c > 0$).

2) a)

Дано уравнение $\log_2 (x - 15) = 4$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным. $x - 15 > 0$, откуда $x > 15$.
По определению логарифма, $x - 15 = 2^4$.
Вычисляем степень: $2^4 = 16$.
Получаем уравнение $x - 15 = 16$.
Решаем его: $x = 16 + 15$, $x = 31$.
Проверяем, удовлетворяет ли корень условию ОДЗ: $31 > 15$. Условие выполнено.

Ответ: 31.

2) б)

Дано уравнение $\lg^2 x + 2 \lg x = 8$. Это то же самое, что и $(\lg x)^2 + 2 \lg x - 8 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения: $t^2 + 2t - 8 = 0$.
Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $\lg x = 2$. По определению десятичного логарифма, $x = 10^2$, то есть $x = 100$.
2) $\lg x = -4$. По определению, $x = 10^{-4}$, то есть $x = 0.0001$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($100 > 0$ и $0.0001 > 0$).

Ответ: 100; 0.0001.

2) в)

Дано уравнение $\ln^2 (x - 2) = 4$, что эквивалентно $ (\ln(x-2))^2 = 4$.
ОДЗ: $x - 2 > 0$, откуда $x > 2$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$\ln(x - 2) = 2$ или $\ln(x - 2) = -2$.
Решаем каждое уравнение отдельно.
1) $\ln(x - 2) = 2$. По определению натурального логарифма, $x - 2 = e^2$, откуда $x = e^2 + 2$.
2) $\ln(x - 2) = -2$. По определению, $x - 2 = e^{-2}$, откуда $x = e^{-2} + 2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как $e^2 > 0$ и $e^{-2} > 0$, следовательно, $e^2 + 2 > 2$ и $e^{-2} + 2 > 2$.

Ответ: $e^2 + 2$; $e^{-2} + 2$.

2) г)

Дано уравнение $\lg (x^2 - 2x - 4) = \lg 11$.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным, $x^2 - 2x - 4 > 0$.
Так как основания логарифмов равны (и равны 10, что больше 1), мы можем приравнять их аргументы:
$x^2 - 2x - 4 = 11$.
Переносим 11 в левую часть: $x^2 - 2x - 15 = 0$.
Решаем полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -15. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию ОДЗ. Вместо решения неравенства $x^2 - 2x - 4 > 0$, мы можем просто подставить найденные корни в выражение $x^2 - 2x - 4$ и проверить, будет ли оно равно 11 (что, очевидно, больше 0).
Для $x_1 = 5$: $5^2 - 2(5) - 4 = 25 - 10 - 4 = 11$. $11 > 0$, корень подходит.
Для $x_2 = -3$: $(-3)^2 - 2(-3) - 4 = 9 + 6 - 4 = 11$. $11 > 0$, корень подходит.
Оба корня являются решениями.

Ответ: 5; -3.

3) a)

Дано неравенство $\log_{0.6} x > 2$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0.6: $2 = 2 \cdot \log_{0.6} 0.6 = \log_{0.6} (0.6^2) = \log_{0.6} 0.36$.
Неравенство принимает вид $\log_{0.6} x > \log_{0.6} 0.36$.
Так как основание логарифма $a = 0.6$ и $0 < 0.6 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x < 0.36$.
Объединяем полученное решение с ОДЗ: $\begin{cases} x < 0.36 \\ x > 0 \end{cases}$.
Получаем интервал $0 < x < 0.36$.

Ответ: $x \in (0, 0.36)$.

3) б)

Дано неравенство $\lg x \le -2$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть в виде десятичного логарифма: $-2 = \lg(10^{-2}) = \lg(0.01)$.
Неравенство принимает вид $\lg x \le \lg(0.01)$.
Так как основание логарифма $a = 10$ и $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется: $x \le 0.01$.
Объединяем полученное решение с ОДЗ: $\begin{cases} x \le 0.01 \\ x > 0 \end{cases}$.
Получаем интервал $0 < x \le 0.01$.

Ответ: $x \in (0, 0.01]$.

3) в)

Дано неравенство $\ln x \ge -3$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть в виде натурального логарифма: $-3 = \ln(e^{-3})$.
Неравенство принимает вид $\ln x \ge \ln(e^{-3})$.
Так как основание логарифма $a = e \approx 2.718$ и $e > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется: $x \ge e^{-3}$.
Решение $x \ge e^{-3}$ уже удовлетворяет ОДЗ, так как $e^{-3} > 0$.

Ответ: $x \in [e^{-3}, +\infty)$.

3) г)

Дано неравенство $\log_7 x < 1$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием 7: $1 = \log_7 7$.
Неравенство принимает вид $\log_7 x < \log_7 7$.
Так как основание логарифма $a = 7$ и $7 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется: $x < 7$.
Объединяем полученное решение с ОДЗ: $\begin{cases} x < 7 \\ x > 0 \end{cases}$.
Получаем интервал $0 < x < 7$.

Ответ: $x \in (0, 7)$.

10. 1) Запишите формулу производной для функции $y = e^x$, $y = a^x$.

2) Найдите производную функции:

а) $v(x) = 5 - 2e^{4 - 3x}$;

б) $u(x) = 3 \cdot 5^{7x - 1}$;

в) $g(x) = e^{-3x}$;

г) $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x}$.

3) Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $v(x) = e^{5x} - 7e^{-4x}$;

б) $u(x) = 5e^{0.7x}$;

в) $g(x) = e^{-3x}$;

г) $f(x) = e^{2x}$.

1)

Формула производной для функции $y = e^x$:

$(e^x)' = e^x$

Формула производной для функции $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$):

$(a^x)' = a^x \ln a$

2) а) Для функции $v(x) = 5 - 2e^{4 - 3x}$ находим производную. Используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot f'(x)$ и то, что производная константы равна нулю.

$v'(x) = (5)' - (2e^{4 - 3x})' = 0 - 2 \cdot e^{4 - 3x} \cdot (4 - 3x)' = -2e^{4 - 3x} \cdot (-3) = 6e^{4 - 3x}$.

Ответ: $v'(x) = 6e^{4 - 3x}$

2) б) Для функции $u(x) = 3 \cdot 5^{7x - 1}$ находим производную. Используем правило дифференцирования сложной функции $(a^{f(x)})' = a^{f(x)} \ln a \cdot f'(x)$.

$u'(x) = 3 \cdot (5^{7x - 1})' = 3 \cdot 5^{7x - 1} \cdot \ln 5 \cdot (7x - 1)' = 3 \cdot 5^{7x - 1} \cdot \ln 5 \cdot 7 = 21 \cdot 5^{7x - 1} \ln 5$.

Ответ: $u'(x) = 21 \cdot 5^{7x - 1} \ln 5$

2) в) Для функции $g(x) = e^{-3x}$ находим производную, используя правило для сложной функции.

$g'(x) = (e^{-3x})' = e^{-3x} \cdot (-3x)' = e^{-3x} \cdot (-3) = -3e^{-3x}$.

Ответ: $g'(x) = -3e^{-3x}$

2) г) Для функции $f(x) = (\frac{1}{3})^{2x}$ находим производную.

$f'(x) = ((\frac{1}{3})^{2x})' = (\frac{1}{3})^{2x} \cdot \ln(\frac{1}{3}) \cdot (2x)' = (\frac{1}{3})^{2x} \cdot (-\ln 3) \cdot 2 = -2(\frac{1}{3})^{2x} \ln 3$.

Ответ: $f'(x) = -2(\frac{1}{3})^{2x} \ln 3$

3) а) Для функции $v(x) = e^{5x} - 7e^{-4x}$ находим общий вид первообразных. Используем формулу $\int e^{kx}dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$.

$V(x) = \int(e^{5x} - 7e^{-4x})dx = \int e^{5x}dx - 7\int e^{-4x}dx = \frac{1}{5}e^{5x} - 7\left(\frac{1}{-4}e^{-4x}\right) + C = \frac{1}{5}e^{5x} + \frac{7}{4}e^{-4x} + C$.

Ответ: $V(x) = \frac{1}{5}e^{5x} + \frac{7}{4}e^{-4x} + C$

3) б) Для функции $u(x) = 5e^{0.7x}$ находим общий вид первообразных.

$U(x) = \int 5e^{0.7x}dx = 5\int e^{0.7x}dx = 5 \cdot \frac{1}{0.7}e^{0.7x} + C = \frac{5}{7/10}e^{0.7x} + C = \frac{50}{7}e^{0.7x} + C$.

Ответ: $U(x) = \frac{50}{7}e^{0.7x} + C$

3) в) Для функции $g(x) = e^{-3x}$ находим общий вид первообразных.

$G(x) = \int e^{-3x}dx = \frac{1}{-3}e^{-3x} + C = -\frac{1}{3}e^{-3x} + C$.

Ответ: $G(x) = -\frac{1}{3}e^{-3x} + C$

3) г) Для функции $f(x) = e^{2x}$ находим общий вид первообразных.

$F(x) = \int e^{2x}dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + C$

11. 1) Какую производную имеет функция $y = \log_a x$? Найдите общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x}$.

2) Найдите производную функции:

а) $y = x \ln 3x$; б) $y = \log_2 (7 - 2x)$;

в) $y = 2 \log_3 x$; г) $y = \ln \frac{x}{5}$.

3) Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $f(x) = \frac{1}{5x}$; б) $g(x) = \frac{1}{x - 3}$; в) $u(x) = \frac{5}{x}$; г) $h(x) = \frac{2}{x + 1}$.

1)

Производная логарифмической функции $y = \log_a x$ находится по формуле:

$y' = (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ нужно найти ее неопределенный интеграл.

По определению, первообразной для $f(x) = \frac{1}{x}$ является функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Из таблицы производных известно, что $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$.

Следовательно, общий вид первообразных для $f(x) = \frac{1}{x}$ имеет вид:

$F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: Производная функции $y = \log_a x$ равна $y' = \frac{1}{x \ln a}$. Общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x| + C$.

2)

а) Для нахождения производной функции $y = x \ln 3x$ используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.

Пусть $u = x$ и $v = \ln 3x$. Тогда $u' = 1$.

Производная от $v = \ln 3x$ находится по цепному правилу: $v' = (\ln 3x)' = \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$.

Теперь подставляем всё в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \ln 3x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln 3x + 1$.

Ответ: $y' = \ln 3x + 1$.

б) Для нахождения производной функции $y = \log_2(7 - 2x)$ используем правило дифференцирования сложной функции и формулу производной логарифма $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.

Здесь основание логарифма $a=2$, а аргумент $u = 7 - 2x$.

Находим производную аргумента: $u' = (7 - 2x)' = -2$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{-2}{(7 - 2x)\ln 2} = -\frac{2}{(7 - 2x)\ln 2}$.

Ответ: $y' = -\frac{2}{(7 - 2x)\ln 2}$.

в) Для нахождения производной функции $y = 2 \log_3 x$ используем правило вынесения константы за знак производной и формулу производной логарифма $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

$y' = (2 \log_3 x)' = 2 \cdot (\log_3 x)' = 2 \cdot \frac{1}{x \ln 3} = \frac{2}{x \ln 3}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{x \ln 3}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \ln \frac{x}{5}$ можно использовать свойства логарифмов.

$y = \ln \frac{x}{5} = \ln x - \ln 5$.

Теперь находим производную. Так как $\ln 5$ является константой, его производная равна нулю.

$y' = (\ln x - \ln 5)' = (\ln x)' - (\ln 5)' = \frac{1}{x} - 0 = \frac{1}{x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x}$.

3)

а) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{5x}$, найдем ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int \frac{1}{5x} dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} dx = \frac{1}{5} \ln |x| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{5} \ln |x| + C$.

б) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $g(x) = \frac{1}{x-3}$, найдем ее неопределенный интеграл. Это табличный интеграл вида $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k} \ln|kx+b| + C$.

В нашем случае $k=1, b=-3$.

$G(x) = \int \frac{1}{x-3} dx = \ln|x-3| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $G(x) = \ln|x-3| + C$.

в) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $u(x) = \frac{5}{x}$, найдем ее неопределенный интеграл.

$U(x) = \int \frac{5}{x} dx = 5 \int \frac{1}{x} dx = 5 \ln |x| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $U(x) = 5 \ln|x| + C$.

г) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $h(x) = \frac{2}{x+1}$, найдем ее неопределенный интеграл.

$H(x) = \int \frac{2}{x+1} dx = 2 \int \frac{1}{x+1} dx = 2 \ln|x+1| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $H(x) = 2 \ln|x+1| + C$.

12. 1) Какую производную имеет степенная функция $y = x^{\alpha}$?

2) Постройте график функции и найдите ее производную:

а) $y = x^7$; б) $y = x^{-4}$; в) $y = x^{-0,3}$; г) $y = x^{\sqrt{2}}$.

3) Найдите приближенное значение:

а) $\sqrt[5]{32,02}$; б) $\sqrt[7]{127,9}$; в) $\sqrt[3]{64,3}$; г) $\sqrt[4]{80,6}$.

1) Какую производную имеет степенная функция $y = x^{\alpha}$?

Степенная функция $y = x^{\alpha}$, где $\alpha$ - любое действительное число, имеет производную, которая находится по следующему правилу (формула производной степенной функции):

$y' = (x^{\alpha})' = \alpha \cdot x^{\alpha-1}$

Это означает, что для нахождения производной нужно показатель степени $\alpha$ вынести в качестве множителя, а саму степень уменьшить на единицу.

Ответ: $y' = \alpha x^{\alpha-1}$.

2) Постройте график функции и найдите ее производную:

а) $y = x^7$

Нахождение производной:

Используем формулу производной степенной функции при $\alpha = 7$:

$y' = (x^7)' = 7 \cdot x^{7-1} = 7x^6$.

Построение графика:

График функции $y = x^7$ — это кривая, обладающая следующими свойствами:

• Область определения: все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, $(-\infty; +\infty)$.
• Функция является нечетной ($(-x)^7 = -x^7$), поэтому ее график симметричен относительно начала координат.
• График проходит через точки (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).
• При $x > 1$ функция очень быстро возрастает, а при $x < -1$ очень быстро убывает. График "прижимается" к оси Y сильнее, чем график $y=x^3$ или $y=x^5$.

Ответ: производная $y' = 7x^6$. График - нечетная функция, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки (-1, -1), (0, 0), (1, 1).

б) $y = x^{-4}$

Нахождение производной:

Используем формулу при $\alpha = -4$:

$y' = (x^{-4})' = -4 \cdot x^{-4-1} = -4x^{-5} = -\frac{4}{x^5}$.

Построение графика:

Функцию можно записать как $y = \frac{1}{x^4}$. Свойства графика:

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: все положительные числа, $(0; +\infty)$, так как $x^4$ всегда неотрицательно.
• Функция является четной ($( -x)^{-4} = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$), поэтому ее график симметричен относительно оси Y.
• Ось Y ($x=0$) является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0$ значение $y \to +\infty$.
• Ось X ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, так как при $x \to \pm\infty$ значение $y \to 0$.
• График проходит через точки (1, 1) и (-1, 1) и расположен в I и II координатных четвертях.

Ответ: производная $y' = -4x^{-5}$. График - четная функция, симметричная относительно оси Y, с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

в) $y = x^{-0,3}$

Нахождение производной:

Используем формулу при $\alpha = -0,3$:

$y' = (x^{-0,3})' = -0,3 \cdot x^{-0,3-1} = -0,3x^{-1,3}$.

Построение графика:

Функцию можно записать как $y = \frac{1}{x^{0,3}} = \frac{1}{\sqrt[10]{x^3}}$. Свойства графика:

• Область определения для степенной функции с нецелым показателем обычно рассматривается для $x > 0$. Итак, область определения: $(0; +\infty)$.
• Область значений: $(0; +\infty)$.
• Функция является убывающей на всей области определения.
• Ось Y ($x=0$) является вертикальной асимптотой (при $x \to 0^+$, $y \to +\infty$).
• Ось X ($y=0$) является горизонтальной асимптотой (при $x \to +\infty$, $y \to 0$).
• График проходит через точку (1, 1).

Ответ: производная $y' = -0,3x^{-1,3}$. График - убывающая кривая в I координатной четверти с асимптотами $x=0$ и $y=0$.

г) $y = x^{\sqrt{2}}$

Нахождение производной:

Используем формулу при $\alpha = \sqrt{2}$:

$y' = (x^{\sqrt{2}})' = \sqrt{2} \cdot x^{\sqrt{2}-1}$.

Построение графика:

Показатель степени $\sqrt{2} \approx 1.414$ - иррациональное число. Свойства графика:

• Область определения: $x \ge 0$, то есть $[0; +\infty)$.
• Область значений: $y \ge 0$, то есть $[0; +\infty)$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• График начинается в точке (0, 0) и проходит через точку (1, 1).
• Поскольку $1 < \sqrt{2} < 2$, график функции лежит между графиками $y=x$ и $y=x^2$. Кривая является выпуклой вниз (вогнутой).

Ответ: производная $y' = \sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1}$. График - возрастающая кривая, выходящая из начала координат, расположенная в I координатной четверти.

3) Найдите приближенное значение:

Для нахождения приближенных значений воспользуемся формулой линейного приближения: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$.

а) $\sqrt[5]{32,02}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[5]{x} = x^{1/5}$.

Выберем точку $x_0 = 32$, так как $\sqrt[5]{32} = 2$ легко вычисляется.

Тогда $\Delta x = 32,02 - 32 = 0,02$.

Найдем производную: $f'(x) = (\frac{1}{5})x^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

Вычислим значения функции и ее производной в точке $x_0 = 32$:

$f(32) = \sqrt[5]{32} = 2$.

$f'(32) = \frac{1}{5\sqrt[5]{32^4}} = \frac{1}{5 \cdot (\sqrt[5]{32})^4} = \frac{1}{5 \cdot 2^4} = \frac{1}{5 \cdot 16} = \frac{1}{80}$.

Подставим значения в формулу приближения:

$\sqrt[5]{32,02} \approx f(32) + f'(32) \cdot \Delta x = 2 + \frac{1}{80} \cdot 0,02 = 2 + \frac{0,02}{80} = 2 + \frac{2}{8000} = 2 + \frac{1}{4000} = 2 + 0,00025 = 2,00025$.

Ответ: $2,00025$.

б) $\sqrt[7]{127,9}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[7]{x} = x^{1/7}$.

Выберем точку $x_0 = 128$, так как $\sqrt[7]{128} = 2$.

Тогда $\Delta x = 127,9 - 128 = -0,1$.

Найдем производную: $f'(x) = \frac{1}{7}x^{\frac{1}{7}-1} = \frac{1}{7}x^{-6/7} = \frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 128$:

$f(128) = \sqrt[7]{128} = 2$.

$f'(128) = \frac{1}{7\sqrt[7]{128^6}} = \frac{1}{7 \cdot (\sqrt[7]{128})^6} = \frac{1}{7 \cdot 2^6} = \frac{1}{7 \cdot 64} = \frac{1}{448}$.

Подставим в формулу приближения:

$\sqrt[7]{127,9} \approx f(128) + f'(128) \cdot \Delta x = 2 + \frac{1}{448} \cdot (-0,1) = 2 - \frac{0,1}{448} = 2 - \frac{1}{4480}$.

Так как $\frac{1}{4480} \approx 0,000223$, то $2 - 0,000223 = 1,999777$.

Ответ: $\approx 1,999777$.

в) $\sqrt[3]{64,3}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$.

Выберем точку $x_0 = 64$, так как $\sqrt[3]{64} = 4$.

Тогда $\Delta x = 64,3 - 64 = 0,3$.

Найдем производную: $f'(x) = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 64$:

$f(64) = \sqrt[3]{64} = 4$.

$f'(64) = \frac{1}{3\sqrt[3]{64^2}} = \frac{1}{3 \cdot (\sqrt[3]{64})^2} = \frac{1}{3 \cdot 4^2} = \frac{1}{3 \cdot 16} = \frac{1}{48}$.

Подставим в формулу приближения:

$\sqrt[3]{64,3} \approx f(64) + f'(64) \cdot \Delta x = 4 + \frac{1}{48} \cdot 0,3 = 4 + \frac{0,3}{48} = 4 + \frac{3}{480} = 4 + \frac{1}{160} = 4 + 0,00625 = 4,00625$.

Ответ: $4,00625$.

г) $\sqrt[4]{80,6}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{x} = x^{1/4}$.

Выберем точку $x_0 = 81$, так как $\sqrt[4]{81} = 3$.

Тогда $\Delta x = 80,6 - 81 = -0,4$.

Найдем производную: $f'(x) = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Вычислим значения в точке $x_0 = 81$:

$f(81) = \sqrt[4]{81} = 3$.

$f'(81) = \frac{1}{4\sqrt[4]{81^3}} = \frac{1}{4 \cdot (\sqrt[4]{81})^3} = \frac{1}{4 \cdot 3^3} = \frac{1}{4 \cdot 27} = \frac{1}{108}$.

Подставим в формулу приближения:

$\sqrt[4]{80,6} \approx f(81) + f'(81) \cdot \Delta x = 3 + \frac{1}{108} \cdot (-0,4) = 3 - \frac{0,4}{108} = 3 - \frac{4}{1080} = 3 - \frac{1}{270}$.

Так как $\frac{1}{270} \approx 0,0037$, то $3 - 0,0037 = 2,9963$.

Ответ: $\approx 2,9963$.