Страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

28. Найдите сумму 20 членов арифметической прогрессии, если первый ее член равен 2, а седьмой равен 20.

Для нахождения суммы 20 членов арифметической прогрессии, нам необходимо сначала определить ее разность ($d$), а затем использовать формулу суммы.

Исходные данные:

• Первый член прогрессии: $a_1 = 2$
• Седьмой член прогрессии: $a_7 = 20$
• Количество членов для нахождения суммы: $n = 20$

1. Нахождение разности прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Используем эту формулу для седьмого члена ($n=7$), подставив известные значения:

$a_7 = a_1 + (7-1)d$

$20 = 2 + 6d$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $d$:

$6d = 20 - 2$

$6d = 18$

$d = \frac{18}{6} = 3$

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна 3.

2. Нахождение суммы 20 членов прогрессии

Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Подставим в нее известные и найденные значения: $n=20$, $a_1=2$ и $d=3$.

$S_{20} = \frac{2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 3}{2} \cdot 20$

$S_{20} = \frac{4 + 19 \cdot 3}{2} \cdot 20$

$S_{20} = \frac{4 + 57}{2} \cdot 20$

$S_{20} = \frac{61}{2} \cdot 20$

Сокращаем 20 и 2, получаем:

$S_{20} = 61 \cdot 10 = 610$

Ответ: 610

29. Между числами 4 и 40 найдите такие четыре числа, чтобы вместе с данными они образовали арифметическую прогрессию.

Пусть искомые четыре числа вместе с данными числами 4 и 40 образуют арифметическую прогрессию $(a_n)$. В этой прогрессии первый член $a_1 = 4$. Поскольку между 4 и 40 нужно вставить четыре числа, то всего в прогрессии будет $2 + 4 = 6$ членов. Следовательно, шестой член прогрессии $a_6 = 40$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии. Мы можем использовать эту формулу для нахождения разности $d$, подставив известные значения для $a_1$, $a_6$ и $n=6$: $a_6 = a_1 + (6-1)d$ $40 = 4 + 5d$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $d$: $5d = 40 - 4$ $5d = 36$ $d = \frac{36}{5} = 7.2$

Зная разность прогрессии, мы можем найти четыре искомых числа, которые являются вторым, третьим, четвертым и пятым членами прогрессии:

• Второй член: $a_2 = a_1 + d = 4 + 7.2 = 11.2$
• Третий член: $a_3 = a_2 + d = 11.2 + 7.2 = 18.4$
• Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = 18.4 + 7.2 = 25.6$
• Пятый член: $a_5 = a_4 + d = 25.6 + 7.2 = 32.8$

Для проверки убедимся, что следующий член после $a_5$ равен 40: $a_6 = a_5 + d = 32.8 + 7.2 = 40$. Это совпадает с условием задачи.

Таким образом, искомые четыре числа — это 11.2, 18.4, 25.6 и 32.8.

Ответ: 11.2; 18.4; 25.6; 32.8.

30. Докажите, что числа $\frac{1}{\log_3 2}$, $\frac{1}{\log_6 2}$, $\frac{1}{\log_{12} 2}$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Для того чтобы доказать, что три числа являются последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо показать, что разность между последующим и предыдущим членом для них одинакова. Другими словами, если у нас есть числа $a_1, a_2, a_3$, то они образуют арифметическую прогрессию, если выполняется равенство $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$.

Обозначим данные в задаче числа:
$a_1 = \frac{1}{\log_3 2}$
$a_2 = \frac{1}{\log_6 2}$
$a_3 = \frac{1}{\log_{12} 2}$

Для упрощения выражений воспользуемся свойством логарифма: $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.
Применим это свойство к каждому из наших чисел:
$a_1 = \log_2 3$
$a_2 = \log_2 6$
$a_3 = \log_2 {12}$

Теперь у нас есть последовательность чисел $\log_2 3$, $\log_2 6$, $\log_2 {12}$. Проверим для них выполнение условия арифметической прогрессии, вычислив разности между соседними членами.

Найдем разность между вторым и первым членами:
$a_2 - a_1 = \log_2 6 - \log_2 3$
Используя свойство разности логарифмов $\log_c x - \log_c y = \log_c(\frac{x}{y})$, получаем:
$a_2 - a_1 = \log_2\left(\frac{6}{3}\right) = \log_2 2 = 1$

Теперь найдем разность между третьим и вторым членами:
$a_3 - a_2 = \log_2 {12} - \log_2 6$
Используя то же свойство:
$a_3 - a_2 = \log_2\left(\frac{12}{6}\right) = \log_2 2 = 1$

Поскольку разности между соседними членами равны ($a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = 1$), то последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=1$. Таким образом, исходные числа $\frac{1}{\log_3 2}$, $\frac{1}{\log_6 2}$, $\frac{1}{\log_{12} 2}$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

31. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 26, а произведение второго и четвертого ее членов равно 160. Найдите сумму шести первых членов прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из условия задачи составим систему уравнений. Сумма первого и пятого членов равна 26:
$a_1 + a_5 = 26$
$a_1 + (a_1 + 4d) = 26$
$2a_1 + 4d = 26$
Разделив обе части уравнения на 2, получаем:
$a_1 + 2d = 13$.

Произведение второго и четвертого членов равно 160:
$a_2 \cdot a_4 = 160$
$(a_1 + d)(a_1 + 3d) = 160$.

Теперь решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим $a_1 = 13 - 2d$ и подставим это выражение во второе уравнение:
$((13 - 2d) + d)((13 - 2d) + 3d) = 160$
$(13 - d)(13 + d) = 160$
Используя формулу разности квадратов, получаем:
$13^2 - d^2 = 160$
$169 - d^2 = 160$
$d^2 = 169 - 160 = 9$
Отсюда следует, что разность прогрессии $d$ может принимать два значения: $d = 3$ и $d = -3$.

Это означает, что существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи. Найдем сумму шести первых членов ($S_6$) для каждой из них, используя формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Для $n=6$ формула имеет вид: $S_6 = \frac{2a_1 + (6-1)d}{2} \cdot 6 = 3(2a_1 + 5d)$.

Случай 1: $d = 3$
Найдем первый член: $a_1 = 13 - 2(3) = 13 - 6 = 7$.
Теперь вычислим сумму шести первых членов:
$S_6 = 3(2 \cdot 7 + 5 \cdot 3) = 3(14 + 15) = 3(29) = 87$.

Случай 2: $d = -3$
Найдем первый член: $a_1 = 13 - 2(-3) = 13 + 6 = 19$.
Вычислим сумму шести первых членов:
$S_6 = 3(2 \cdot 19 + 5 \cdot (-3)) = 3(38 - 15) = 3(23) = 69$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения, так как обе найденные прогрессии удовлетворяют заданным условиям.
Ответ: 69 или 87.

32. Упростите выражение $(a - c)^2 + (b - c)^2 + (b - d)^2 - (a - d)^2$, если известно, что числа $a, b, c, d$, взятые в указанном порядке, составляют геометрическую прогрессию.

По условию задачи числа $a$, $b$, $c$, $d$ образуют геометрическую прогрессию. Пусть $q$ — знаменатель этой прогрессии. Тогда справедливы следующие соотношения между членами прогрессии:

$b = aq, c = aq^2, d = aq^3$.

Из этих равенств можно вывести несколько полезных свойств, связывающих члены прогрессии:

1. Произведение второго и четвертого членов равно квадрату третьего члена: $bd = (aq)(aq^3) = a^2q^4 = (aq^2)^2 = c^2$. Итак, $c^2 = bd$.

2. Произведение первого и третьего членов равно квадрату второго члена: $ac = a(aq^2) = a^2q^2 = (aq)^2 = b^2$. Итак, $b^2 = ac$.

3. Произведение крайних членов равно произведению средних членов: $ad = a(aq^3) = a^2q^3$ и $bc = (aq)(aq^2) = a^2q^3$. Итак, $ad = bc$.

Теперь приступим к упрощению исходного выражения: $(a-c)^2 + (b-c)^2 + (b-d)^2 - (a-d)^2$.

Для начала раскроем все скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (b^2 - 2bd + d^2) - (a^2 - 2ad + d^2)$

Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bc + c^2 + b^2 - 2bd + d^2 - a^2 + 2ad - d^2$

Сгруппируем члены для упрощения. Заметим, что $a^2$ и $-a^2$ взаимно уничтожаются, так же как и $d^2$ и $-d^2$:

$(a^2 - a^2) + (d^2 - d^2) + 2b^2 + 2c^2 - 2ac - 2bc - 2bd + 2ad$

После сокращения получаем:

$2b^2 + 2c^2 - 2ac - 2bc - 2bd + 2ad$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(b^2 + c^2 - ac - bc - bd + ad)$

Теперь воспользуемся свойствами геометрической прогрессии, которые мы вывели ранее. Подставим $b^2 = ac$ и $c^2 = bd$ в выражение в скобках:

$2(ac + bd - ac - bc - bd + ad)$

Сократим взаимоуничтожающиеся члены $ac$ и $-ac$, а также $bd$ и $-bd$:

$2((ac - ac) + (bd - bd) - bc + ad) = 2(-bc + ad)$

Наконец, используем третье свойство: $ad = bc$.

$2(-bc + bc) = 2 \cdot 0 = 0$

Ответ: $0$

33. Докажите, что числа $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, $\frac{1}{2-\sqrt{2}}$ и $\frac{1}{2}$ образуют геометрическую прогрессию.

Для того чтобы доказать, что три числа $b_1, b_2, b_3$ образуют геометрическую прогрессию, необходимо и достаточно показать, что квадрат среднего члена равен произведению крайних членов. То есть, должно выполняться характеристическое свойство геометрической прогрессии: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

В данном случае имеем следующие числа:

$b_1 = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

$b_2 = \frac{1}{2-\sqrt{2}}$

$b_3 = \frac{1}{2}$

Сначала преобразуем выражения для первого и второго членов, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателях.

Для $b_1$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{2}+1)$:

$b_1 = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = 3+2\sqrt{2}$

Для $b_2$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(2+\sqrt{2})$:

$b_2 = \frac{1}{2-\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2+\sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2}$

Теперь, используя упрощенные выражения, проверим, выполняется ли равенство $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Найдем квадрат второго члена $b_2$:

$b_2^2 = \left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(2+\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{4} = \frac{4+4\sqrt{2}+2}{4} = \frac{6+4\sqrt{2}}{4} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2}$

Найдем произведение первого и третьего членов $b_1 \cdot b_3$:

$b_1 \cdot b_3 = (3+2\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2}$

Мы получили, что $b_2^2 = \frac{3+2\sqrt{2}}{2}$ и $b_1 \cdot b_3 = \frac{3+2\sqrt{2}}{2}$.

Так как результаты совпадают ($b_2^2 = b_1 \cdot b_3$), то характеристическое свойство геометрической прогрессии выполняется. Следовательно, данные числа образуют геометрическую прогрессию.

Ответ: Утверждение доказано. Числа $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, $\frac{1}{2-\sqrt{2}}$ и $\frac{1}{2}$ действительно образуют геометрическую прогрессию.

34. Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Исходя из этого, второй, третий и четвертый члены прогрессии равны:
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_3 = b_1 \cdot q^2$
$b_4 = b_1 \cdot q^3$

По условию задачи, четвертый член больше второго на 24, а сумма второго и третьего равна 6. Составим систему уравнений, используя буквенные обозначения членов прогрессии:
$\begin{cases} b_4 - b_2 = 24 \\ b_2 + b_3 = 6 \end{cases}$

Теперь подставим выражения для членов прогрессии через $b_1$ и $q$:
$\begin{cases} b_1 q^3 - b_1 q = 24 \\ b_1 q + b_1 q^2 = 6 \end{cases}$

В каждом уравнении вынесем общий множитель за скобки:
$\begin{cases} b_1 q (q^2 - 1) = 24 \\ b_1 q (1 + q) = 6 \end{cases}$

Разделим первое уравнение системы на второе. Отметим, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq -1$, так как в противном случае второе уравнение обратилось бы в $0=6$, что неверно.
$\frac{b_1 q (q^2 - 1)}{b_1 q (1 + q)} = \frac{24}{6}$
$\frac{q^2 - 1}{1 + q} = 4$

Применим в числителе формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(q - 1)(q + 1)}{q + 1} = 4$

Сократим дробь на $(q+1)$:
$q - 1 = 4$
$q = 5$

Мы нашли знаменатель прогрессии. Теперь найдем первый член $b_1$, подставив значение $q=5$ во второе уравнение исходной системы $b_1 q (1 + q) = 6$:
$b_1 \cdot 5 \cdot (1 + 5) = 6$
$b_1 \cdot 5 \cdot 6 = 6$
$30 b_1 = 6$
$b_1 = \frac{6}{30}$
$b_1 = \frac{1}{5}$

Таким образом, искомые величины найдены.
Ответ: первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{5}$, знаменатель прогрессии $q=5$.

35. Найдите число членов конечной геометрической прогрессии, у которой первый, второй и последний члены соответственно равны 3, 12 и 3072.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия, которую мы обозначим как $(b_n)$, где $n$ — это искомое число членов.

Из условия задачи нам известны следующие значения:

- Первый член прогрессии: $b_1 = 3$.

- Второй член прогрессии: $b_2 = 12$.

- Последний (n-й) член прогрессии: $b_n = 3072$.

Для нахождения числа членов $n$ необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найти знаменатель геометрической прогрессии $q$.

Знаменатель прогрессии — это постоянное число, на которое умножается каждый член, чтобы получить следующий. Его можно найти, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{3} = 4$

2. Использовать формулу n-го члена геометрической прогрессии.

Формула для нахождения любого члена геометрической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

3. Подставить известные значения в формулу и решить уравнение.

Подставим известные нам значения $b_1 = 3$, $q = 4$ и $b_n = 3072$ в формулу:

$3072 = 3 \cdot 4^{n-1}$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Для начала, разделим обе части уравнения на 3:

$4^{n-1} = \frac{3072}{3}$

$4^{n-1} = 1024$

Далее, чтобы решить это показательное уравнение, представим число 1024 в виде степени с основанием 4.

$4^2 = 16$
$4^3 = 64$
$4^4 = 256$
$4^5 = 1024$

Таким образом, $1024 = 4^5$. Заменим 1024 в нашем уравнении:

$4^{n-1} = 4^5$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$n - 1 = 5$

Осталось найти $n$:

$n = 5 + 1$

$n = 6$

Следовательно, в данной конечной геометрической прогрессии 6 членов.

Ответ: 6

36. Знаменатель конечной геометрической прогрессии равен $\frac{1}{3}$, четвертый ее член равен $\frac{1}{54}$, а сумма всех членов $\frac{121}{162}$. Сколько членов в этой прогрессии?

Пусть $b_1$ - первый член конечной геометрической прогрессии, $q$ - ее знаменатель, $n$ - число ее членов, $b_4$ - четвертый член и $S_n$ - сумма всех членов прогрессии.

Из условия задачи имеем:
Знаменатель $q = \frac{1}{3}$.
Четвертый член $b_4 = \frac{1}{54}$.
Сумма всех членов $S_n = \frac{121}{162}$.

Требуется найти число членов прогрессии $n$.

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для четвертого члена ($n=4$) формула принимает вид: $b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.
Подставим в эту формулу известные значения $b_4$ и $q$:
$\frac{1}{54} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3$
$\frac{1}{54} = b_1 \cdot \frac{1}{27}$
Выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{1}{54} \div \frac{1}{27} = \frac{1}{54} \cdot 27 = \frac{27}{54} = \frac{1}{2}$.

2. Найдем количество членов прогрессии $n$.
Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.
Подставим известные значения $S_n$, $b_1$ и $q$:
$\frac{121}{162} = \frac{\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{3}}$
Сначала упростим знаменатель в правой части уравнения:
$1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Подставим полученное значение обратно в уравнение:
$\frac{121}{162} = \frac{\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{\frac{2}{3}}$
Чтобы разделить на дробь $\frac{2}{3}$, умножим на обратную ей дробь $\frac{3}{2}$:
$\frac{121}{162} = \frac{1}{2} \cdot \left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right) \cdot \frac{3}{2}$
$\frac{121}{162} = \frac{3}{4} \cdot \left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)$
Теперь выразим выражение в скобках:
$1-\left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{121}{162} \div \frac{3}{4} = \frac{121}{162} \cdot \frac{4}{3} = \frac{121 \cdot 4}{162 \cdot 3} = \frac{484}{486}$
Сократим полученную дробь на 2:
$1-\left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{242}{243}$
Теперь найдем $\left(\frac{1}{3}\right)^n$:
$\left(\frac{1}{3}\right)^n = 1 - \frac{242}{243} = \frac{243}{243} - \frac{242}{243} = \frac{1}{243}$
Нам нужно найти такое $n$, что $3^n = 243$.
$3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$, $3^4 = 81$, $3^5 = 243$.
Таким образом, $n=5$.

Ответ: В этой прогрессии 5 членов.

37. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую, если сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних 12.

Обозначим искомые четыре числа как $a, b, c, d$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Первые три числа ($a, b, c$) составляют геометрическую прогрессию, следовательно, выполняется свойство $b^2 = a \cdot c$.
2. Последние три числа ($b, c, d$) составляют арифметическую прогрессию, следовательно, выполняется свойство $2c = b + d$.
3. Сумма крайних чисел равна 14: $a + d = 14$.
4. Сумма средних чисел равна 12: $b + c = 12$.

Таким образом, мы имеем систему из четырех уравнений:

$$ \begin{cases} b^2 = ac \\ 2c = b + d \\ a + d = 14 \\ b + c = 12 \end{cases} $$

Для решения системы выразим некоторые переменные через другие. Из третьего и четвертого уравнений получаем:

$d = 14 - a$

$c = 12 - b$

Подставим эти выражения в первые два уравнения. Второе уравнение примет вид:

$2(12 - b) = b + (14 - a)$

$24 - 2b = b + 14 - a$

$10 = 3b - a$

Отсюда выразим $a$ через $b$:

$a = 3b - 10$

Теперь подставим выражения для $a$ и $c$ в первое уравнение системы:

$b^2 = (3b - 10)(12 - b)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$b^2 = 36b - 3b^2 - 120 + 10b$

$b^2 = -3b^2 + 46b - 120$

$4b^2 - 46b + 120 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$2b^2 - 23b + 60 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 60 = 529 - 480 = 49 = 7^2$

Корни для $b$:

$b_1 = \frac{23 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = 4$

$b_2 = \frac{23 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Решение 1

Пусть $b=4$. Найдем остальные числа:

• $c = 12 - b = 12 - 4 = 8$
• $a = 3b - 10 = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2$
• $d = 14 - a = 14 - 2 = 12$

Получили последовательность чисел: 2, 4, 8, 12. Проверим, удовлетворяет ли она условиям:

• Первые три (2, 4, 8) — геометрическая прогрессия со знаменателем $q=2$.
• Последние три (4, 8, 12) — арифметическая прогрессия с разностью $d=4$.
• Сумма крайних: $2 + 12 = 14$.
• Сумма средних: $4 + 8 = 12$.

Все условия выполнены.

Ответ: 2, 4, 8, 12.

Решение 2

Пусть $b=7.5$, или $b = \frac{15}{2}$. Найдем остальные числа:

• $c = 12 - b = 12 - 7.5 = 4.5$ (или $c = 12 - \frac{15}{2} = \frac{9}{2}$)
• $a = 3b - 10 = 3 \cdot 7.5 - 10 = 22.5 - 10 = 12.5$ (или $a = 3 \cdot \frac{15}{2} - 10 = \frac{25}{2}$)
• $d = 14 - a = 14 - 12.5 = 1.5$ (или $d = 14 - \frac{25}{2} = \frac{3}{2}$)

Получили последовательность чисел: 12.5, 7.5, 4.5, 1.5. Проверим, удовлетворяет ли она условиям:

• Первые три (12.5, 7.5, 4.5) — геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{7.5}{12.5} = \frac{3}{5} = 0.6$.
• Последние три (7.5, 4.5, 1.5) — арифметическая прогрессия с разностью $d = 4.5 - 7.5 = -3$.
• Сумма крайних: $12.5 + 1.5 = 14$.
• Сумма средних: $7.5 + 4.5 = 12$.

Все условия выполнены.

Ответ: 12.5, 7.5, 4.5, 1.5 (или $\frac{25}{2}, \frac{15}{2}, \frac{9}{2}, \frac{3}{2}$).

38. Найдите знаменатель и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой $b_1 = \sqrt{3}$, $b_2 = \frac{2}{\sqrt{3}+1}$.

Знаменатель
Для нахождения знаменателя $q$ геометрической прогрессии используется формула $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. В данном случае мы можем найти $q$, разделив второй член прогрессии $b_2$ на первый $b_1$.

Исходные данные: $b_1 = \sqrt{3}$ и $b_2 = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$.

Подставляем значения в формулу:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3} + 1}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2}{3 + \sqrt{3}}$

Для упрощения выражения и дальнейших расчетов избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(3 - \sqrt{3})$.

$q = \frac{2}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{2(3 - \sqrt{3})}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(3 - \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{2(3 - \sqrt{3})}{6} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Прогрессия является бесконечно убывающей, если ее знаменатель $q$ по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Проверим это условие:

$q = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Зная, что $1 < \sqrt{3} < 2$, мы можем оценить значение $q$: $1 - \frac{2}{3} < 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} < 1 - \frac{1}{3}$, что дает $\frac{1}{3} < q < \frac{2}{3}$.

Так как $0 < q < 1$, условие $|q| < 1$ выполняется, следовательно, данная прогрессия действительно является бесконечно убывающей.

Ответ: $q = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$.

Сумма
Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Мы имеем $b_1 = \sqrt{3}$ и $q = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$. Сначала найдем значение выражения $(1 - q)$:

$1 - q = 1 - \frac{3 - \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{3} - \frac{3 - \sqrt{3}}{3} = \frac{3 - (3 - \sqrt{3})}{3} = \frac{3 - 3 + \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 3$

Ответ: $S = 3$.

39. Сумма первых трех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 10,5, а сумма прогрессии равна 12. Найдите ее первый член и знаменатель.

Обозначим первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. По определению, для такой прогрессии должно выполняться условие $|q| < 1$.

Согласно условию задачи, сумма первых трех членов прогрессии, $S_3$, равна 10,5. Сумма первых трех членов выражается как $S_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2$. Вынеся $b_1$ за скобки, получаем первое уравнение:
$b_1(1+q+q^2) = 10,5$

Также по условию, сумма всей прогрессии, $S$, равна 12. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$. Это дает нам второе уравнение:
$\frac{b_1}{1-q} = 12$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$:
$\begin{cases} b_1(1+q+q^2) = 10,5 \\ \frac{b_1}{1-q} = 12 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b_1$:
$b_1 = 12(1-q)$

Теперь подставим это выражение для $b_1$ в первое уравнение системы:
$12(1-q)(1+q+q^2) = 10,5$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$. В нашем случае $(1-q)(1+q+q^2) = 1^3 - q^3 = 1 - q^3$. Уравнение примет вид:
$12(1-q^3) = 10,5$

Решим полученное уравнение относительно $q$. Разделим обе части на 12:
$1-q^3 = \frac{10,5}{12}$
Упростим дробь в правой части: $\frac{10,5}{12} = \frac{21/2}{12} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.
$1 - q^3 = \frac{7}{8}$

Отсюда находим $q^3$:
$q^3 = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем значение знаменателя прогрессии:
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Найденное значение $q=\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $|q|<1$, так как $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q$ в выражение $b_1 = 12(1-q)$:
$b_1 = 12(1 - \frac{1}{2}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$

Проверим найденные значения.
Сумма первых трех членов: $S_3 = 6 + 6 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 6 + 3 + 1,5 = 10,5$. (Верно)
Сумма прогрессии: $S = \frac{6}{1 - 1/2} = \frac{6}{1/2} = 12$. (Верно)

Ответ: первый член прогрессии равен 6, знаменатель равен $\frac{1}{2}$.

40. Три числа, каждое из которых является степенью с основанием $a$ ($a > 0, a \neq 1$), составляют геометрическую прогрессию. Докажите, что логарифмы этих чисел составляют арифметическую прогрессию.

Пусть даны три числа, которые мы обозначим как $b_1, b_2, b_3$. По условию, каждое из них является степенью с основанием $a$, где $a > 0$ и $a \neq 1$. Запишем эти числа в соответствующем виде:
$b_1 = a^{x_1}$
$b_2 = a^{x_2}$
$b_3 = a^{x_3}$
где $x_1, x_2, x_3$ — некоторые действительные числа (показатели степеней).

Также по условию эти три числа составляют геометрическую прогрессию. Характеристическое свойство геометрической прогрессии для трех последовательных членов заключается в том, что квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов:
$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в это равенство выражения для $b_1, b_2, b_3$ через $a$:
$(a^{x_2})^2 = a^{x_1} \cdot a^{x_3}$

Применим свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Тогда равенство примет вид:
$a^{2x_2} = a^{x_1 + x_3}$

Поскольку основание $a > 0$ и $a \neq 1$, из равенства степеней следует равенство их показателей:
$2x_2 = x_1 + x_3$

Теперь рассмотрим логарифмы этих чисел. В условии не указано основание логарифма, поэтому доказательство должно быть верным для логарифма по любому основанию $c$ ($c > 0, c \neq 1$). Обозначим логарифмы чисел $b_1, b_2, b_3$ как $l_1, l_2, l_3$:
$l_1 = \log_c(b_1) = \log_c(a^{x_1})$
$l_2 = \log_c(b_2) = \log_c(a^{x_2})$
$l_3 = \log_c(b_3) = \log_c(a^{x_3})$

Используя свойство логарифма степени ($\log_c(m^p) = p \cdot \log_c(m)$), получим:
$l_1 = x_1 \cdot \log_c(a)$
$l_2 = x_2 \cdot \log_c(a)$
$l_3 = x_3 \cdot \log_c(a)$

Нам необходимо доказать, что последовательность $l_1, l_2, l_3$ является арифметической прогрессией. Для этого достаточно показать, что выполняется ее характеристическое свойство: удвоенный средний член равен сумме крайних членов, то есть $2l_2 = l_1 + l_3$.

Проверим это равенство. Найдем сумму $l_1 + l_3$:
$l_1 + l_3 = x_1 \cdot \log_c(a) + x_3 \cdot \log_c(a) = (x_1 + x_3) \cdot \log_c(a)$

Ранее мы получили, что $x_1 + x_3 = 2x_2$. Подставим это выражение в нашу сумму:
$l_1 + l_3 = (2x_2) \cdot \log_c(a) = 2 \cdot (x_2 \cdot \log_c(a))$

Так как $l_2 = x_2 \cdot \log_c(a)$, то мы приходим к равенству:
$l_1 + l_3 = 2l_2$

Это равенство и является признаком арифметической прогрессии. Таким образом, мы доказали, что логарифмы исходных чисел составляют арифметическую прогрессию. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: если три числа, являющиеся степенями с одинаковым основанием, составляют геометрическую прогрессию, то их логарифмы составляют арифметическую прогрессию.