Номер 31, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 31, страница 280.

Условие.

31. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 26, а произведение второго и четвертого ее членов равно 160. Найдите сумму шести первых членов прогрессии.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из условия задачи составим систему уравнений. Сумма первого и пятого членов равна 26:
$a_1 + a_5 = 26$
$a_1 + (a_1 + 4d) = 26$
$2a_1 + 4d = 26$
Разделив обе части уравнения на 2, получаем:
$a_1 + 2d = 13$.

Произведение второго и четвертого членов равно 160:
$a_2 \cdot a_4 = 160$
$(a_1 + d)(a_1 + 3d) = 160$.

Теперь решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим $a_1 = 13 - 2d$ и подставим это выражение во второе уравнение:
$((13 - 2d) + d)((13 - 2d) + 3d) = 160$
$(13 - d)(13 + d) = 160$
Используя формулу разности квадратов, получаем:
$13^2 - d^2 = 160$
$169 - d^2 = 160$
$d^2 = 169 - 160 = 9$
Отсюда следует, что разность прогрессии $d$ может принимать два значения: $d = 3$ и $d = -3$.

Это означает, что существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи. Найдем сумму шести первых членов ($S_6$) для каждой из них, используя формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Для $n=6$ формула имеет вид: $S_6 = \frac{2a_1 + (6-1)d}{2} \cdot 6 = 3(2a_1 + 5d)$.

Случай 1: $d = 3$
Найдем первый член: $a_1 = 13 - 2(3) = 13 - 6 = 7$.
Теперь вычислим сумму шести первых членов:
$S_6 = 3(2 \cdot 7 + 5 \cdot 3) = 3(14 + 15) = 3(29) = 87$.

Случай 2: $d = -3$
Найдем первый член: $a_1 = 13 - 2(-3) = 13 + 6 = 19$.
Вычислим сумму шести первых членов:
$S_6 = 3(2 \cdot 19 + 5 \cdot (-3)) = 3(38 - 15) = 3(23) = 69$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения, так как обе найденные прогрессии удовлетворяют заданным условиям.
Ответ: 69 или 87.