Номер 31, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 31, страница 280.
№31 (с. 280)
Условие. №31 (с. 280)
скриншот условия

31. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 26, а произведение второго и четвертого ее членов равно 160. Найдите сумму шести первых членов прогрессии.
Решение 1. №31 (с. 280)

Решение 3. №31 (с. 280)

Решение 5. №31 (с. 280)
Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Из условия задачи составим систему уравнений. Сумма первого и пятого членов равна 26:
$a_1 + a_5 = 26$
$a_1 + (a_1 + 4d) = 26$
$2a_1 + 4d = 26$
Разделив обе части уравнения на 2, получаем:
$a_1 + 2d = 13$.
Произведение второго и четвертого членов равно 160:
$a_2 \cdot a_4 = 160$
$(a_1 + d)(a_1 + 3d) = 160$.
Теперь решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим $a_1 = 13 - 2d$ и подставим это выражение во второе уравнение:
$((13 - 2d) + d)((13 - 2d) + 3d) = 160$
$(13 - d)(13 + d) = 160$
Используя формулу разности квадратов, получаем:
$13^2 - d^2 = 160$
$169 - d^2 = 160$
$d^2 = 169 - 160 = 9$
Отсюда следует, что разность прогрессии $d$ может принимать два значения: $d = 3$ и $d = -3$.
Это означает, что существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи. Найдем сумму шести первых членов ($S_6$) для каждой из них, используя формулу суммы $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Для $n=6$ формула имеет вид: $S_6 = \frac{2a_1 + (6-1)d}{2} \cdot 6 = 3(2a_1 + 5d)$.
Случай 1: $d = 3$
Найдем первый член: $a_1 = 13 - 2(3) = 13 - 6 = 7$.
Теперь вычислим сумму шести первых членов:
$S_6 = 3(2 \cdot 7 + 5 \cdot 3) = 3(14 + 15) = 3(29) = 87$.
Случай 2: $d = -3$
Найдем первый член: $a_1 = 13 - 2(-3) = 13 + 6 = 19$.
Вычислим сумму шести первых членов:
$S_6 = 3(2 \cdot 19 + 5 \cdot (-3)) = 3(38 - 15) = 3(23) = 69$.
Таким образом, задача имеет два возможных решения, так как обе найденные прогрессии удовлетворяют заданным условиям.
Ответ: 69 или 87.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 31 расположенного на странице 280 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №31 (с. 280), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.