Номер 26, страница 279 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 26, страница 279.

Условие.

26. Решите уравнение:

а) $\frac{x-2}{2,5} = \frac{6}{x}$;

б) $\frac{x}{x+5} = \frac{4,8}{1,2}$;

в) $\frac{x-3}{x-2} = \frac{6,5}{1,5}$;

г) $\frac{4-x}{1,2} = \frac{5}{x+3}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дано уравнение: $ \frac{x-2}{2.5} = \frac{6}{x} $.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.
Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$ x \cdot (x-2) = 2.5 \cdot 6 $
$ x^2 - 2x = 15 $
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ x^2 - 2x - 15 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 $
Найдем корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 $
$ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $
Оба корня (5 и -3) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $-3; 5$.

б) Дано уравнение: $ \frac{x}{x+5} = \frac{4.8}{1.2} $.
ОДЗ: $x+5 \neq 0$, следовательно, $x \neq -5$.
Сначала упростим правую часть уравнения:
$ \frac{4.8}{1.2} = \frac{48}{12} = 4 $
Теперь уравнение имеет вид:
$ \frac{x}{x+5} = 4 $
Умножим обе части на $(x+5)$:
$ x = 4(x+5) $
$ x = 4x + 20 $
$ x - 4x = 20 $
$ -3x = 20 $
$ x = -\frac{20}{3} $
Полученный корень не равен -5, значит, он удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{20}{3}$.

в) Дано уравнение: $ \frac{x-3}{x-2} = \frac{6.5}{1.5} $.
ОДЗ: $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.
Упростим правую часть уравнения. Умножим числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков, а затем сократим:
$ \frac{6.5}{1.5} = \frac{65}{15} = \frac{13 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{13}{3} $
Уравнение принимает вид:
$ \frac{x-3}{x-2} = \frac{13}{3} $
Применим свойство пропорции:
$ 3(x-3) = 13(x-2) $
$ 3x - 9 = 13x - 26 $
$ 26 - 9 = 13x - 3x $
$ 17 = 10x $
$ x = \frac{17}{10} = 1.7 $
Корень $x=1.7$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$).
Ответ: $1.7$.

г) Дано уравнение: $ \frac{4-x}{1.2} = \frac{5}{x+3} $.
ОДЗ: $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.
Применим свойство пропорции:
$ (4-x)(x+3) = 1.2 \cdot 5 $
$ (4-x)(x+3) = 6 $
Раскроем скобки в левой части:
$ 4x + 12 - x^2 - 3x = 6 $
Приведем подобные слагаемые:
$ -x^2 + x + 12 = 6 $
Перенесем все в левую часть:
$ -x^2 + x + 12 - 6 = 0 $
$ -x^2 + x + 6 = 0 $
Умножим уравнение на -1 для удобства решения:
$ x^2 - x - 6 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 $
Найдем корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 $
$ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $
Оба корня (3 и -2) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: $-2; 3$.