Номер 33, страница 280 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 33, страница 280.

Условие.

33. Докажите, что числа $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, $\frac{1}{2-\sqrt{2}}$ и $\frac{1}{2}$ образуют геометрическую прогрессию.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что три числа $b_1, b_2, b_3$ образуют геометрическую прогрессию, необходимо и достаточно показать, что квадрат среднего члена равен произведению крайних членов. То есть, должно выполняться характеристическое свойство геометрической прогрессии: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

В данном случае имеем следующие числа:

$b_1 = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

$b_2 = \frac{1}{2-\sqrt{2}}$

$b_3 = \frac{1}{2}$

Сначала преобразуем выражения для первого и второго членов, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателях.

Для $b_1$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{2}+1)$:

$b_1 = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = 3+2\sqrt{2}$

Для $b_2$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(2+\sqrt{2})$:

$b_2 = \frac{1}{2-\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2+\sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2}$

Теперь, используя упрощенные выражения, проверим, выполняется ли равенство $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Найдем квадрат второго члена $b_2$:

$b_2^2 = \left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(2+\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{4} = \frac{4+4\sqrt{2}+2}{4} = \frac{6+4\sqrt{2}}{4} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2}$

Найдем произведение первого и третьего членов $b_1 \cdot b_3$:

$b_1 \cdot b_3 = (3+2\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2}$

Мы получили, что $b_2^2 = \frac{3+2\sqrt{2}}{2}$ и $b_1 \cdot b_3 = \frac{3+2\sqrt{2}}{2}$.

Так как результаты совпадают ($b_2^2 = b_1 \cdot b_3$), то характеристическое свойство геометрической прогрессии выполняется. Следовательно, данные числа образуют геометрическую прогрессию.

Ответ: Утверждение доказано. Числа $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, $\frac{1}{2-\sqrt{2}}$ и $\frac{1}{2}$ действительно образуют геометрическую прогрессию.