Номер 27, страница 279 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 27, страница 279.

Условие.

27. Через точку $E$ стороны $AB$ треугольника $ABC$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$. Найдите:

а) отрезки, на которые прямая делит сторону $BC$, если $AB = 22,5$ см, $AE = 18$ см, $BC = 15$ см;

б) площади фигур, на которые делится треугольник $ABC$, если $AB = 7,5$ см, $AE = 5$ см, а площадь треугольника $ABC$ равна $72$ см$^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть в треугольнике $ABC$ через точку $E$ на стороне $AB$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$. Обозначим точку пересечения этой прямой со стороной $BC$ как $F$. Таким образом, у нас есть прямая $EF$, такая что $E \in AB$, $F \in BC$ и $EF \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EBF$.

• Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
• Поскольку $EF \parallel AC$, углы $\angle BEF$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $EF$, $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольник $EBF$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle EBF \sim \triangle ABC$) по двум углам.

а) отрезки, на которые прямая делит сторону BC, если AB = 22,5 см, AE = 18 см, BC = 15 см;

Прямая $EF$ делит сторону $BC$ на отрезки $BF$ и $FC$. Нам необходимо найти их длины.

Сначала найдем длину отрезка $BE$:
$BE = AB - AE = 22,5 - 18 = 4,5$ см.

Из подобия треугольников $\triangle EBF \sim \triangle ABC$ следует, что их стороны пропорциональны: $$ \frac{BE}{AB} = \frac{BF}{BC} $$ Подставим известные значения в пропорцию: $$ \frac{4,5}{22,5} = \frac{BF}{15} $$ Теперь найдем длину отрезка $BF$: $$ BF = 15 \cdot \frac{4,5}{22,5} = 15 \cdot \frac{1}{5} = 3 \text{ см} $$ Длина второго отрезка $FC$ равна разности длин $BC$ и $BF$: $$ FC = BC - BF = 15 - 3 = 12 \text{ см} $$

Ответ: 3 см и 12 см.

б) площади фигур, на которые делится треугольник ABC, если AB = 7,5 см, AE = 5 см, а площадь треугольника ABC равна 72 см².

Прямая $EF$ делит треугольник $ABC$ на две фигуры: меньший треугольник $EBF$ и трапецию $ACFE$. Нам нужно найти площади этих двух фигур.

Сначала найдем длину отрезка $BE$:
$BE = AB - AE = 7,5 - 5 = 2,5$ см.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия $k$. Найдем коэффициент подобия: $$ k = \frac{BE}{AB} = \frac{2,5}{7,5} = \frac{1}{3} $$ Теперь найдем отношение площадей: $$ \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $$ Зная площадь треугольника $ABC$, мы можем найти площадь треугольника $EBF$: $$ S_{EBF} = S_{ABC} \cdot \frac{1}{9} = 72 \cdot \frac{1}{9} = 8 \text{ см}^2 $$ Площадь трапеции $ACFE$ является разностью площадей треугольника $ABC$ и треугольника $EBF$: $$ S_{ACFE} = S_{ABC} - S_{EBF} = 72 - 8 = 64 \text{ см}^2 $$

Ответ: 8 см² и 64 см².