Номер 20, страница 279 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 20, страница 279.
№20 (с. 279)
Условие. №20 (с. 279)
скриншот условия

20. Докажите рациональность числа:
а) $ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - 2\sqrt{6}; $
б) $ (\sqrt{2} + 1)^2 + (1 - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1); $
в) $ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} - \sqrt{35}; $
г) $ (3\sqrt{18} + 2\sqrt{8} + 4\sqrt{50}) : \sqrt{2}. $
Решение 1. №20 (с. 279)

Решение 3. №20 (с. 279)

Решение 5. №20 (с. 279)
а) $ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - 2\sqrt{6} $
Для доказательства рациональности числа, необходимо его упростить. Начнем с первого слагаемого. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{3} + \sqrt{2} $:
$ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} $
Применим формулы квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ и разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{3 - 2} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{1} = 5 + 2\sqrt{6} $
Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$ (5 + 2\sqrt{6}) - 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 5 $
Результат равен 5. Число 5 является целым, а любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $ \frac{5}{1} $. Таким образом, рациональность числа доказана.
Ответ: 5.
б) $ (\sqrt{2} + 1)^2 + (1 - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1) $
Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $, квадрат разности $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $ и разность квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $.
Первое слагаемое: $ (\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} $.
Второе слагаемое: $ (1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2} $.
Третье слагаемое: $ (\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1) = (\sqrt{7})^2 - 1^2 = 7 - 1 = 6 $.
Теперь сложим и вычтем полученные результаты:
$ (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) - 6 = 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} - 6 = (3+3-6) + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = 0 $
Результат равен 0. Число 0 является целым, а следовательно, и рациональным числом (можно представить как $ \frac{0}{1} $). Рациональность доказана.
Ответ: 0.
в) $ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} - \sqrt{35} $
Для упрощения выражения сначала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{7} + \sqrt{5} $:
$ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} $
Используя формулы квадрата суммы и разности квадратов, получим:
$ \frac{(\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{7 - 5} = \frac{7 + 2\sqrt{35} + 5}{2} = \frac{12 + 2\sqrt{35}}{2} $
Разделим числитель на 2:
$ \frac{2(6 + \sqrt{35})}{2} = 6 + \sqrt{35} $
Подставим полученное выражение обратно в исходное:
$ (6 + \sqrt{35}) - \sqrt{35} = 6 + \sqrt{35} - \sqrt{35} = 6 $
Результат равен 6. Это целое число, которое является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $ \frac{6}{1} $. Рациональность числа доказана.
Ответ: 6.
г) $ (3\sqrt{18} + 2\sqrt{8} + 4\sqrt{50}) : \sqrt{2} $
Сначала упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множители из-под знака корня:
$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $
$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $
$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} $
Подставим упрощенные корни обратно в выражение в скобках:
$ 3\sqrt{18} + 2\sqrt{8} + 4\sqrt{50} = 3(3\sqrt{2}) + 2(2\sqrt{2}) + 4(5\sqrt{2}) = 9\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 20\sqrt{2} $
Сложим подобные слагаемые:
$ (9 + 4 + 20)\sqrt{2} = 33\sqrt{2} $
Теперь выполним деление на $ \sqrt{2} $:
$ (33\sqrt{2}) : \sqrt{2} = \frac{33\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 33 $
Результат равен 33. Это целое число, следовательно, оно является рациональным ($ 33 = \frac{33}{1} $). Рациональность числа доказана.
Ответ: 33.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 20 расположенного на странице 279 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №20 (с. 279), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.