Номер 20, страница 279 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 20, страница 279.

Условие.

20. Докажите рациональность числа:

а) $ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - 2\sqrt{6}; $

б) $ (\sqrt{2} + 1)^2 + (1 - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1); $

в) $ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} - \sqrt{35}; $

г) $ (3\sqrt{18} + 2\sqrt{8} + 4\sqrt{50}) : \sqrt{2}. $

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - 2\sqrt{6} $

Для доказательства рациональности числа, необходимо его упростить. Начнем с первого слагаемого. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{3} + \sqrt{2} $:

$ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} $

Применим формулы квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ и разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{3 - 2} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{1} = 5 + 2\sqrt{6} $

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$ (5 + 2\sqrt{6}) - 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 5 $

Результат равен 5. Число 5 является целым, а любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $ \frac{5}{1} $. Таким образом, рациональность числа доказана.

Ответ: 5.

б) $ (\sqrt{2} + 1)^2 + (1 - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1) $

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $, квадрат разности $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $ и разность квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $.

Первое слагаемое: $ (\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} $.

Второе слагаемое: $ (1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2} $.

Третье слагаемое: $ (\sqrt{7} + 1)(\sqrt{7} - 1) = (\sqrt{7})^2 - 1^2 = 7 - 1 = 6 $.

Теперь сложим и вычтем полученные результаты:

$ (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) - 6 = 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} - 6 = (3+3-6) + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = 0 $

Результат равен 0. Число 0 является целым, а следовательно, и рациональным числом (можно представить как $ \frac{0}{1} $). Рациональность доказана.

Ответ: 0.

в) $ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} - \sqrt{35} $

Для упрощения выражения сначала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{7} + \sqrt{5} $:

$ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} $

Используя формулы квадрата суммы и разности квадратов, получим:

$ \frac{(\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{7 - 5} = \frac{7 + 2\sqrt{35} + 5}{2} = \frac{12 + 2\sqrt{35}}{2} $

Разделим числитель на 2:

$ \frac{2(6 + \sqrt{35})}{2} = 6 + \sqrt{35} $

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$ (6 + \sqrt{35}) - \sqrt{35} = 6 + \sqrt{35} - \sqrt{35} = 6 $

Результат равен 6. Это целое число, которое является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $ \frac{6}{1} $. Рациональность числа доказана.

Ответ: 6.

г) $ (3\sqrt{18} + 2\sqrt{8} + 4\sqrt{50}) : \sqrt{2} $

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множители из-под знака корня:

$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $

$ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $

$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} $

Подставим упрощенные корни обратно в выражение в скобках:

$ 3\sqrt{18} + 2\sqrt{8} + 4\sqrt{50} = 3(3\sqrt{2}) + 2(2\sqrt{2}) + 4(5\sqrt{2}) = 9\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 20\sqrt{2} $

Сложим подобные слагаемые:

$ (9 + 4 + 20)\sqrt{2} = 33\sqrt{2} $

Теперь выполним деление на $ \sqrt{2} $:

$ (33\sqrt{2}) : \sqrt{2} = \frac{33\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 33 $

Результат равен 33. Это целое число, следовательно, оно является рациональным ($ 33 = \frac{33}{1} $). Рациональность числа доказана.

Ответ: 33.