Номер 15, страница 278 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 15, страница 278.

Условие.

15. Верно ли, что сумма (произведение) чисел $a$ и $b$ является рациональным (иррациональным) числом, если:

а) $a$ и $b$ — рациональные числа;

б) $a$ и $b$ — иррациональные числа;

в) $a$ — рациональное, а $b$ — иррациональное число?

Решение 1.

Решение 5.

а) а и b – рациональные числа;

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное (или ненулевое целое) число. Множество рациональных чисел является замкнутым относительно операций сложения и умножения.

Сумма: Пусть $a = \frac{p_1}{q_1}$ и $b = \frac{p_2}{q_2}$ — два рациональных числа. Их сумма равна $a + b = \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1q_2 + p_2q_1}{q_1q_2}$. Так как $p_1, q_1, p_2, q_2$ — целые числа, то числитель $p_1q_2 + p_2q_1$ и знаменатель $q_1q_2$ также являются целыми числами, причем знаменатель не равен нулю. Следовательно, сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Произведение: Произведение этих же чисел равно $a \cdot b = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1p_2}{q_1q_2}$. Числитель $p_1p_2$ и знаменатель $q_1q_2$ — целые числа, знаменатель не равен нулю. Следовательно, произведение двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Ответ: Сумма и произведение двух рациональных чисел всегда являются рациональными числами.

б) а и b – иррациональные числа;

Сумма: Сумма двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным числом.

• Пример рациональной суммы: пусть $a = \sqrt{2}$ и $b = -\sqrt{2}$. Оба числа иррациональные, но их сумма $a+b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ является рациональным числом.
• Пример иррациональной суммы: пусть $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{3}$. Оба числа иррациональные, и их сумма $a+b = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ также является иррациональным числом.

Следовательно, неверно утверждать, что сумма двух иррациональных чисел всегда рациональна или всегда иррациональна.

Произведение: Произведение двух иррациональных чисел также может быть как рациональным, так и иррациональным числом.

• Пример рационального произведения: пусть $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{2}$. Оба числа иррациональные, но их произведение $a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ является рациональным числом.
• Пример иррационального произведения: пусть $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{3}$. Оба числа иррациональные, и их произведение $a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ также является иррациональным числом.

Следовательно, неверно утверждать, что произведение двух иррациональных чисел всегда рационально или всегда иррационально.

Ответ: Сумма и произведение двух иррациональных чисел могут быть как рациональными, так и иррациональными числами. Утверждение, что результат всегда рационален или всегда иррационален, является неверным.

в) а – рациональное, а b – иррациональное число?

Сумма: Сумма рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным числом. Докажем от противного. Пусть $a$ — рациональное, $b$ — иррациональное, а их сумма $a+b = c$ — рациональное число. Тогда можно выразить $b = c - a$. Так как $c$ и $a$ — рациональные числа, их разность $c-a$ также является рациональным числом. Получается, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно, и сумма $a+b$ всегда иррациональна.

Произведение: Произведение рационального и иррационального чисел может быть как рациональным, так и иррациональным.

• Если рациональное число $a = 0$, то произведение $a \cdot b = 0 \cdot b = 0$. Число 0 является рациональным.
• Если рациональное число $a \neq 0$, то произведение $a \cdot b$ всегда будет иррациональным. Докажем от противного. Пусть $a \neq 0$ — рациональное, $b$ — иррациональное, а их произведение $a \cdot b = c$ — рациональное число. Тогда можно выразить $b = \frac{c}{a}$. Так как $c$ и $a \neq 0$ — рациональные числа, их частное $\frac{c}{a}$ также является рациональным числом. Получается, что $b$ — рациональное число, что противоречит условию. Следовательно, если $a \neq 0$, произведение $a \cdot b$ всегда иррационально.

Поскольку результат зависит от значения рационального числа, нельзя утверждать, что произведение всегда рационально или всегда иррационально.

Ответ: Сумма рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным числом. Произведение рационального и иррационального чисел является иррациональным, если рациональное число не равно нулю, и рациональным (равным 0), если рациональное число равно нулю.