Номер 17, страница 278 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 17, страница 278.

Условие.

17. Расположите числа в порядке возрастания. Укажите, какие из них являются рациональными, а какие — иррациональными числами:

а) $ \sqrt{3} $; -2; -1,7; $ \frac{\pi}{3} $;

б) $ \log_2 3 $; -1; $ \frac{5}{6} $; $ -\sqrt{5} $;

в) 0,(2); $ \frac{7}{6} $; $ -\frac{\sqrt{5}}{2} $;

г) $ e $; -1,(6); $ \sqrt{10} $; $ \lg 100 $.

Решение 1.

Решение 5.

а)

Проанализируем каждое число из набора: $\sqrt{3}; -2; -1,7; \frac{\pi}{3}$.

• $\sqrt{3}$ — это иррациональное число, так как корень извлекается из числа, не являющегося полным квадратом. Его приблизительное значение: $\sqrt{3} \approx 1,732$.
• $-2$ — это рациональное число (целое).
• $-1,7$ — это рациональное число, так как его можно представить в виде обыкновенной дроби: $-1,7 = -\frac{17}{10}$.
• $\frac{\pi}{3}$ — это иррациональное число, так как в его записи участвует иррациональное число $\pi$. Его приблизительное значение: $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14159}{3} \approx 1,047$.

Теперь сравним значения чисел и расположим их в порядке возрастания:

$-2 < -1,7 < 1,047... < 1,732...$

Следовательно, итоговый ряд: $-2; -1,7; \frac{\pi}{3}; \sqrt{3}$.

Рациональные числа: $-2; -1,7$.

Иррациональные числа: $\sqrt{3}; \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-2; -1,7; \frac{\pi}{3}; \sqrt{3}$. Рациональные: $-2; -1,7$. Иррациональные: $\sqrt{3}; \frac{\pi}{3}$.

б)

Проанализируем каждое число из набора: $\log_2 3; -1; \frac{5}{6}; -\sqrt{5}$.

• $\log_2 3$ — это иррациональное число, так как не существует такого рационального числа $x$, что $2^x = 3$. Его приблизительное значение: $1 < \log_2 3 < 2$, так как $2^1 < 3 < 2^2$. $\log_2 3 \approx 1,585$.
• $-1$ — это рациональное число (целое).
• $\frac{5}{6}$ — это рациональное число. В виде десятичной дроби: $\frac{5}{6} \approx 0,833$.
• $-\sqrt{5}$ — это иррациональное число. Его приблизительное значение: $-\sqrt{5} \approx -2,236$.

Сравним значения и расположим в порядке возрастания:

$-2,236... < -1 < 0,833... < 1,585...$

Следовательно, итоговый ряд: $-\sqrt{5}; -1; \frac{5}{6}; \log_2 3$.

Рациональные числа: $-1; \frac{5}{6}$.

Иррациональные числа: $\log_2 3; -\sqrt{5}$.

Ответ: $-\sqrt{5}; -1; \frac{5}{6}; \log_2 3$. Рациональные: $-1; \frac{5}{6}$. Иррациональные: $\log_2 3; -\sqrt{5}$.

в)

Проанализируем каждое число из набора: $0,(2); \frac{7}{6}; -\frac{\sqrt{5}}{2}$.

• $0,(2)$ — это рациональное число (периодическая десятичная дробь). Его можно представить в виде обыкновенной дроби: $0,(2) = \frac{2}{9} \approx 0,222$.
• $\frac{7}{6}$ — это рациональное число. Его можно представить в виде десятичной дроби: $\frac{7}{6} = 1 \frac{1}{6} \approx 1,167$.
• $-\frac{\sqrt{5}}{2}$ — это иррациональное число. Его приблизительное значение: $-\frac{\sqrt{5}}{2} \approx -\frac{2,236}{2} = -1,118$.

Сравним значения и расположим в порядке возрастания:

$-1,118... < 0,222... < 1,167...$

Следовательно, итоговый ряд: $-\frac{\sqrt{5}}{2}; 0,(2); \frac{7}{6}$.

Рациональные числа: $0,(2); \frac{7}{6}$.

Иррациональные числа: $-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{5}}{2}; 0,(2); \frac{7}{6}$. Рациональные: $0,(2); \frac{7}{6}$. Иррациональные: $-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

г)

Проанализируем каждое число из набора: $e; -1,(6); \sqrt{10}; \lg 100$.

• $e$ — это иррациональное (трансцендентное) число, основание натурального логарифма. Его приблизительное значение: $e \approx 2,718$.
• $-1,(6)$ — это рациональное число (периодическая дробь). Представим в виде обыкновенной дроби: $-1,(6) = -(1 + \frac{6}{9}) = -(1 + \frac{2}{3}) = -\frac{5}{3} \approx -1,667$.
• $\sqrt{10}$ — это иррациональное число. Его приблизительное значение: $\sqrt{10} \approx 3,162$.
• $\lg 100$ — это рациональное число. $\lg 100 = \log_{10} 100 = \log_{10} 10^2 = 2$.

Сравним значения и расположим в порядке возрастания:

$-1,667... < 2 < 2,718... < 3,162...$

Следовательно, итоговый ряд: $-1,(6); \lg 100; e; \sqrt{10}$.

Рациональные числа: $-1,(6); \lg 100$.

Иррациональные числа: $e; \sqrt{10}$.

Ответ: $-1,(6); \lg 100; e; \sqrt{10}$. Рациональные: $-1,(6); \lg 100$. Иррациональные: $e; \sqrt{10}$.