Номер 14, страница 278 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 14, страница 278.
№14 (с. 278)
Условие. №14 (с. 278)
скриншот условия

14. Докажите, что не является рациональным каждое из чисел:
а) $\sqrt{5}$;
б) $2\sqrt{7}$;
в) $\sqrt{5}+1$;
г) $\frac{\sqrt{7}}{3}$.
Решение 1. №14 (с. 278)

Решение 5. №14 (с. 278)
Для доказательства иррациональности чисел будем использовать метод от противного. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число ($p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$).
а) $\sqrt{5}$
Предположим, что число $\sqrt{5}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
$\sqrt{5} = \frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$ и дробь $\frac{p}{q}$ несократима.
Возведем обе части равенства в квадрат:
$5 = \left(\frac{p}{q}\right)^2 = \frac{p^2}{q^2}$
Отсюда следует, что $p^2 = 5q^2$.
Из этого равенства видно, что $p^2$ делится на 5. Если квадрат числа делится на простое число 5, то и само число должно делиться на 5. Следовательно, $p$ делится на 5. Мы можем записать $p$ в виде $p = 5k$, где $k$ — некоторое целое число.
Подставим $p = 5k$ в равенство $p^2 = 5q^2$:
$(5k)^2 = 5q^2$
$25k^2 = 5q^2$
Разделим обе части на 5:
$5k^2 = q^2$
Из последнего равенства следует, что $q^2$ делится на 5, а значит, и само число $q$ делится на 5.
Мы получили, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ делятся на 5. Это означает, что дробь $\frac{p}{q}$ сократима, что противоречит нашему первоначальному предположению о несократимости дроби. Следовательно, наше предположение о том, что $\sqrt{5}$ является рациональным числом, неверно.
Ответ: Число $\sqrt{5}$ является иррациональным.
б) $2\sqrt{7}$
Предположим от противного, что число $2\sqrt{7}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$.
$2\sqrt{7} = \frac{p}{q}$
Выразим из этого равенства $\sqrt{7}$:
$\sqrt{7} = \frac{p}{2q}$
В правой части равенства стоит дробь, числитель которой $p$ — целое число, а знаменатель $2q$ — натуральное число. Следовательно, число $\frac{p}{2q}$ является рациональным. Таким образом, мы получаем, что $\sqrt{7}$ — рациональное число.
Однако, число 7 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{7}$ — иррациональное число (это доказывается аналогично пункту а)). Получаем противоречие: иррациональное число $\sqrt{7}$ равно рациональному числу $\frac{p}{2q}$.
Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.
Ответ: Число $2\sqrt{7}$ является иррациональным.
в) $\sqrt{5} + 1$
Предположим от противного, что число $\sqrt{5} + 1$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$.
$\sqrt{5} + 1 = \frac{p}{q}$
Выразим из этого равенства $\sqrt{5}$:
$\sqrt{5} = \frac{p}{q} - 1 = \frac{p-q}{q}$
В правой части равенства стоит дробь, числитель которой $p-q$ — целое число, а знаменатель $q$ — натуральное число. Следовательно, число $\frac{p-q}{q}$ является рациональным. Таким образом, мы получаем, что $\sqrt{5}$ — рациональное число.
Это противоречит доказанному в пункте а) факту, что $\sqrt{5}$ является иррациональным числом. Противоречие возникло из-за нашего неверного предположения.
Ответ: Число $\sqrt{5} + 1$ является иррациональным.
г) $\frac{\sqrt{7}}{3}$
Предположим от противного, что число $\frac{\sqrt{7}}{3}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$.
$\frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{p}{q}$
Выразим из этого равенства $\sqrt{7}$:
$\sqrt{7} = \frac{3p}{q}$
В правой части равенства стоит дробь, числитель которой $3p$ — целое число, а знаменатель $q$ — натуральное число. Следовательно, число $\frac{3p}{q}$ является рациональным. Таким образом, мы получаем, что $\sqrt{7}$ — рациональное число.
Это противоречит тому, что $\sqrt{7}$ является иррациональным числом (как было упомянуто в пункте б)). Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.
Ответ: Число $\frac{\sqrt{7}}{3}$ является иррациональным.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 14 расположенного на странице 278 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14 (с. 278), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.