Номер 14, страница 278 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 14, страница 278.

Условие.

14. Докажите, что не является рациональным каждое из чисел:

а) $\sqrt{5}$;

б) $2\sqrt{7}$;

в) $\sqrt{5}+1$;

г) $\frac{\sqrt{7}}{3}$.

Решение 1.

Решение 5.

Для доказательства иррациональности чисел будем использовать метод от противного. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число ($p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$).

а) $\sqrt{5}$

Предположим, что число $\sqrt{5}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:

$\sqrt{5} = \frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$ и дробь $\frac{p}{q}$ несократима.

Возведем обе части равенства в квадрат:

$5 = \left(\frac{p}{q}\right)^2 = \frac{p^2}{q^2}$

Отсюда следует, что $p^2 = 5q^2$.

Из этого равенства видно, что $p^2$ делится на 5. Если квадрат числа делится на простое число 5, то и само число должно делиться на 5. Следовательно, $p$ делится на 5. Мы можем записать $p$ в виде $p = 5k$, где $k$ — некоторое целое число.

Подставим $p = 5k$ в равенство $p^2 = 5q^2$:

$(5k)^2 = 5q^2$

$25k^2 = 5q^2$

Разделим обе части на 5:

$5k^2 = q^2$

Из последнего равенства следует, что $q^2$ делится на 5, а значит, и само число $q$ делится на 5.

Мы получили, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ делятся на 5. Это означает, что дробь $\frac{p}{q}$ сократима, что противоречит нашему первоначальному предположению о несократимости дроби. Следовательно, наше предположение о том, что $\sqrt{5}$ является рациональным числом, неверно.

Ответ: Число $\sqrt{5}$ является иррациональным.

б) $2\sqrt{7}$

Предположим от противного, что число $2\sqrt{7}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$.

$2\sqrt{7} = \frac{p}{q}$

Выразим из этого равенства $\sqrt{7}$:

$\sqrt{7} = \frac{p}{2q}$

В правой части равенства стоит дробь, числитель которой $p$ — целое число, а знаменатель $2q$ — натуральное число. Следовательно, число $\frac{p}{2q}$ является рациональным. Таким образом, мы получаем, что $\sqrt{7}$ — рациональное число.

Однако, число 7 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{7}$ — иррациональное число (это доказывается аналогично пункту а)). Получаем противоречие: иррациональное число $\sqrt{7}$ равно рациональному числу $\frac{p}{2q}$.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Число $2\sqrt{7}$ является иррациональным.

в) $\sqrt{5} + 1$

Предположим от противного, что число $\sqrt{5} + 1$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$.

$\sqrt{5} + 1 = \frac{p}{q}$

Выразим из этого равенства $\sqrt{5}$:

$\sqrt{5} = \frac{p}{q} - 1 = \frac{p-q}{q}$

В правой части равенства стоит дробь, числитель которой $p-q$ — целое число, а знаменатель $q$ — натуральное число. Следовательно, число $\frac{p-q}{q}$ является рациональным. Таким образом, мы получаем, что $\sqrt{5}$ — рациональное число.

Это противоречит доказанному в пункте а) факту, что $\sqrt{5}$ является иррациональным числом. Противоречие возникло из-за нашего неверного предположения.

Ответ: Число $\sqrt{5} + 1$ является иррациональным.

г) $\frac{\sqrt{7}}{3}$

Предположим от противного, что число $\frac{\sqrt{7}}{3}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$.

$\frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{p}{q}$

Выразим из этого равенства $\sqrt{7}$:

$\sqrt{7} = \frac{3p}{q}$

В правой части равенства стоит дробь, числитель которой $3p$ — целое число, а знаменатель $q$ — натуральное число. Следовательно, число $\frac{3p}{q}$ является рациональным. Таким образом, мы получаем, что $\sqrt{7}$ — рациональное число.

Это противоречит тому, что $\sqrt{7}$ является иррациональным числом (как было упомянуто в пункте б)). Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Число $\frac{\sqrt{7}}{3}$ является иррациональным.