Номер 7, страница 277 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 7, страница 277.

Условие.

7. Докажите, что:

а) $|a| = |-a|$;

б) $x \le |x|$;

в) $|x|^2 = x^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Докажем равенство $|a| = |-a|$, рассмотрев два случая, основанных на определении модуля числа.

1. Пусть $a \ge 0$. По определению модуля, $|a| = a$. В этом случае $-a \le 0$, и по определению модуля для неположительных чисел, $|-a| = -(-a) = a$. Таким образом, обе части равенства равны $a$, и равенство $|a| = |-a|$ выполняется.

2. Пусть $a < 0$. По определению модуля, $|a| = -a$. В этом случае $-a > 0$, и по определению модуля для положительных чисел, $|-a| = -a$. Таким образом, обе части равенства равны $-a$, и равенство $|a| = |-a|$ выполняется.

Так как равенство верно для всех возможных значений $a$, оно доказано.

Ответ: Равенство $|a| = |-a|$ доказано.

б) Докажем неравенство $x \le |x|$, рассмотрев два случая.

1. Пусть $x \ge 0$. По определению модуля, $|x| = x$. Неравенство принимает вид $x \le x$. Это неравенство верно для любого неотрицательного числа.

2. Пусть $x < 0$. По определению модуля, $|x| = -x$. Неравенство принимает вид $x \le -x$. Поскольку $x$ является отрицательным числом, $-x$ является положительным числом. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, следовательно, неравенство $x < -x$, а значит и $x \le -x$, является верным.

Неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: Неравенство $x \le |x|$ доказано.

в) Докажем равенство $|x|^2 = x^2$, рассмотрев два случая.

1. Пусть $x \ge 0$. По определению модуля, $|x| = x$. Тогда левая часть равенства преобразуется следующим образом: $|x|^2 = (x)^2 = x^2$. Получаем тождество $x^2 = x^2$, которое является верным.

2. Пусть $x < 0$. По определению модуля, $|x| = -x$. Тогда левая часть равенства преобразуется следующим образом: $|x|^2 = (-x)^2 = x^2$. Получаем тождество $x^2 = x^2$, которое также является верным.

Равенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: Равенство $|x|^2 = x^2$ доказано.