Номер 1, страница 277 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 1, страница 277.

Условие.

1. Верно ли утверждение:

a) если натуральное число делится на 6, то оно делится на 3;

б) если сумма двух чисел — четное число, то каждое слагаемое четно;

в) если произведение двух чисел равно нулю, то каждый множитель равен нулю;

г) если куб некоторого числа делится на 8, то это число четно?

Решение 1.

Решение 5.

а) если натуральное число делится на 6, то оно делится на 3;
Утверждение верно. Если натуральное число $n$ делится на 6, это означает, что его можно представить в виде $n = 6 \cdot k$, где $k$ — некоторое натуральное число. Поскольку $6 = 2 \cdot 3$, мы можем переписать это равенство как $n = (2 \cdot 3) \cdot k = 3 \cdot (2k)$. Так как $2k$ является целым числом, то число $n$ представляет собой произведение тройки и целого числа, что по определению означает, что $n$ делится на 3.
Пример: 18 делится на 6 ($18:6=3$), и 18 также делится на 3 ($18:3=6$).
Ответ: Верно.

б) если сумма двух чисел — четное число, то каждое слагаемое четно;
Утверждение неверно. Сумма двух чисел является четной в двух случаях: либо оба слагаемых четные, либо оба слагаемых нечетные. Утверждение рассматривает только первый случай. Чтобы его опровергнуть, достаточно привести контрпример, подпадающий под второй случай.
Пример: Возьмем два нечетных числа, 3 и 7. Их сумма $3 + 7 = 10$. Сумма (10) является четным числом, однако ни одно из слагаемых (3 и 7) не является четным.
Ответ: Неверно.

в) если произведение двух чисел равно нулю, то каждый множитель равен нулю;
Утверждение неверно. Свойство произведения, равного нулю, гласит, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Слово "каждый" подразумевает, что все множители должны быть равны нулю, что не является обязательным условием.
Пример: Рассмотрим произведение $5 \cdot 0 = 0$. Произведение равно нулю, но только один из множителей равен нулю.
Ответ: Неверно.

г) если куб некоторого числа делится на 8, то это число четно?
Утверждение верно. Пусть число $n$. Проверим два случая.
1. Если $n$ — четное число, его можно записать как $n = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда его куб $n^3 = (2k)^3 = 8k^3$. Очевидно, что $8k^3$ делится на 8.
2. Если $n$ — нечетное число, его можно записать как $n = 2k + 1$. Тогда его куб $n^3 = (2k + 1)^3$. Куб нечетного числа всегда является нечетным числом. Нечетное число не может делиться нацело на четное число 8.
Поскольку по условию куб числа $n^3$ делится на 8, то он не может быть нечетным. Следовательно, и само число $n$ не может быть нечетным. Значит, число $n$ — четное.
Ответ: Верно.