Номер 11, страница 275 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы и задачи на повторение. Глава 4. Показательная и логарифмическая функции - номер 11, страница 275.
№11 (с. 275)
Условие. №11 (с. 275)
скриншот условия

11. 1) Какую производную имеет функция $y = \log_a x$? Найдите общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x}$.
2) Найдите производную функции:
а) $y = x \ln 3x$; б) $y = \log_2 (7 - 2x)$;
в) $y = 2 \log_3 x$; г) $y = \ln \frac{x}{5}$.
3) Найдите общий вид первообразных для функции:
а) $f(x) = \frac{1}{5x}$; б) $g(x) = \frac{1}{x - 3}$; в) $u(x) = \frac{5}{x}$; г) $h(x) = \frac{2}{x + 1}$.
Решение 5. №11 (с. 275)
1)
Производная логарифмической функции $y = \log_a x$ находится по формуле:
$y' = (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.
Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ нужно найти ее неопределенный интеграл.
По определению, первообразной для $f(x) = \frac{1}{x}$ является функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Из таблицы производных известно, что $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$.
Следовательно, общий вид первообразных для $f(x) = \frac{1}{x}$ имеет вид:
$F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: Производная функции $y = \log_a x$ равна $y' = \frac{1}{x \ln a}$. Общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x| + C$.
2)
а) Для нахождения производной функции $y = x \ln 3x$ используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = x$ и $v = \ln 3x$. Тогда $u' = 1$.
Производная от $v = \ln 3x$ находится по цепному правилу: $v' = (\ln 3x)' = \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$.
Теперь подставляем всё в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \ln 3x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln 3x + 1$.
Ответ: $y' = \ln 3x + 1$.
б) Для нахождения производной функции $y = \log_2(7 - 2x)$ используем правило дифференцирования сложной функции и формулу производной логарифма $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.
Здесь основание логарифма $a=2$, а аргумент $u = 7 - 2x$.
Находим производную аргумента: $u' = (7 - 2x)' = -2$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{-2}{(7 - 2x)\ln 2} = -\frac{2}{(7 - 2x)\ln 2}$.
Ответ: $y' = -\frac{2}{(7 - 2x)\ln 2}$.
в) Для нахождения производной функции $y = 2 \log_3 x$ используем правило вынесения константы за знак производной и формулу производной логарифма $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.
$y' = (2 \log_3 x)' = 2 \cdot (\log_3 x)' = 2 \cdot \frac{1}{x \ln 3} = \frac{2}{x \ln 3}$.
Ответ: $y' = \frac{2}{x \ln 3}$.
г) Для нахождения производной функции $y = \ln \frac{x}{5}$ можно использовать свойства логарифмов.
$y = \ln \frac{x}{5} = \ln x - \ln 5$.
Теперь находим производную. Так как $\ln 5$ является константой, его производная равна нулю.
$y' = (\ln x - \ln 5)' = (\ln x)' - (\ln 5)' = \frac{1}{x} - 0 = \frac{1}{x}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{x}$.
3)
а) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{5x}$, найдем ее неопределенный интеграл.
$F(x) = \int \frac{1}{5x} dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} dx = \frac{1}{5} \ln |x| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{5} \ln |x| + C$.
б) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $g(x) = \frac{1}{x-3}$, найдем ее неопределенный интеграл. Это табличный интеграл вида $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k} \ln|kx+b| + C$.
В нашем случае $k=1, b=-3$.
$G(x) = \int \frac{1}{x-3} dx = \ln|x-3| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $G(x) = \ln|x-3| + C$.
в) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $u(x) = \frac{5}{x}$, найдем ее неопределенный интеграл.
$U(x) = \int \frac{5}{x} dx = 5 \int \frac{1}{x} dx = 5 \ln |x| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $U(x) = 5 \ln|x| + C$.
г) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $h(x) = \frac{2}{x+1}$, найдем ее неопределенный интеграл.
$H(x) = \int \frac{2}{x+1} dx = 2 \int \frac{1}{x+1} dx = 2 \ln|x+1| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $H(x) = 2 \ln|x+1| + C$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 11 расположенного на странице 275 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11 (с. 275), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.