Номер 11, страница 275 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 11, страница 275.

Условие.

11. 1) Какую производную имеет функция $y = \log_a x$? Найдите общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x}$.

2) Найдите производную функции:

а) $y = x \ln 3x$; б) $y = \log_2 (7 - 2x)$;

в) $y = 2 \log_3 x$; г) $y = \ln \frac{x}{5}$.

3) Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $f(x) = \frac{1}{5x}$; б) $g(x) = \frac{1}{x - 3}$; в) $u(x) = \frac{5}{x}$; г) $h(x) = \frac{2}{x + 1}$.

Решение 5.

1)

Производная логарифмической функции $y = \log_a x$ находится по формуле:

$y' = (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ нужно найти ее неопределенный интеграл.

По определению, первообразной для $f(x) = \frac{1}{x}$ является функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Из таблицы производных известно, что $(\ln |x|)' = \frac{1}{x}$.

Следовательно, общий вид первообразных для $f(x) = \frac{1}{x}$ имеет вид:

$F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: Производная функции $y = \log_a x$ равна $y' = \frac{1}{x \ln a}$. Общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x| + C$.

2)

а) Для нахождения производной функции $y = x \ln 3x$ используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.

Пусть $u = x$ и $v = \ln 3x$. Тогда $u' = 1$.

Производная от $v = \ln 3x$ находится по цепному правилу: $v' = (\ln 3x)' = \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$.

Теперь подставляем всё в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \ln 3x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln 3x + 1$.

Ответ: $y' = \ln 3x + 1$.

б) Для нахождения производной функции $y = \log_2(7 - 2x)$ используем правило дифференцирования сложной функции и формулу производной логарифма $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.

Здесь основание логарифма $a=2$, а аргумент $u = 7 - 2x$.

Находим производную аргумента: $u' = (7 - 2x)' = -2$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{-2}{(7 - 2x)\ln 2} = -\frac{2}{(7 - 2x)\ln 2}$.

Ответ: $y' = -\frac{2}{(7 - 2x)\ln 2}$.

в) Для нахождения производной функции $y = 2 \log_3 x$ используем правило вынесения константы за знак производной и формулу производной логарифма $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

$y' = (2 \log_3 x)' = 2 \cdot (\log_3 x)' = 2 \cdot \frac{1}{x \ln 3} = \frac{2}{x \ln 3}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{x \ln 3}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \ln \frac{x}{5}$ можно использовать свойства логарифмов.

$y = \ln \frac{x}{5} = \ln x - \ln 5$.

Теперь находим производную. Так как $\ln 5$ является константой, его производная равна нулю.

$y' = (\ln x - \ln 5)' = (\ln x)' - (\ln 5)' = \frac{1}{x} - 0 = \frac{1}{x}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x}$.

3)

а) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $f(x) = \frac{1}{5x}$, найдем ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int \frac{1}{5x} dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} dx = \frac{1}{5} \ln |x| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{5} \ln |x| + C$.

б) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $g(x) = \frac{1}{x-3}$, найдем ее неопределенный интеграл. Это табличный интеграл вида $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k} \ln|kx+b| + C$.

В нашем случае $k=1, b=-3$.

$G(x) = \int \frac{1}{x-3} dx = \ln|x-3| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $G(x) = \ln|x-3| + C$.

в) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $u(x) = \frac{5}{x}$, найдем ее неопределенный интеграл.

$U(x) = \int \frac{5}{x} dx = 5 \int \frac{1}{x} dx = 5 \ln |x| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $U(x) = 5 \ln|x| + C$.

г) Чтобы найти общий вид первообразных для функции $h(x) = \frac{2}{x+1}$, найдем ее неопределенный интеграл.

$H(x) = \int \frac{2}{x+1} dx = 2 \int \frac{1}{x+1} dx = 2 \ln|x+1| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $H(x) = 2 \ln|x+1| + C$.