Номер 9, страница 275 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 9, страница 275.

Условие.

9. 1) а) Укажите все корни уравнения $log_a x = b (a > 0, a \ne 1)$.

б) Решите неравенство $log_a x > log_a c$ (рассмотрите два случая: $0 < a < 1, a > 1$).

2) Решите уравнение:

а) $log_2 (x - 15) = 4$;

б) $lg^2 x + 2 lg x = 8$;

в) $ln^2 (x - 2) = 4$;

г) $lg (x^2 - 2x - 4) = lg 11$.

3) Решите неравенство:

а) $log_{0,6} x > 2$;

б) $lg x \le -2$;

в) $ln x \ge -3$;

г) $log_7 x < 1$.

Решение 5.

1) a)

Уравнение $\log_a x = b$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, является определением логарифма. По определению, логарифм числа $x$ по основанию $a$ есть показатель степени $b$, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $x$. Следовательно, $x = a^b$. Область определения логарифма требует, чтобы $x > 0$. Так как $a > 0$, то $a^b$ всегда будет больше нуля для любого действительного $b$. Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = a^b$.

1) б)

Рассмотрим неравенство $\log_a x > \log_a c$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства: $x > 0$ и $c > 0$. Решение зависит от значения основания $a$.
Случай 1: $a > 1$
В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому из $\log_a x > \log_a c$ следует $x > c$. С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем, что решение неравенства есть $x > c$ (поскольку $c$ уже должно быть больше нуля).
Случай 2: $0 < a < 1$
В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: из $\log_a x > \log_a c$ следует $x < c$. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем решение: $0 < x < c$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (c, +\infty)$; если $0 < a < 1$, то $x \in (0, c)$ (при условии $c > 0$).

2) a)

Дано уравнение $\log_2 (x - 15) = 4$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным. $x - 15 > 0$, откуда $x > 15$.
По определению логарифма, $x - 15 = 2^4$.
Вычисляем степень: $2^4 = 16$.
Получаем уравнение $x - 15 = 16$.
Решаем его: $x = 16 + 15$, $x = 31$.
Проверяем, удовлетворяет ли корень условию ОДЗ: $31 > 15$. Условие выполнено.

Ответ: 31.

2) б)

Дано уравнение $\lg^2 x + 2 \lg x = 8$. Это то же самое, что и $(\lg x)^2 + 2 \lg x - 8 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения: $t^2 + 2t - 8 = 0$.
Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $\lg x = 2$. По определению десятичного логарифма, $x = 10^2$, то есть $x = 100$.
2) $\lg x = -4$. По определению, $x = 10^{-4}$, то есть $x = 0.0001$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($100 > 0$ и $0.0001 > 0$).

Ответ: 100; 0.0001.

2) в)

Дано уравнение $\ln^2 (x - 2) = 4$, что эквивалентно $ (\ln(x-2))^2 = 4$.
ОДЗ: $x - 2 > 0$, откуда $x > 2$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$\ln(x - 2) = 2$ или $\ln(x - 2) = -2$.
Решаем каждое уравнение отдельно.
1) $\ln(x - 2) = 2$. По определению натурального логарифма, $x - 2 = e^2$, откуда $x = e^2 + 2$.
2) $\ln(x - 2) = -2$. По определению, $x - 2 = e^{-2}$, откуда $x = e^{-2} + 2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как $e^2 > 0$ и $e^{-2} > 0$, следовательно, $e^2 + 2 > 2$ и $e^{-2} + 2 > 2$.

Ответ: $e^2 + 2$; $e^{-2} + 2$.

2) г)

Дано уравнение $\lg (x^2 - 2x - 4) = \lg 11$.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным, $x^2 - 2x - 4 > 0$.
Так как основания логарифмов равны (и равны 10, что больше 1), мы можем приравнять их аргументы:
$x^2 - 2x - 4 = 11$.
Переносим 11 в левую часть: $x^2 - 2x - 15 = 0$.
Решаем полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -15. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию ОДЗ. Вместо решения неравенства $x^2 - 2x - 4 > 0$, мы можем просто подставить найденные корни в выражение $x^2 - 2x - 4$ и проверить, будет ли оно равно 11 (что, очевидно, больше 0).
Для $x_1 = 5$: $5^2 - 2(5) - 4 = 25 - 10 - 4 = 11$. $11 > 0$, корень подходит.
Для $x_2 = -3$: $(-3)^2 - 2(-3) - 4 = 9 + 6 - 4 = 11$. $11 > 0$, корень подходит.
Оба корня являются решениями.

Ответ: 5; -3.

3) a)

Дано неравенство $\log_{0.6} x > 2$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0.6: $2 = 2 \cdot \log_{0.6} 0.6 = \log_{0.6} (0.6^2) = \log_{0.6} 0.36$.
Неравенство принимает вид $\log_{0.6} x > \log_{0.6} 0.36$.
Так как основание логарифма $a = 0.6$ и $0 < 0.6 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x < 0.36$.
Объединяем полученное решение с ОДЗ: $\begin{cases} x < 0.36 \\ x > 0 \end{cases}$.
Получаем интервал $0 < x < 0.36$.

Ответ: $x \in (0, 0.36)$.

3) б)

Дано неравенство $\lg x \le -2$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть в виде десятичного логарифма: $-2 = \lg(10^{-2}) = \lg(0.01)$.
Неравенство принимает вид $\lg x \le \lg(0.01)$.
Так как основание логарифма $a = 10$ и $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется: $x \le 0.01$.
Объединяем полученное решение с ОДЗ: $\begin{cases} x \le 0.01 \\ x > 0 \end{cases}$.
Получаем интервал $0 < x \le 0.01$.

Ответ: $x \in (0, 0.01]$.

3) в)

Дано неравенство $\ln x \ge -3$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть в виде натурального логарифма: $-3 = \ln(e^{-3})$.
Неравенство принимает вид $\ln x \ge \ln(e^{-3})$.
Так как основание логарифма $a = e \approx 2.718$ и $e > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется: $x \ge e^{-3}$.
Решение $x \ge e^{-3}$ уже удовлетворяет ОДЗ, так как $e^{-3} > 0$.

Ответ: $x \in [e^{-3}, +\infty)$.

3) г)

Дано неравенство $\log_7 x < 1$.
ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием 7: $1 = \log_7 7$.
Неравенство принимает вид $\log_7 x < \log_7 7$.
Так как основание логарифма $a = 7$ и $7 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется: $x < 7$.
Объединяем полученное решение с ОДЗ: $\begin{cases} x < 7 \\ x > 0 \end{cases}$.
Получаем интервал $0 < x < 7$.

Ответ: $x \in (0, 7)$.