Номер 13, страница 276 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 4. Показательная и логарифмическая функции. Вопросы и задачи на повторение - номер 13, страница 276.

Условие.

13. 1) Какие уравнения называют иррациональными?

2) Решите уравнение:

а) $\sqrt{x - 3} = 2x - 7$;

б) $\sqrt[3]{2x + 3} = 2$;

в) $x - \sqrt{x} = 12$;

г) $x + 3 = \sqrt{33 + x^2}$.

3) Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 3, \\ x - y = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y - \sqrt{xy} = 6, \\ xy = 16; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4, \\ x - y = 8; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y = 7, \\ x^2 y = 12. \end{cases}$

Решение 5.

1) Иррациональными называют уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится под знаком корня (радикала) или возводится в степень с дробным показателем.

2) Решите уравнение:

а) $\sqrt{x-3}=2x-7$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня.
$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ 2x-7 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge 3.5 \end{cases} \implies x \ge 3.5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{x-3})^2 = (2x-7)^2$
$x-3 = 4x^2 - 28x + 49$
$4x^2 - 28x - x + 49 + 3 = 0$
$4x^2 - 29x + 52 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 52 = 841 - 832 = 9$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + 3}{8} = \frac{32}{8} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - 3}{8} = \frac{26}{8} = 3.25$
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3.5$).
Корень $x_1=4$ удовлетворяет условию ($4 \ge 3.5$).
Корень $x_2=3.25$ не удовлетворяет условию ($3.25 < 3.5$), следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: $4$.

б) $\sqrt[3]{2x+3}=2$

Для кубического корня область допустимых значений — все действительные числа, поэтому ограничений на $x$ нет.
Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{2x+3})^3 = 2^3$
$2x+3 = 8$
$2x = 5$
$x = 2.5$

Ответ: $2.5$.

в) $x-\sqrt{x}=12$

ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, тогда $x = t^2$. Учитывая ОДЗ, $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - t = 12$
$t^2 - t - 12 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -12$
Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1=4$ удовлетворяет условию.
$t_2=-3$ не удовлетворяет условию.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\sqrt{x} = 4$
$x = 4^2 = 16$

Ответ: $16$.

г) $x+3=\sqrt{33+x^2}$

ОДЗ:
$\begin{cases} 33+x^2 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases}$.
Первое неравенство $33+x^2 \ge 0$ выполняется для любого $x$.
Второе неравенство $x+3 \ge 0$ дает $x \ge -3$.
ОДЗ: $x \ge -3$.
Возведем обе части в квадрат:
$(x+3)^2 = (\sqrt{33+x^2})^2$
$x^2 + 6x + 9 = 33 + x^2$
$6x = 33 - 9$
$6x = 24$
$x = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge -3$).

Ответ: $4$.

3) Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 3, \\ x - y = 9; \end{cases}$

ОДЗ: $x \ge 0, y \ge 0$.
Второе уравнение можно разложить как разность квадратов: $x-y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$.
Подставим в него значение $(\sqrt{x}-\sqrt{y})$ из первого уравнения:
$9 = 3(\sqrt{x}+\sqrt{y})$
$\sqrt{x}+\sqrt{y} = 3$
Теперь имеем систему из двух простых уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 3 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \end{cases}$
Сложим эти два уравнения:
$2\sqrt{x} = 6 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9$.
Подставим $\sqrt{x}=3$ во второе уравнение системы:
$3 + \sqrt{y} = 3 \implies \sqrt{y} = 0 \implies y = 0$.
Проверка по ОДЗ: $x=9 \ge 0$ и $y=0 \ge 0$. Решение подходит.

Ответ: $(9, 0)$.

б) $\begin{cases} x+y - \sqrt{xy} = 6, \\ xy = 16; \end{cases}$

ОДЗ: $xy \ge 0$. Из второго уравнения $xy=16$, условие выполнено.
Подставим значение $xy=16$ в первое уравнение:
$x+y - \sqrt{16} = 6$
$x+y - 4 = 6$
$x+y = 10$
Получили систему:
$\begin{cases} x+y = 10 \\ xy = 16 \end{cases}$
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 10t + 16 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1=2, t_2=8$.
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 8)$ и $(8, 2)$.

Ответ: $(2, 8), (8, 2)$.

в) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4, \\ x - y = 8; \end{cases}$

ОДЗ: $x \ge 0, y \ge 0$.
Разложим второе уравнение на множители: $x-y = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$.
Подставим в него значение $(\sqrt{x}+\sqrt{y})$ из первого уравнения:
$8 = (\sqrt{x}-\sqrt{y}) \cdot 4$
$\sqrt{x}-\sqrt{y} = 2$
Получаем новую систему:
$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases}$
Сложим уравнения:
$2\sqrt{x} = 6 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9$.
Вычтем второе уравнение из первого:
$2\sqrt{y} = 2 \implies \sqrt{y} = 1 \implies y = 1$.
Проверка по ОДЗ: $x=9 \ge 0$ и $y=1 \ge 0$. Решение подходит.

Ответ: $(9, 1)$.

г) $\begin{cases} x^2 + y = 7, \\ x^2 y = 12. \end{cases}$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = x^2$ и $b = y$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, то $a \ge 0$.
Система принимает вид:
$\begin{cases} a+b = 7 \\ ab = 12 \end{cases}$
По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1=3, t_2=4$.
Рассмотрим два случая:
1) $a=3, b=4$.
Возвращаемся к замене: $x^2=3 \implies x = \pm\sqrt{3}$, и $y=4$. Получаем два решения: $(\sqrt{3}, 4)$ и $(-\sqrt{3}, 4)$.
2) $a=4, b=3$.
Возвращаемся к замене: $x^2=4 \implies x = \pm 2$, и $y=3$. Получаем еще два решения: $(2, 3)$ и $(-2, 3)$.
Все четыре пары являются решениями системы.

Ответ: $(\sqrt{3}, 4), (-\sqrt{3}, 4), (2, 3), (-2, 3)$.