Номер 6, страница 277 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Действительные числа. Глава 5. Задачи на повторение - номер 6, страница 277.
№6 (с. 277)
Условие. №6 (с. 277)
скриншот условия

6. Докажите, что если дробь $ \frac{a}{b} $ несократима, то несократима и дробь $ \frac{ab}{a+b} $.
Решение 1. №6 (с. 277)

Решение 5. №6 (с. 277)
Условие, что дробь $ \frac{a}{b} $ несократима, означает, что числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1: $НОД(a, b) = 1$.
Нам нужно доказать, что дробь $ \frac{ab}{a+b} $ также несократима. Будем доказывать от противного.
Предположим, что дробь $ \frac{ab}{a+b} $ сократима. Это означает, что ее числитель $ab$ и знаменатель $a+b$ имеют общий делитель $d > 1$.
Если $d > 1$, то по основной теореме арифметики существует простой делитель $p$, который делит $d$. Следовательно, $p$ делит $ab$ и $p$ делит $a+b$.
Рассмотрим утверждение, что $p$ делит произведение $ab$. Так как $p$ — простое число, то $p$ должно делить хотя бы один из множителей: либо $p$ делит $a$, либо $p$ делит $b$ (следствие из леммы Евклида).
Случай 1: $p$ делит $a$.
Мы знаем, что $p$ делит $a$ и $p$ делит $a+b$. Если число делит два других числа, оно делит и их разность. Значит, $p$ делит разность $(a+b) - a$, то есть $p$ делит $b$.
Таким образом, мы получили, что $p$ является общим делителем чисел $a$ и $b$. Это означает, что $НОД(a, b) \ge p$. Поскольку $p$ — простое число, $p \ge 2$, следовательно $НОД(a, b) > 1$.
Это противоречит исходному условию, что $НОД(a, b) = 1$.
Случай 2: $p$ делит $b$.
Мы знаем, что $p$ делит $b$ и $p$ делит $a+b$. Следовательно, $p$ делит и их разность $(a+b) - b$, то есть $p$ делит $a$.
Таким образом, мы снова получили, что $p$ является общим делителем чисел $a$ и $b$, и $НОД(a, b) \ge p > 1$.
Это также противоречит исходному условию $НОД(a, b) = 1$.
В обоих возможных случаях мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что дробь $ \frac{ab}{a+b} $ сократима, было неверным.
Значит, дробь $ \frac{ab}{a+b} $ несократима, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 277 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 277), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.