Номер 6, страница 277 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 1. Действительные числа - номер 6, страница 277.

Условие.

6. Докажите, что если дробь $ \frac{a}{b} $ несократима, то несократима и дробь $ \frac{ab}{a+b} $.

Решение 1.

Решение 5.

Условие, что дробь $ \frac{a}{b} $ несократима, означает, что числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1: $НОД(a, b) = 1$.

Нам нужно доказать, что дробь $ \frac{ab}{a+b} $ также несократима. Будем доказывать от противного.

Предположим, что дробь $ \frac{ab}{a+b} $ сократима. Это означает, что ее числитель $ab$ и знаменатель $a+b$ имеют общий делитель $d > 1$.

Если $d > 1$, то по основной теореме арифметики существует простой делитель $p$, который делит $d$. Следовательно, $p$ делит $ab$ и $p$ делит $a+b$.

Рассмотрим утверждение, что $p$ делит произведение $ab$. Так как $p$ — простое число, то $p$ должно делить хотя бы один из множителей: либо $p$ делит $a$, либо $p$ делит $b$ (следствие из леммы Евклида).

Случай 1: $p$ делит $a$.
Мы знаем, что $p$ делит $a$ и $p$ делит $a+b$. Если число делит два других числа, оно делит и их разность. Значит, $p$ делит разность $(a+b) - a$, то есть $p$ делит $b$.
Таким образом, мы получили, что $p$ является общим делителем чисел $a$ и $b$. Это означает, что $НОД(a, b) \ge p$. Поскольку $p$ — простое число, $p \ge 2$, следовательно $НОД(a, b) > 1$.
Это противоречит исходному условию, что $НОД(a, b) = 1$.

Случай 2: $p$ делит $b$.
Мы знаем, что $p$ делит $b$ и $p$ делит $a+b$. Следовательно, $p$ делит и их разность $(a+b) - b$, то есть $p$ делит $a$.
Таким образом, мы снова получили, что $p$ является общим делителем чисел $a$ и $b$, и $НОД(a, b) \ge p > 1$.
Это также противоречит исходному условию $НОД(a, b) = 1$.

В обоих возможных случаях мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что дробь $ \frac{ab}{a+b} $ сократима, было неверным.

Значит, дробь $ \frac{ab}{a+b} $ несократима, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.