Страница 277 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

1. Верно ли утверждение:

a) если натуральное число делится на 6, то оно делится на 3;

б) если сумма двух чисел — четное число, то каждое слагаемое четно;

в) если произведение двух чисел равно нулю, то каждый множитель равен нулю;

г) если куб некоторого числа делится на 8, то это число четно?

а) если натуральное число делится на 6, то оно делится на 3;
Утверждение верно. Если натуральное число $n$ делится на 6, это означает, что его можно представить в виде $n = 6 \cdot k$, где $k$ — некоторое натуральное число. Поскольку $6 = 2 \cdot 3$, мы можем переписать это равенство как $n = (2 \cdot 3) \cdot k = 3 \cdot (2k)$. Так как $2k$ является целым числом, то число $n$ представляет собой произведение тройки и целого числа, что по определению означает, что $n$ делится на 3.
Пример: 18 делится на 6 ($18:6=3$), и 18 также делится на 3 ($18:3=6$).
Ответ: Верно.

б) если сумма двух чисел — четное число, то каждое слагаемое четно;
Утверждение неверно. Сумма двух чисел является четной в двух случаях: либо оба слагаемых четные, либо оба слагаемых нечетные. Утверждение рассматривает только первый случай. Чтобы его опровергнуть, достаточно привести контрпример, подпадающий под второй случай.
Пример: Возьмем два нечетных числа, 3 и 7. Их сумма $3 + 7 = 10$. Сумма (10) является четным числом, однако ни одно из слагаемых (3 и 7) не является четным.
Ответ: Неверно.

в) если произведение двух чисел равно нулю, то каждый множитель равен нулю;
Утверждение неверно. Свойство произведения, равного нулю, гласит, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Слово "каждый" подразумевает, что все множители должны быть равны нулю, что не является обязательным условием.
Пример: Рассмотрим произведение $5 \cdot 0 = 0$. Произведение равно нулю, но только один из множителей равен нулю.
Ответ: Неверно.

г) если куб некоторого числа делится на 8, то это число четно?
Утверждение верно. Пусть число $n$. Проверим два случая.
1. Если $n$ — четное число, его можно записать как $n = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда его куб $n^3 = (2k)^3 = 8k^3$. Очевидно, что $8k^3$ делится на 8.
2. Если $n$ — нечетное число, его можно записать как $n = 2k + 1$. Тогда его куб $n^3 = (2k + 1)^3$. Куб нечетного числа всегда является нечетным числом. Нечетное число не может делиться нацело на четное число 8.
Поскольку по условию куб числа $n^3$ делится на 8, то он не может быть нечетным. Следовательно, и само число $n$ не может быть нечетным. Значит, число $n$ — четное.
Ответ: Верно.

2. Докажите, что сумма трех последовательных натуральных чисел делится на 3, а их произведение — на 6.

Докажем, что сумма трех последовательных натуральных чисел делится на 3
Обозначим три последовательных натуральных числа как $n$, $n+1$ и $n+2$, где $n$ – любое натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).
Найдем их сумму $S$:
$S = n + (n+1) + (n+2)$
Упростим выражение, сложив все члены:
$S = 3n + 3$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
$S = 3(n+1)$
Поскольку $n$ является натуральным числом, то $n+1$ также является натуральным числом. Выражение $3(n+1)$ представляет собой произведение числа 3 на целое число, что по определению означает, что сумма $S$ делится на 3 без остатка. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Сумма трех последовательных натуральных чисел всегда делится на 3.

Докажем, что их произведение делится на 6
Рассмотрим произведение $P$ тех же трех последовательных натуральных чисел: $n$, $n+1$ и $n+2$.
$P = n \cdot (n+1) \cdot (n+2)$
Чтобы доказать, что число делится на 6, нужно доказать, что оно делится одновременно и на 2, и на 3 (поскольку $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми).

1. Докажем делимость на 2.
Среди любых двух последовательных натуральных чисел одно обязательно является четным (т.е. делится на 2). В нашей последовательности из трех чисел ($n$, $n+1$, $n+2$) гарантированно есть как минимум одно четное число. Произведение, в котором хотя бы один из множителей является четным, всегда делится на 2.

2. Докажем делимость на 3.
Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно и только одно обязательно делится на 3. Это можно показать, рассмотрев остатки от деления первого числа $n$ на 3:
- Если $n$ делится на 3, то множитель $n$ обеспечивает делимость всего произведения на 3.
- Если $n$ при делении на 3 дает остаток 1 (т.е. $n = 3k+1$ для некоторого целого $k$), то третий член последовательности $n+2 = (3k+1)+2 = 3k+3 = 3(k+1)$ будет делиться на 3.
- Если $n$ при делении на 3 дает остаток 2 (т.е. $n = 3k+2$), то второй член последовательности $n+1 = (3k+2)+1 = 3k+3 = 3(k+1)$ будет делиться на 3.
В любом случае, один из множителей в произведении $P$ делится на 3, а значит, и все произведение делится на 3.

Поскольку произведение $P$ делится и на 2, и на 3, оно гарантированно делится на их произведение, то есть на 6. Утверждение доказано.
Ответ: Произведение трех последовательных натуральных чисел всегда делится на 6.

3. К числу $523$ допишите две цифры справа так, чтобы полученное пятизначное число делилось на:

a) $3$ и $5$;

б) $8$ и $9$.

Пусть искомое пятизначное число имеет вид $523xy$, где $x$ и $y$ – это две цифры, которые нужно дописать. Это число можно представить в виде $52300 + 10x + y$.

а) 3 и 5

Чтобы число делилось одновременно на 3 и на 5, оно должно удовлетворять признакам делимости на оба этих числа. Делимость на 3 и 5 равносильна делимости на их наименьшее общее кратное, то есть $3 \times 5 = 15$.

1. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5. Следовательно, цифра $y$ может быть равна 0 или 5.

2. Признак делимости на 3: сумма всех цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр числа $523xy$ равна $5 + 2 + 3 + x + y = 10 + x + y$. Эта сумма должна быть кратна 3.

Рассмотрим два возможных случая для $y$:

Случай 1: $y = 0$.
Сумма цифр становится $10 + x + 0 = 10 + x$. Чтобы эта сумма делилась на 3, $x$ может принимать значения 2, 5 или 8 (так как $10+2=12$, $10+5=15$, $10+8=18$, и все эти суммы кратны 3). Получаем следующие пары цифр для дописывания: 20, 50, 80.

Случай 2: $y = 5$.
Сумма цифр становится $10 + x + 5 = 15 + x$. Так как 15 уже делится на 3, то для делимости всей суммы на 3 необходимо, чтобы $x$ также делился на 3. Возможные значения для $x$: 0, 3, 6, 9. Получаем следующие пары цифр для дописывания: 05, 35, 65, 95.

Ответ: можно дописать одну из следующих пар цифр: 05, 20, 35, 50, 65, 80, 95.

б) 8 и 9

Чтобы число делилось на 8 и 9, оно должно делиться на их наименьшее общее кратное. Так как числа 8 и 9 взаимно просты (не имеют общих делителей кроме 1), их НОК равно их произведению: $НОК(8, 9) = 8 \times 9 = 72$.

Итак, искомое число $523xy$ должно делиться на 72. Представим это число в виде суммы $52300 + \overline{xy}$, где $\overline{xy}$ — это двузначное число, образованное цифрами $x$ и $y$.

Разделим 52300 на 72, чтобы найти остаток:

$52300 \div 72 = 726$ (остаток $28$), что можно записать как $52300 = 72 \times 726 + 28$.

Тогда наше число можно представить в виде:

$523xy = (72 \times 726 + 28) + \overline{xy} = 72 \times 726 + (28 + \overline{xy})$.

Для того чтобы всё число $523xy$ делилось на 72, необходимо, чтобы сумма $(28 + \overline{xy})$ также делилась на 72.

Поскольку $x$ и $y$ — это цифры, число $\overline{xy}$ может принимать значения от 00 до 99. Следовательно, выражение $28 + \overline{xy}$ может принимать значения в диапазоне от $28 + 0 = 28$ до $28 + 99 = 127$.

В этом диапазоне $[28, 127]$ есть только одно число, кратное 72, — это само число 72.

Значит, должно выполняться равенство: $28 + \overline{xy} = 72$.

Отсюда находим значение $\overline{xy}$:

$\overline{xy} = 72 - 28 = 44$.

Таким образом, нужно дописать цифры 4 и 4. Полученное число — 52344.

Проверка: $5+2+3+4+4=18$. Сумма цифр 18 делится на 9. Число из последних трех цифр, 344, делится на 8 ($344 \div 8=43$). Оба признака выполняются.

Ответ: 44.

4. Докажите, что число $10^{56} - 1$ делится на 3 и 11.

Чтобы доказать, что число $10^{56} - 1$ делится на 3 и 11, докажем его делимость на каждый из этих делителей по отдельности, используя теорию сравнений (арифметику по модулю).

Доказательство делимости на 3

Нам необходимо доказать, что остаток от деления числа $10^{56} - 1$ на 3 равен нулю. На языке сравнений это записывается так: $10^{56} - 1 \equiv 0 \pmod{3}$.

Сначала рассмотрим основание степени, число 10, по модулю 3. Поскольку $10 = 3 \times 3 + 1$, остаток от деления равен 1. Таким образом:

$10 \equiv 1 \pmod{3}$

Согласно свойству степеней для сравнений, мы можем возвести обе части в степень 56:

$10^{56} \equiv 1^{56} \pmod{3}$

Так как $1^{56} = 1$, получаем:

$10^{56} \equiv 1 \pmod{3}$

Теперь вычтем 1 из обеих частей сравнения:

$10^{56} - 1 \equiv 1 - 1 \pmod{3}$

$10^{56} - 1 \equiv 0 \pmod{3}$

Это сравнение означает, что число $10^{56} - 1$ делится на 3 без остатка.

Ответ: Делимость на 3 доказана.

Доказательство делимости на 11

Действуем аналогично. Нам нужно доказать, что $10^{56} - 1 \equiv 0 \pmod{11}$.

Рассмотрим число 10 по модулю 11. Поскольку $10 = 11 - 1$, мы можем записать:

$10 \equiv -1 \pmod{11}$

Возведем обе части сравнения в степень 56:

$10^{56} \equiv (-1)^{56} \pmod{11}$

Поскольку 56 — это четное число, то $(-1)^{56} = 1$. Следовательно:

$10^{56} \equiv 1 \pmod{11}$

Вычитая 1 из обеих частей, получаем искомый результат:

$10^{56} - 1 \equiv 1 - 1 \pmod{11}$

$10^{56} - 1 \equiv 0 \pmod{11}$

Это доказывает, что число $10^{56} - 1$ делится на 11 без остатка.

Ответ: Делимость на 11 доказана.

Таким образом, мы доказали, что число $10^{56} - 1$ делится и на 3, и на 11. Утверждение задачи доказано.

5. В двухзначном числе цифра единиц на 2 больше цифры десятков. Само число больше 30 и меньше 40. Найдите это число.

Для решения задачи проанализируем все её условия. Пусть искомое число является двузначным. Обозначим цифру его десятков за $a$, а цифру единиц за $b$. Таким образом, само число можно записать как $10a + b$.

Из условия, что "число больше 30 и меньше 40", мы можем сделать вывод о цифре десятков. Все числа, удовлетворяющие этому условию (31, 32, ..., 39), имеют цифру десятков, равную 3. Следовательно, $a = 3$.

Далее, используем второе условие: "цифра единиц на 2 больше цифры десятков". Это можно записать в виде математического равенства:
$b = a + 2$

Теперь, когда мы знаем значение $a$, мы можем подставить его в это равенство и найти значение $b$:
$b = 3 + 2 = 5$

Мы выяснили, что цифра десятков искомого числа — это 3, а цифра единиц — это 5. Составляем из этих цифр число и получаем 35.

Проверим, соответствует ли найденное число 35 всем условиям задачи:
1. Цифра единиц (5) на 2 больше цифры десятков (3): $5 - 3 = 2$. Верно.
2. Число 35 больше 30 и меньше 40: $30 < 35 < 40$. Верно.
Все условия выполнены.

Ответ: 35

6. Докажите, что если дробь $ \frac{a}{b} $ несократима, то несократима и дробь $ \frac{ab}{a+b} $.

Условие, что дробь $ \frac{a}{b} $ несократима, означает, что числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1: $НОД(a, b) = 1$.

Нам нужно доказать, что дробь $ \frac{ab}{a+b} $ также несократима. Будем доказывать от противного.

Предположим, что дробь $ \frac{ab}{a+b} $ сократима. Это означает, что ее числитель $ab$ и знаменатель $a+b$ имеют общий делитель $d > 1$.

Если $d > 1$, то по основной теореме арифметики существует простой делитель $p$, который делит $d$. Следовательно, $p$ делит $ab$ и $p$ делит $a+b$.

Рассмотрим утверждение, что $p$ делит произведение $ab$. Так как $p$ — простое число, то $p$ должно делить хотя бы один из множителей: либо $p$ делит $a$, либо $p$ делит $b$ (следствие из леммы Евклида).

Случай 1: $p$ делит $a$.
Мы знаем, что $p$ делит $a$ и $p$ делит $a+b$. Если число делит два других числа, оно делит и их разность. Значит, $p$ делит разность $(a+b) - a$, то есть $p$ делит $b$.
Таким образом, мы получили, что $p$ является общим делителем чисел $a$ и $b$. Это означает, что $НОД(a, b) \ge p$. Поскольку $p$ — простое число, $p \ge 2$, следовательно $НОД(a, b) > 1$.
Это противоречит исходному условию, что $НОД(a, b) = 1$.

Случай 2: $p$ делит $b$.
Мы знаем, что $p$ делит $b$ и $p$ делит $a+b$. Следовательно, $p$ делит и их разность $(a+b) - b$, то есть $p$ делит $a$.
Таким образом, мы снова получили, что $p$ является общим делителем чисел $a$ и $b$, и $НОД(a, b) \ge p > 1$.
Это также противоречит исходному условию $НОД(a, b) = 1$.

В обоих возможных случаях мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что дробь $ \frac{ab}{a+b} $ сократима, было неверным.

Значит, дробь $ \frac{ab}{a+b} $ несократима, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

7. Докажите, что:

а) $|a| = |-a|$;

б) $x \le |x|$;

в) $|x|^2 = x^2$.

а) Докажем равенство $|a| = |-a|$, рассмотрев два случая, основанных на определении модуля числа.

1. Пусть $a \ge 0$. По определению модуля, $|a| = a$. В этом случае $-a \le 0$, и по определению модуля для неположительных чисел, $|-a| = -(-a) = a$. Таким образом, обе части равенства равны $a$, и равенство $|a| = |-a|$ выполняется.

2. Пусть $a < 0$. По определению модуля, $|a| = -a$. В этом случае $-a > 0$, и по определению модуля для положительных чисел, $|-a| = -a$. Таким образом, обе части равенства равны $-a$, и равенство $|a| = |-a|$ выполняется.

Так как равенство верно для всех возможных значений $a$, оно доказано.

Ответ: Равенство $|a| = |-a|$ доказано.

б) Докажем неравенство $x \le |x|$, рассмотрев два случая.

1. Пусть $x \ge 0$. По определению модуля, $|x| = x$. Неравенство принимает вид $x \le x$. Это неравенство верно для любого неотрицательного числа.

2. Пусть $x < 0$. По определению модуля, $|x| = -x$. Неравенство принимает вид $x \le -x$. Поскольку $x$ является отрицательным числом, $-x$ является положительным числом. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, следовательно, неравенство $x < -x$, а значит и $x \le -x$, является верным.

Неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: Неравенство $x \le |x|$ доказано.

в) Докажем равенство $|x|^2 = x^2$, рассмотрев два случая.

1. Пусть $x \ge 0$. По определению модуля, $|x| = x$. Тогда левая часть равенства преобразуется следующим образом: $|x|^2 = (x)^2 = x^2$. Получаем тождество $x^2 = x^2$, которое является верным.

2. Пусть $x < 0$. По определению модуля, $|x| = -x$. Тогда левая часть равенства преобразуется следующим образом: $|x|^2 = (-x)^2 = x^2$. Получаем тождество $x^2 = x^2$, которое также является верным.

Равенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Ответ: Равенство $|x|^2 = x^2$ доказано.

Найдите значения выражений (8—9).

8. a) $\frac{2{,}75:1{,}1+3\frac{1}{3}}{2{,}5-0{,}4\cdot\left(-3\frac{1}{3}\right)};$

б) $\frac{3\frac{1}{3}:10+0{,}175:\frac{7}{20}}{1\frac{3}{4}-1\frac{11}{17}\cdot\frac{51}{56}};$

в) $\left(1{,}4-3{,}5:1\frac{1}{4}\right):2{,}4+3{,}4:2\frac{1}{8};$

г) $\frac{1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{0{,}25}}{6-\frac{46}{1+2{,}2\cdot10}}.$

а)

Решим по действиям выражение $\frac{2,75:1,1+3\frac{1}{3}}{2,5-0,4 \cdot (-3\frac{1}{3})}$.

1. Вычислим значение числителя: $2,75:1,1+3\frac{1}{3}$. Для удобства вычислений переведем десятичные дроби и смешанные числа в неправильные дроби.

$2,75 = \frac{275}{100} = \frac{11}{4}$

$1,1 = \frac{11}{10}$

$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

Выполним деление: $2,75:1,1 = \frac{11}{4} : \frac{11}{10} = \frac{11}{4} \cdot \frac{10}{11} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

Выполним сложение: $\frac{5}{2} + \frac{10}{3} = \frac{15}{6} + \frac{20}{6} = \frac{35}{6}$.

2. Вычислим значение знаменателя: $2,5-0,4 \cdot (-3\frac{1}{3})$.

Переведем числа в дроби:

$2,5 = \frac{5}{2}$

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$-3\frac{1}{3} = -\frac{10}{3}$

Выполним умножение: $0,4 \cdot (-3\frac{1}{3}) = \frac{2}{5} \cdot (-\frac{10}{3}) = -\frac{2 \cdot 10}{5 \cdot 3} = -\frac{4}{3}$.

Выполним вычитание: $2,5 - (-\frac{4}{3}) = \frac{5}{2} + \frac{4}{3} = \frac{15}{6} + \frac{8}{6} = \frac{23}{6}$.

3. Найдем отношение числителя к знаменателю:

$\frac{\frac{35}{6}}{\frac{23}{6}} = \frac{35}{6} \cdot \frac{6}{23} = \frac{35}{23}$.

Ответ: $\frac{35}{23}$

б)

Решим по действиям выражение $\frac{3\frac{1}{3}:10+0,175:\frac{7}{20}}{1\frac{3}{4}-1\frac{11}{17} \cdot \frac{51}{56}}$.

1. Вычислим числитель: $3\frac{1}{3}:10+0,175:\frac{7}{20}$.

Выполним первое деление: $3\frac{1}{3}:10 = \frac{10}{3} : 10 = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{3}$.

Выполним второе деление, предварительно переведя $0,175$ в дробь: $0,175 = \frac{175}{1000} = \frac{7}{40}$. Тогда $0,175:\frac{7}{20} = \frac{7}{40} : \frac{7}{20} = \frac{7}{40} \cdot \frac{20}{7} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$.

Выполним сложение: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$.

2. Вычислим знаменатель: $1\frac{3}{4}-1\frac{11}{17} \cdot \frac{51}{56}$.

Выполним умножение, предварительно переведя смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{11}{17} = \frac{28}{17}$. Тогда $1\frac{11}{17} \cdot \frac{51}{56} = \frac{28}{17} \cdot \frac{51}{56} = \frac{28}{56} \cdot \frac{51}{17} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.

Выполним вычитание: $1\frac{3}{4} - \frac{3}{2} = \frac{7}{4} - \frac{6}{4} = \frac{1}{4}$.

3. Найдем отношение числителя к знаменателю:

$\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{4}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{1} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Ответ: $\frac{10}{3}$

в)

Решим по действиям выражение $(1,4-3,5:1\frac{1}{4}):2,4+3,4:2\frac{1}{8}$, соблюдая порядок операций.

1. Первое действие — деление в скобках: $3,5:1\frac{1}{4} = \frac{35}{10} : \frac{5}{4} = \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{28}{10} = 2,8$.

2. Второе действие — вычитание в скобках: $1,4 - 2,8 = -1,4$.

3. Третье действие — деление результата из скобок: $-1,4 : 2,4 = -\frac{14}{10} : \frac{24}{10} = -\frac{14}{24} = -\frac{7}{12}$.

4. Четвертое действие — второе деление в выражении: $3,4:2\frac{1}{8} = \frac{34}{10} : \frac{17}{8} = \frac{17}{5} \cdot \frac{8}{17} = \frac{8}{5}$.

5. Пятое действие — сложение: $-\frac{7}{12} + \frac{8}{5} = -\frac{35}{60} + \frac{96}{60} = \frac{61}{60}$.

Ответ: $\frac{61}{60}$

г)

Решим по действиям выражение $\frac{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0,25}}{6-\frac{46}{1+2,2 \cdot 10}}$.

1. Вычислим числитель: $1+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0,25}$.

Сначала найдем значение дроби $\frac{1}{0,25} = \frac{1}{1/4} = 4$.

Затем выполним умножение: $\frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.

И сложение: $1 + 2 = 3$.

2. Вычислим знаменатель: $6-\frac{46}{1+2,2 \cdot 10}$.

Сначала вычислим выражение в знаменателе внутренней дроби: $1+2,2 \cdot 10 = 1 + 22 = 23$.

Теперь вычислим значение дроби: $\frac{46}{23} = 2$.

И выполним вычитание: $6 - 2 = 4$.

3. Найдем отношение числителя к знаменателю:

$\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$