Страница 281 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

41. Разложите на множители:

а) $a^2 + b^2 + 2a - 2b - 2ab$;

б) $x^3 + (y - 1) x + y$;

в) $a^6 - 8$;

г) $x^4 - x^2 (y^2 + 1) + y^2$.

а) Исходное выражение: $a^2 + b^2 + 2a - 2b - 2ab$.
Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить формулу квадрата разности: $(a^2 - 2ab + b^2) + (2a - 2b)$.
Первая группа слагаемых представляет собой полный квадрат: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Во второй группе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2a - 2b = 2(a - b)$.
Теперь выражение имеет вид: $(a - b)^2 + 2(a - b)$.
Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки: $(a - b)((a - b) + 2)$.
Раскрыв внутренние скобки, получим окончательный результат: $(a - b)(a - b + 2)$.
Ответ: $(a - b)(a - b + 2)$

б) Исходное выражение: $x^3 + (y - 1)x + y$.
Раскроем скобки: $x^3 + yx - x + y$.
Сгруппируем слагаемые. Удобно сгруппировать члены, содержащие $y$, и оставшиеся члены: $(yx + y) + (x^3 - x)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $y(x + 1) + x(x^2 - 1)$.
Заметим, что выражение $x^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается как $(x - 1)(x + 1)$.
Подставим это в выражение: $y(x + 1) + x(x - 1)(x + 1)$.
Теперь мы видим общий множитель $(x + 1)$, который можно вынести за скобки: $(x + 1)(y + x(x - 1))$.
Упростим выражение во второй скобке: $(x + 1)(y + x^2 - x)$.
Запишем второй множитель в стандартном виде: $(x + 1)(x^2 - x + y)$.
Ответ: $(x + 1)(x^2 - x + y)$

в) Исходное выражение: $a^6 - 8$.
Это выражение можно представить как разность кубов. Запишем $a^6$ как $(a^2)^3$, а 8 как $2^3$. Получим: $(a^2)^3 - 2^3$.
Применим формулу разности кубов: $X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + XY + Y^2)$.
В данном случае $X = a^2$ и $Y = 2$.
Подставляем наши значения в формулу: $(a^2 - 2)((a^2)^2 + a^2 \cdot 2 + 2^2)$.
Выполняем действия в скобках: $(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$.
Ответ: $(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$

г) Исходное выражение: $x^4 - x^2(y^2 + 1) + y^2$.
Раскроем скобки в выражении: $x^4 - x^2y^2 - x^2 + y^2$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^4 - x^2y^2) - (x^2 - y^2)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x^2 - y^2) - 1(x^2 - y^2)$.
Теперь вынесем общий множитель $(x^2 - y^2)$ за скобки: $(x^2 - y^2)(x^2 - 1)$.
Оба получившихся множителя являются разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ к каждому из них.
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так: $(x - y)(x + y)(x - 1)(x + 1)$.
Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x - y)(x + y)$

42. Докажите, что:

a) $n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n$ делится на 24, если $n \in N;$

б) $(n^2 + 4n + 3)(n^2 + 6n + 8)$ делится на 24, если $n \in N;$

в) $n^3 - n$ делится на 6, если $n \in N;$

г) $n^3 - 4n$ делится на 48, если $n \in N, n$ — четное.

а) Докажите, что $n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n$ делится на 24, если $n \in \mathbb{N}$;

Обозначим выражение как $A(n) = n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n$. Разложим его на множители методом группировки:

$A(n) = (n^4 + 2n^3) - (n^2 + 2n) = n^3(n + 2) - n(n + 2) = (n^3 - n)(n + 2)$

Продолжим разложение:

$A(n) = n(n^2 - 1)(n + 2) = n(n - 1)(n + 1)(n + 2)$

Переставив множители, получим произведение четырех последовательных натуральных чисел: $A(n) = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)$.

Чтобы доказать, что $A(n)$ делится на 24, нужно доказать, что оно делится на 3 и на 8, так как $24 = 3 \cdot 8$ и числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Делимость на 3: Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно из них обязательно делится на 3. В нашем произведении есть группа из трех последовательных чисел $(n - 1), n, (n + 1)$, следовательно, все произведение делится на 3.

Делимость на 8: Среди четырех последовательных натуральных чисел всегда есть два четных числа. Эти два числа являются последовательными четными числами, то есть их можно представить в виде $2k$ и $2k+2$ для некоторого натурального $k$. Их произведение равно $2k(2k + 2) = 4k(k + 1)$. Так как $k$ и $k+1$ — это два последовательных числа, одно из них четное, поэтому их произведение $k(k+1)$ делится на 2. Таким образом, произведение двух последовательных четных чисел $4k(k+1)$ всегда делится на $4 \cdot 2 = 8$. Поскольку наше выражение является произведением четырех последовательных чисел, оно всегда делится на 8.

Поскольку выражение $A(n)$ делится и на 3, и на 8, оно делится на их произведение $3 \cdot 8 = 24$.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что $(n^2 + 4n + 3)(n^2 + 6n + 8)$ делится на 24, если $n \in \mathbb{N}$;

Обозначим выражение как $B(n) = (n^2 + 4n + 3)(n^2 + 6n + 8)$. Разложим каждый квадратный трехчлен на множители.

Для первого трехчлена $n^2 + 4n + 3$: найдем корни уравнения $n^2 + 4n + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $n_1 = -1$ и $n_2 = -3$. Тогда $n^2 + 4n + 3 = (n - (-1))(n - (-3)) = (n + 1)(n + 3)$.

Для второго трехчлена $n^2 + 6n + 8$: найдем корни уравнения $n^2 + 6n + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $n_1 = -2$ и $n_2 = -4$. Тогда $n^2 + 6n + 8 = (n - (-2))(n - (-4)) = (n + 2)(n + 4)$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$B(n) = (n + 1)(n + 3)(n + 2)(n + 4)$

Перегруппируем множители в порядке возрастания:

$B(n) = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)$

Получилось произведение четырех последовательных натуральных чисел. Как было доказано в пункте а), произведение четырех последовательных натуральных чисел всегда делится на 24.

Ответ: Доказано.

в) Докажите, что $n^3 - n$ делится на 6, если $n \in \mathbb{N}$;

Обозначим выражение как $C(n) = n^3 - n$. Разложим его на множители:

$C(n) = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$

Переставив множители, получим произведение трех последовательных натуральных чисел: $C(n) = (n - 1)n(n + 1)$.

Чтобы доказать, что $C(n)$ делится на 6, нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$ и числа 2 и 3 взаимно простые.

Делимость на 2: Среди любых двух последовательных натуральных чисел одно четное. В нашем произведении есть как минимум одна пара последовательных чисел (например, $n-1$ и $n$), поэтому произведение делится на 2.

Делимость на 3: Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно делится на 3. Наше выражение является произведением именно таких трех чисел, поэтому оно делится на 3.

Поскольку выражение $C(n)$ делится и на 2, и на 3, оно делится на их произведение $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: Доказано.

г) Докажите, что $n^3 - 4n$ делится на 48, если $n \in \mathbb{N}$, $n$ — четное.

Обозначим выражение как $D(n) = n^3 - 4n$. По условию, $n$ является четным натуральным числом. Это означает, что $n$ можно представить в виде $n = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$.

Разложим сначала выражение на множители:

$D(n) = n(n^2 - 4) = n(n - 2)(n + 2)$

Теперь подставим $n = 2k$ в разложенное выражение:

$D(n) = (2k)(2k - 2)(2k + 2) = 2k \cdot 2(k - 1) \cdot 2(k + 1)$

Вынесем числовые множители вперед:

$D(n) = 8(k - 1)k(k + 1)$

Выражение $(k - 1)k(k + 1)$ представляет собой произведение трех последовательных натуральных чисел. Как было показано в пункте в), такое произведение всегда делится на 6. Следовательно, $(k - 1)k(k + 1) = 6m$ для некоторого целого числа $m$.

Тогда $D(n) = 8 \cdot (6m) = 48m$.

Это означает, что выражение $D(n)$ всегда делится на 48 при четном $n$.

Ответ: Доказано.

43. Сократите дробь:

а) $\frac{a^3 + a^2 - a - 1}{a^2 + 2a + 1}$;

б) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 + 8x + 16}$;

в) $\frac{2a^2 - 5a + 2}{ab - 2b - 3a + 6}$;

г) $\frac{x^3 - 27}{x^2 y + 3xy + 9y}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^3 + a^2 - a - 1}{a^2 + 2a + 1}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Разложим на множители числитель, используя метод группировки:
$a^3 + a^2 - a - 1 = (a^3 + a^2) - (a + 1) = a^2(a + 1) - 1(a + 1) = (a + 1)(a^2 - 1)$.
Выражение $a^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.
Таким образом, числитель равен $(a + 1)(a - 1)(a + 1) = (a - 1)(a + 1)^2$.

Разложим на множители знаменатель. Выражение $a^2 + 2a + 1$ является полным квадратом суммы по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общие множители:
$\frac{(a - 1)(a + 1)^2}{(a + 1)^2} = a - 1$.

Сокращение возможно при условии, что $(a + 1)^2 \neq 0$, то есть $a \neq -1$.

Ответ: $a - 1$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 + 8x + 16}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x^2 + x - 12$. Это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-12$. Корнями являются числа $-4$ и $3$.
Тогда разложение имеет вид: $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x - (-4)) = (x - 3)(x + 4)$.

Разложим знаменатель $x^2 + 8x + 16$. Это полный квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x + 4)^2$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(x - 3)(x + 4)}{(x + 4)^2} = \frac{x - 3}{x + 4}$.

Сокращение возможно при условии, что $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

Ответ: $\frac{x - 3}{x + 4}$.

в)

Сократим дробь $\frac{2a^2 - 5a + 2}{ab - 2b - 3a + 6}$. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $2a^2 - 5a + 2$. Найдем корни квадратного уравнения $2a^2 - 5a + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни: $a_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $a_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Разложение квадратного трехчлена: $2a^2 - 5a + 2 = 2(a - \frac{1}{2})(a - 2) = (2a - 1)(a - 2)$.

Разложим знаменатель $ab - 2b - 3a + 6$ методом группировки:
$ab - 2b - 3a + 6 = (ab - 2b) - (3a - 6) = b(a - 2) - 3(a - 2) = (a - 2)(b - 3)$.

Подставим разложения в дробь и выполним сокращение:
$\frac{(2a - 1)(a - 2)}{(a - 2)(b - 3)} = \frac{2a - 1}{b - 3}$.

Сокращение возможно при условиях $a - 2 \neq 0$ и $b - 3 \neq 0$, то есть $a \neq 2$ и $b \neq 3$.

Ответ: $\frac{2a - 1}{b - 3}$.

г)

Сократим дробь $\frac{x^3 - 27}{x^2 y + 3xy + 9y}$.

Разложим на множители числитель $x^3 - 27$. Это разность кубов $x^3 - 3^3$. Используем формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.

Разложим на множители знаменатель $x^2 y + 3xy + 9y$. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$x^2 y + 3xy + 9y = y(x^2 + 3x + 9)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x^2 + 3x + 9)$:
$\frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{y(x^2 + 3x + 9)} = \frac{x - 3}{y}$.

Сокращение возможно при условиях $y \neq 0$ и $x^2 + 3x + 9 \neq 0$. Выражение $x^2 + 3x + 9$ всегда положительно для любых действительных $x$, так как его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0$.

Ответ: $\frac{x - 3}{y}$.

Упростите выражения (44, 45).

44. a) $ \left(m+n-\frac{4mn}{m+n}\right):\left(\frac{m}{m+n}-\frac{n}{n-m}-\frac{2mn}{m^2-n^2}\right); $

б) $ \frac{a^3+b^3}{a+b}:\left(a^2-b^2\right)+\frac{2b}{a+b}-\frac{ab}{a^2-b^2}; $

в) $ \left(\frac{x}{x^2-4}-\frac{8}{x^2+2x}\right)\cdot \frac{x^2-2x}{4-x}+\frac{x+8}{x+2}; $

г) $ \left(\frac{1}{c^2+3c+2}+\frac{2c}{c^2+4c+3}+\frac{1}{c^2+5c+6}\right)^2\cdot\frac{(c-3)^2+12c}{2}. $

а)

Упростим по действиям. Сначала выполним действия в скобках, а затем деление.

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя к общему знаменателю $m+n$:

$m + n - \frac{4mn}{m+n} = \frac{(m+n)(m+n)}{m+n} - \frac{4mn}{m+n} = \frac{m^2 + 2mn + n^2 - 4mn}{m+n} = \frac{m^2 - 2mn + n^2}{m+n} = \frac{(m-n)^2}{m+n}$

2. Упростим выражение во вторых скобках. Заметим, что $n-m = -(m-n)$ и $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$. Общий знаменатель будет $(m-n)(m+n)$:

$\frac{m}{m+n} - \frac{n}{n-m} - \frac{2mn}{m^2 - n^2} = \frac{m}{m+n} + \frac{n}{m-n} - \frac{2mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m(m-n) + n(m+n) - 2mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 - mn + mn + n^2 - 2mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 - 2mn + n^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{(m-n)^2}{(m-n)(m+n)}$

3. Выполним деление результатов первого и второго действий:

$\frac{(m-n)^2}{m+n} : \frac{(m-n)^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{(m-n)^2}{m+n} \cdot \frac{(m-n)(m+n)}{(m-n)^2}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{(m-n)^2}}{\cancel{m+n}} \cdot \frac{(m-n)(\cancel{m+n})}{\cancel{(m-n)^2}} = m-n$

Ответ: $m-n$

б)

Упростим выражение, соблюдая порядок действий: сначала деление, затем сложение и вычитание.

1. Выполним деление. Сначала упростим делимое, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$\frac{a^3+b^3}{a+b} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a+b} = a^2-ab+b^2$

Теперь разделим полученное выражение на $(a^2-b^2)$, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(a^2-ab+b^2) : (a^2-b^2) = \frac{a^2-ab+b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2-ab+b^2}{(a-b)(a+b)}$

2. Подставим результат в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:

$\frac{a^2-ab+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{2b}{a+b} - \frac{ab}{a^2-b^2}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\frac{a^2-ab+b^2}{(a-b)(a+b)} + \frac{2b(a-b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2-ab+b^2) + (2ab-2b^2) - ab}{(a-b)(a+b)}$

3. Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$a^2-ab+b^2 + 2ab-2b^2 - ab = a^2 + (-ab+2ab-ab) + (b^2-2b^2) = a^2 - b^2$

4. Получаем дробь:

$\frac{a^2-b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-b^2}{a^2-b^2} = 1$

Ответ: $1$

в)

Упростим выражение по действиям: сначала в скобках, затем умножение и сложение.

1. Выполним вычитание в скобках. Разложим знаменатели на множители: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $x^2+2x=x(x+2)$.

$\frac{x}{x^2-4} - \frac{8}{x^2+2x} = \frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{8}{x(x+2)}$

Общий знаменатель $x(x-2)(x+2)$. Приводим дроби к нему:

$\frac{x \cdot x - 8 \cdot (x-2)}{x(x-2)(x+2)} = \frac{x^2 - 8x + 16}{x(x-2)(x+2)} = \frac{(x-4)^2}{x(x-2)(x+2)}$

2. Выполним умножение. Разложим на множители $x^2-2x = x(x-2)$ и учтем, что $4-x = -(x-4)$:

$\frac{(x-4)^2}{x(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x^2-2x}{4-x} = \frac{(x-4)^2}{x(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x(x-2)}{-(x-4)}$

Сократим дроби:

$\frac{\cancel{(x-4)^2}^{\;x-4}}{\cancel{x}\cancel{(x-2)}(x+2)} \cdot \frac{\cancel{x}\cancel{(x-2)}}{-\cancel{(x-4)}} = \frac{x-4}{-(x+2)} = -\frac{x-4}{x+2} = \frac{4-x}{x+2}$

3. Выполним сложение:

$\frac{4-x}{x+2} + \frac{x+8}{x+2} = \frac{4-x+x+8}{x+2} = \frac{12}{x+2}$

Ответ: $\frac{12}{x+2}$

г)

Упростим выражение по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители:

$c^2+3c+2 = (c+1)(c+2)$

$c^2+4c+3 = (c+1)(c+3)$

$c^2+5c+6 = (c+2)(c+3)$

Приведем дроби к общему знаменателю $(c+1)(c+2)(c+3)$:

$\frac{1}{(c+1)(c+2)} + \frac{2c}{(c+1)(c+3)} + \frac{1}{(c+2)(c+3)} = \frac{1(c+3) + 2c(c+2) + 1(c+1)}{(c+1)(c+2)(c+3)}$

Упростим числитель:

$c+3 + 2c^2+4c + c+1 = 2c^2+6c+4 = 2(c^2+3c+2) = 2(c+1)(c+2)$

Тогда выражение в скобках равно:

$\frac{2(c+1)(c+2)}{(c+1)(c+2)(c+3)} = \frac{2}{c+3}$

2. Возведем полученное выражение в квадрат:

$(\frac{2}{c+3})^2 = \frac{4}{(c+3)^2}$

3. Упростим второй множитель:

$\frac{(c-3)^2+12c}{2} = \frac{c^2-6c+9+12c}{2} = \frac{c^2+6c+9}{2} = \frac{(c+3)^2}{2}$

4. Перемножим результаты шагов 2 и 3:

$\frac{4}{(c+3)^2} \cdot \frac{(c+3)^2}{2} = \frac{4 \cdot \cancel{(c+3)^2}}{\cancel{(c+3)^2} \cdot 2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $2$

45. a) $\left(\frac{3}{2x-y} - \frac{2}{2x+y} - \frac{1}{2x-5y}\right) : \frac{4y^2}{4x^2-y^2};$

б) $\left(\frac{3}{a-3} + \frac{4}{a^2-5a+6} + \frac{2a}{a-2}\right) : \left(\frac{3}{2a+1}\right)^{-1} - \frac{a-12}{3(3-a)};$

в) $\left(\frac{x^3-8}{x-2} + 2x\right) \cdot (4-x^2)^{-1} - \frac{x-1}{2-x};$

г) $\frac{k^2}{3+k} \cdot \frac{9-k^2}{k^2-3k} + \frac{27+k^3}{3-k} : \left(3+\frac{k^2}{3-k}\right).$

а) Решение:

1. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(2x-y)(2x+y)(2x-5y)$:

$\frac{3}{2x-y} - \frac{2}{2x+y} - \frac{1}{2x-5y} = \frac{3(2x+y)(2x-5y) - 2(2x-y)(2x-5y) - 1(2x-y)(2x+y)}{(2x-y)(2x+y)(2x-5y)}$

2. Раскроем скобки в числителе:

$3(2x+y)(2x-5y) = 3(4x^2 - 10xy + 2xy - 5y^2) = 12x^2 - 24xy - 15y^2$

$-2(2x-y)(2x-5y) = -2(4x^2 - 10xy - 2xy + 5y^2) = -8x^2 + 24xy - 10y^2$

$-1(2x-y)(2x+y) = -1(4x^2 - y^2) = -4x^2 + y^2$

3. Сложим полученные выражения в числителе:

$(12x^2 - 8x^2 - 4x^2) + (-24xy + 24xy) + (-15y^2 - 10y^2 + y^2) = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot xy - 24y^2 = -24y^2$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{-24y^2}{(2x-y)(2x+y)(2x-5y)}$

4. Теперь выполним деление. Используем формулу разности квадратов $4x^2 - y^2 = (2x-y)(2x+y)$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$(\frac{-24y^2}{(2x-y)(2x+y)(2x-5y)}) : \frac{4y^2}{(2x-y)(2x+y)} = \frac{-24y^2}{(2x-y)(2x+y)(2x-5y)} \cdot \frac{(2x-y)(2x+y)}{4y^2}$

5. Сократим общие множители $(2x-y)$, $(2x+y)$, $y^2$ и числовые коэффициенты:

$\frac{-24}{2x-5y} \cdot \frac{1}{4} = \frac{-6}{2x-5y} = \frac{6}{-(2x-5y)} = \frac{6}{5y-2x}$

Ответ: $\frac{6}{5y-2x}$

б) Решение:

1. Упростим выражение в первых скобках. Для этого разложим знаменатель $a^2-5a+6$ на множители: $a^2-5a+6 = (a-2)(a-3)$.

$\frac{3}{a-3} + \frac{4}{(a-2)(a-3)} + \frac{2a}{a-2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-2)(a-3)$:

$\frac{3(a-2) + 4 + 2a(a-3)}{(a-2)(a-3)} = \frac{3a-6+4+2a^2-6a}{(a-2)(a-3)} = \frac{2a^2-3a-2}{(a-2)(a-3)}$

2. Разложим числитель $2a^2-3a-2$ на множители. Найдем корни уравнения $2a^2-3a-2=0$: $a_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9-4(2)(-2)}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$. Корни $a_1=2$ и $a_2=-1/2$. Тогда $2a^2-3a-2 = 2(a-2)(a+1/2) = (a-2)(2a+1)$.

Выражение в скобках равно: $\frac{(a-2)(2a+1)}{(a-2)(a-3)} = \frac{2a+1}{a-3}$.

3. Упростим делитель: $(\frac{3}{2a+1})^{-1} = \frac{2a+1}{3}$.

4. Выполним деление:

$\frac{2a+1}{a-3} : \frac{2a+1}{3} = \frac{2a+1}{a-3} \cdot \frac{3}{2a+1} = \frac{3}{a-3}$

5. Теперь выполним вычитание. Заметим, что $3(3-a) = -3(a-3)$:

$\frac{3}{a-3} - \frac{a-12}{3(3-a)} = \frac{3}{a-3} - \frac{a-12}{-3(a-3)} = \frac{3}{a-3} + \frac{a-12}{3(a-3)}$

Приведем к общему знаменателю $3(a-3)$:

$\frac{3 \cdot 3 + (a-12)}{3(a-3)} = \frac{9+a-12}{3(a-3)} = \frac{a-3}{3(a-3)} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Решение:

1. Упростим выражение в скобках. Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\frac{x^3-8}{x-2} + 2x = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} + 2x$

Сократив $(x-2)$, получим:

$x^2+2x+4+2x = x^2+4x+4 = (x+2)^2$

2. Упростим второй множитель: $(4-x^2)^{-1} = \frac{1}{4-x^2}$. Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\frac{1}{4-x^2} = \frac{1}{(2-x)(2+x)}$

3. Выполним умножение:

$(x+2)^2 \cdot \frac{1}{(2-x)(2+x)} = \frac{(x+2)^2}{(2-x)(x+2)} = \frac{x+2}{2-x}$

4. Выполним вычитание:

$\frac{x+2}{2-x} - \frac{x-1}{2-x} = \frac{(x+2)-(x-1)}{2-x} = \frac{x+2-x+1}{2-x} = \frac{3}{2-x}$

Ответ: $\frac{3}{2-x}$

г) Решение:

Решим по частям. Сначала первое слагаемое, затем второе.

1. Упростим первое слагаемое $\frac{k^2}{3+k} \cdot \frac{9-k^2}{k^2-3k}$. Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби:

$9-k^2 = (3-k)(3+k)$

$k^2-3k = k(k-3)$

Подставим и сократим, учитывая, что $3-k = -(k-3)$:

$\frac{k^2}{3+k} \cdot \frac{(3-k)(3+k)}{k(k-3)} = \frac{k^2}{3+k} \cdot \frac{-(k-3)(3+k)}{k(k-3)} = \frac{k \cdot (-1)}{1} = -k$

2. Упростим второе слагаемое. Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя к общему знаменателю:

$3+\frac{k^2}{3-k} = \frac{3(3-k)+k^2}{3-k} = \frac{9-3k+k^2}{3-k}$

3. Теперь выполним деление. Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ для числителя $27+k^3 = (3+k)(9-3k+k^2)$:

$\frac{27+k^3}{3-k} : (3+\frac{k^2}{3-k}) = \frac{(3+k)(9-3k+k^2)}{3-k} : \frac{9-3k+k^2}{3-k}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{(3+k)(9-3k+k^2)}{3-k} \cdot \frac{3-k}{9-3k+k^2} = 3+k$

4. Сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 3:

$-k + (3+k) = -k+3+k = 3$

Ответ: $3$