Номер 45, страница 281 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 45, страница 281.

Условие.

45. a) $\left(\frac{3}{2x-y} - \frac{2}{2x+y} - \frac{1}{2x-5y}\right) : \frac{4y^2}{4x^2-y^2};$

б) $\left(\frac{3}{a-3} + \frac{4}{a^2-5a+6} + \frac{2a}{a-2}\right) : \left(\frac{3}{2a+1}\right)^{-1} - \frac{a-12}{3(3-a)};$

в) $\left(\frac{x^3-8}{x-2} + 2x\right) \cdot (4-x^2)^{-1} - \frac{x-1}{2-x};$

г) $\frac{k^2}{3+k} \cdot \frac{9-k^2}{k^2-3k} + \frac{27+k^3}{3-k} : \left(3+\frac{k^2}{3-k}\right).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Решение:

1. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(2x-y)(2x+y)(2x-5y)$:

$\frac{3}{2x-y} - \frac{2}{2x+y} - \frac{1}{2x-5y} = \frac{3(2x+y)(2x-5y) - 2(2x-y)(2x-5y) - 1(2x-y)(2x+y)}{(2x-y)(2x+y)(2x-5y)}$

2. Раскроем скобки в числителе:

$3(2x+y)(2x-5y) = 3(4x^2 - 10xy + 2xy - 5y^2) = 12x^2 - 24xy - 15y^2$

$-2(2x-y)(2x-5y) = -2(4x^2 - 10xy - 2xy + 5y^2) = -8x^2 + 24xy - 10y^2$

$-1(2x-y)(2x+y) = -1(4x^2 - y^2) = -4x^2 + y^2$

3. Сложим полученные выражения в числителе:

$(12x^2 - 8x^2 - 4x^2) + (-24xy + 24xy) + (-15y^2 - 10y^2 + y^2) = 0 \cdot x^2 + 0 \cdot xy - 24y^2 = -24y^2$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{-24y^2}{(2x-y)(2x+y)(2x-5y)}$

4. Теперь выполним деление. Используем формулу разности квадратов $4x^2 - y^2 = (2x-y)(2x+y)$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$(\frac{-24y^2}{(2x-y)(2x+y)(2x-5y)}) : \frac{4y^2}{(2x-y)(2x+y)} = \frac{-24y^2}{(2x-y)(2x+y)(2x-5y)} \cdot \frac{(2x-y)(2x+y)}{4y^2}$

5. Сократим общие множители $(2x-y)$, $(2x+y)$, $y^2$ и числовые коэффициенты:

$\frac{-24}{2x-5y} \cdot \frac{1}{4} = \frac{-6}{2x-5y} = \frac{6}{-(2x-5y)} = \frac{6}{5y-2x}$

Ответ: $\frac{6}{5y-2x}$

б) Решение:

1. Упростим выражение в первых скобках. Для этого разложим знаменатель $a^2-5a+6$ на множители: $a^2-5a+6 = (a-2)(a-3)$.

$\frac{3}{a-3} + \frac{4}{(a-2)(a-3)} + \frac{2a}{a-2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-2)(a-3)$:

$\frac{3(a-2) + 4 + 2a(a-3)}{(a-2)(a-3)} = \frac{3a-6+4+2a^2-6a}{(a-2)(a-3)} = \frac{2a^2-3a-2}{(a-2)(a-3)}$

2. Разложим числитель $2a^2-3a-2$ на множители. Найдем корни уравнения $2a^2-3a-2=0$: $a_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9-4(2)(-2)}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$. Корни $a_1=2$ и $a_2=-1/2$. Тогда $2a^2-3a-2 = 2(a-2)(a+1/2) = (a-2)(2a+1)$.

Выражение в скобках равно: $\frac{(a-2)(2a+1)}{(a-2)(a-3)} = \frac{2a+1}{a-3}$.

3. Упростим делитель: $(\frac{3}{2a+1})^{-1} = \frac{2a+1}{3}$.

4. Выполним деление:

$\frac{2a+1}{a-3} : \frac{2a+1}{3} = \frac{2a+1}{a-3} \cdot \frac{3}{2a+1} = \frac{3}{a-3}$

5. Теперь выполним вычитание. Заметим, что $3(3-a) = -3(a-3)$:

$\frac{3}{a-3} - \frac{a-12}{3(3-a)} = \frac{3}{a-3} - \frac{a-12}{-3(a-3)} = \frac{3}{a-3} + \frac{a-12}{3(a-3)}$

Приведем к общему знаменателю $3(a-3)$:

$\frac{3 \cdot 3 + (a-12)}{3(a-3)} = \frac{9+a-12}{3(a-3)} = \frac{a-3}{3(a-3)} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Решение:

1. Упростим выражение в скобках. Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\frac{x^3-8}{x-2} + 2x = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} + 2x$

Сократив $(x-2)$, получим:

$x^2+2x+4+2x = x^2+4x+4 = (x+2)^2$

2. Упростим второй множитель: $(4-x^2)^{-1} = \frac{1}{4-x^2}$. Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\frac{1}{4-x^2} = \frac{1}{(2-x)(2+x)}$

3. Выполним умножение:

$(x+2)^2 \cdot \frac{1}{(2-x)(2+x)} = \frac{(x+2)^2}{(2-x)(x+2)} = \frac{x+2}{2-x}$

4. Выполним вычитание:

$\frac{x+2}{2-x} - \frac{x-1}{2-x} = \frac{(x+2)-(x-1)}{2-x} = \frac{x+2-x+1}{2-x} = \frac{3}{2-x}$

Ответ: $\frac{3}{2-x}$

г) Решение:

Решим по частям. Сначала первое слагаемое, затем второе.

1. Упростим первое слагаемое $\frac{k^2}{3+k} \cdot \frac{9-k^2}{k^2-3k}$. Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби:

$9-k^2 = (3-k)(3+k)$

$k^2-3k = k(k-3)$

Подставим и сократим, учитывая, что $3-k = -(k-3)$:

$\frac{k^2}{3+k} \cdot \frac{(3-k)(3+k)}{k(k-3)} = \frac{k^2}{3+k} \cdot \frac{-(k-3)(3+k)}{k(k-3)} = \frac{k \cdot (-1)}{1} = -k$

2. Упростим второе слагаемое. Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя к общему знаменателю:

$3+\frac{k^2}{3-k} = \frac{3(3-k)+k^2}{3-k} = \frac{9-3k+k^2}{3-k}$

3. Теперь выполним деление. Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ для числителя $27+k^3 = (3+k)(9-3k+k^2)$:

$\frac{27+k^3}{3-k} : (3+\frac{k^2}{3-k}) = \frac{(3+k)(9-3k+k^2)}{3-k} : \frac{9-3k+k^2}{3-k}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{(3+k)(9-3k+k^2)}{3-k} \cdot \frac{3-k}{9-3k+k^2} = 3+k$

4. Сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 3:

$-k + (3+k) = -k+3+k = 3$

Ответ: $3$