Номер 50, страница 283 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Тождественные преобразования. Глава 5. Задачи на повторение - номер 50, страница 283.

Условие.

50. а) $\frac{x-1}{x+x^{\frac{1}{2}}+1} : \frac{x^{0,5}+1}{x^{1,5}-1} + \frac{2}{x^{-0,5}};$

б) $\left(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - \frac{ab}{a+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}\right) : \frac{(ab)^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{2}}}{a-b};$

в) $\left(\frac{2x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{3x}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{x^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{3}{2}}}{x-x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}} - \frac{x-y}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}\right);$

г) $\left(\frac{1-c^{-2}}{c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}}} - \frac{2c^{\frac{1}{2}}}{c^2} + \frac{c^{-2}-c}{c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}}}\right) \cdot \left(1+\frac{2}{c^2}\right)^{-2}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Упростим данное выражение по действиям. Сначала выполним деление, а затем сложение.

1. Упростим частное: $ \frac{x-1}{x + x^{\frac{1}{2}} + 1} : \frac{x^{0.5} + 1}{x^{1.5} - 1} $. Заменим деление умножением на обратную дробь. Используем формулы разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Заметим, что $x-1 = (x^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = (x^{\frac{1}{2}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1)$. Также $x^{1.5}-1 = (x^{\frac{1}{2}})^3 - 1^3 = (x^{\frac{1}{2}}-1)(x+x^{\frac{1}{2}}+1)$. Подставим разложения в выражение: $ \frac{(x^{\frac{1}{2}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1)}{x + x^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot \frac{(x^{\frac{1}{2}}-1)(x+x^{\frac{1}{2}}+1)}{x^{0.5} + 1} $. Сократим общие множители $(x^{\frac{1}{2}}+1)$ и $(x+x^{\frac{1}{2}}+1)$: $ (x^{\frac{1}{2}}-1)(x^{\frac{1}{2}}-1) = (x^{\frac{1}{2}}-1)^2 $.

2. Упростим второе слагаемое: $ \frac{2}{x^{-0.5}} = 2x^{0.5} $.

3. Сложим результаты первого и второго действий: $ (x^{\frac{1}{2}}-1)^2 + 2x^{0.5} $. Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$: $ (x^{\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2 + 2x^{0.5} = x - 2x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2x^{\frac{1}{2}} = x+1 $.

Ответ: $x+1$

б)

Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю.

1. $ a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - \frac{ab}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}) - ab}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} $. Раскроем скобки в числителе: $ \frac{a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} + ab - ab}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{ab^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.

2. Теперь выполним деление. Заменим его умножением на обратную дробь: $ \frac{ab^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} : \frac{(ab)^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}}}{a-b} = \frac{ab^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a-b}{(ab)^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}}} $. Разложим на множители числитель второй дроби $a-b = (a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})$. В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $b^{\frac{1}{4}}$: $(ab)^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{2}{4}} = b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})$. Выражение примет вид: $ \frac{ab^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})}{b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})} $. Сократим $a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}$: $ \frac{ab^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})}{b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})} $. Разложим $a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})$: $ \frac{ab^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}})} $. Сократим $a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}$: $ \frac{ab^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}})}{b^{\frac{1}{4}}} = ab^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}) = ab^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}) $. Раскроем скобки: $ a(b^{\frac{1}{4}}a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}) = a((ab)^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{2}}) = a(ab)^{\frac{1}{4}} + ab^{\frac{1}{2}} $.

Ответ: $a(ab)^{\frac{1}{4}} + ab^{\frac{1}{2}}$

в)

Упростим каждый множитель по отдельности.

1. Первый множитель: $ (\frac{2x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{3x})^{-1} = \frac{3x}{2x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}} $. В знаменателе вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ за скобки: $ \frac{3x}{x^{\frac{1}{2}}(2x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})} = \frac{3x^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}} $.

2. Второй множитель (выражение в скобках): $ \frac{x^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{3}{2}}}{x-x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}} - \frac{x-y}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}} $. Упростим первую дробь: $ \frac{x^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{3}{2}}}{x-x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}} = \frac{(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})(x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y)}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})} = \frac{x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y}{x^{\frac{1}{2}}} $. Упростим вторую дробь: $ \frac{x-y}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}} = \frac{(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}} $. Выполним вычитание: $ \frac{x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y}{x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y - x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} $ $ = \frac{x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y - x+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}+y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{y^{\frac{1}{2}}(2x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} $.

3. Перемножим упрощенные выражения: $ \frac{3x^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}(2x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} $. Сократим общие множители $ (2x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}) $ и $x^{\frac{1}{2}}$, получим $3y^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $3y^{\frac{1}{2}}$

г)

Упростим выражение в первых скобках, а затем выполним умножение.

1. В первых скобках сгруппируем первое и третье слагаемые, так как у них общий знаменатель: $ \frac{1-c^{-2}}{c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}}} + \frac{c^{-2}-c}{c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}}} = \frac{1-c^{-2}+c^{-2}-c}{c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}}} = \frac{1-c}{c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}}} $. Упростим знаменатель: $ c^{\frac{1}{2}}-c^{-\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{c^{\frac{1}{2}}} = \frac{c-1}{c^{\frac{1}{2}}} $. Тогда дробь равна: $ \frac{1-c}{(c-1)/c^{\frac{1}{2}}} = \frac{-(c-1)c^{\frac{1}{2}}}{c-1} = -c^{\frac{1}{2}} $. Выражение в первых скобках примет вид: $ -c^{\frac{1}{2}} - \frac{2c^{\frac{1}{2}}}{c^2} $. Вынесем общий множитель $-c^{\frac{1}{2}}$ за скобки: $ -c^{\frac{1}{2}}(1 + \frac{2}{c^2}) $.

2. Теперь умножим полученное выражение на второй множитель: $ -c^{\frac{1}{2}}(1 + \frac{2}{c^2}) \cdot (1 + \frac{2}{c^2})^{-2} $. Используя свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, получим: $ -c^{\frac{1}{2}}(1 + \frac{2}{c^2})^{1-2} = -c^{\frac{1}{2}}(1 + \frac{2}{c^2})^{-1} $.

3. Запишем выражение с положительным показателем степени и упростим: $ -c^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{2}{c^2}} = -c^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\frac{c^2+2}{c^2}} = -c^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{c^2}{c^2+2} = \frac{-c^{\frac{1}{2}}c^2}{c^2+2} = -\frac{c^{2+\frac{1}{2}}}{c^2+2} = -\frac{c^{\frac{5}{2}}}{c^2+2} $.

Ответ: $-\frac{c^{\frac{5}{2}}}{c^2+2}$