Номер 54, страница 284 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 54, страница 284.

Условие.

Докажите тождество (54, 55).

54. а) $\frac{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}(\alpha+\beta)} = \operatorname{tg} \beta;$

б) $\frac{1-\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha+\sin 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha;$

в) $\frac{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)} = \operatorname{ctg} \alpha;$

г) $\frac{\sin \alpha - \sin 3\alpha}{\cos \alpha - \cos 3\alpha} = -\operatorname{ctg} 2\alpha.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой тангенса суммы углов: $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}$.

Из этой формулы можно выразить выражение для числителя исходной дроби. Сначала выразим сумму тангенсов, перемножив обе части на знаменатель:

$\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta = \text{tg}(\alpha + \beta)(1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta)$

Теперь преобразуем числитель исходного выражения, вычитая из $\text{tg}(\alpha + \beta)$ сумму $\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta$:

$\text{tg}(\alpha + \beta) - \text{tg}\alpha - \text{tg}\beta = \text{tg}(\alpha + \beta) - (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) = \text{tg}(\alpha + \beta) - \text{tg}(\alpha + \beta)(1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta)$

Вынесем общий множитель $\text{tg}(\alpha + \beta)$ за скобки:

$\text{tg}(\alpha + \beta) \cdot (1 - (1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta)) = \text{tg}(\alpha + \beta) \cdot (1 - 1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta) = \text{tg}(\alpha + \beta) \text{tg}\alpha \text{tg}\beta$

Подставим полученное выражение для числителя обратно в левую часть доказываемого тождества:

$\frac{\text{tg}(\alpha + \beta) \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha \text{tg}(\alpha + \beta)}$

Сократив дробь на $\text{tg}\alpha \text{tg}(\alpha + \beta)$, получим $\text{tg}\beta$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{\text{tg}(\alpha + \beta) - \text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha \text{tg}(\alpha + \beta)} = \frac{\text{tg}(\alpha + \beta) \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha \text{tg}(\alpha + \beta)} = \text{tg}\beta$.

б)

Для доказательства тождества преобразуем левую часть, используя формулы двойного угла:

$1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$

$1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{1 - \cos2\alpha + \sin2\alpha}{1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}$

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}$

Сократим дробь на общий множитель $2(\sin\alpha + \cos\alpha)$:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{1 - \cos2\alpha + \sin2\alpha}{1 + \cos2\alpha + \sin2\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)} = \text{tg}\alpha$.

в)

Для доказательства тождества воспользуемся формулами суммы и разности углов для синуса и косинуса.

Преобразуем числитель:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$

Преобразуем знаменатель:

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) + (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$

Подставим преобразованные выражения в левую часть тождества:

$\frac{2\cos\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\cos\beta}$

Сократив дробь на $2\cos\beta$, получим:

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)} = \frac{2\cos\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\cos\beta} = \text{ctg}\alpha$.

г)

Для доказательства тождества воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

$\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$

$\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x-y}{2}\sin\frac{x+y}{2}$

Применим эти формулы к левой части тождества, где $x=\alpha$ и $y=3\alpha$.

Преобразуем числитель:

$\sin\alpha - \sin3\alpha = 2\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2} = 2\sin(-\alpha)\cos(2\alpha) = -2\sin\alpha\cos(2\alpha)$

Преобразуем знаменатель:

$\cos\alpha - \cos3\alpha = -2\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2} = -2\sin(-\alpha)\sin(2\alpha) = -2(-\sin\alpha)\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\sin(2\alpha)$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{-2\sin\alpha\cos(2\alpha)}{2\sin\alpha\sin(2\alpha)}$

Сократим дробь на $2\sin\alpha$:

$\frac{-\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = -\text{ctg}(2\alpha)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{\sin\alpha - \sin3\alpha}{\cos\alpha - \cos3\alpha} = \frac{-2\sin\alpha\cos(2\alpha)}{2\sin\alpha\sin(2\alpha)} = -\text{ctg}(2\alpha)$.