Номер 61, страница 285 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Тождественные преобразования. Глава 5. Задачи на повторение - номер 61, страница 285.
№61 (с. 285)
Условие. №61 (с. 285)
скриншот условия

61. Найдите сумму $tg^2 \frac{x}{2} + tg^2 \frac{y}{2} + tg^2 \frac{z}{2}$, если
$ \cos x = \frac{a}{b+c}, \cos y = \frac{b}{c+a}, \cos z = \frac{c}{a+b}, a+b+c \neq 0.$
Решение 1. №61 (с. 285)

Решение 3. №61 (с. 285)

Решение 5. №61 (с. 285)
Для нахождения суммы воспользуемся тригонометрической формулой, выражающей квадрат тангенса половинного угла через косинус целого угла:
$\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$
Применим эту формулу для каждого слагаемого и подставим заданные в условии значения косинусов.
Для первого слагаемого $\text{tg}^2 \frac{x}{2}$:
$\text{tg}^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \frac{a}{b+c}}{1 + \frac{a}{b+c}} = \frac{\frac{b+c-a}{b+c}}{\frac{b+c+a}{b+c}} = \frac{b+c-a}{a+b+c}$
Для второго слагаемого $\text{tg}^2 \frac{y}{2}$:
$\text{tg}^2 \frac{y}{2} = \frac{1 - \cos y}{1 + \cos y} = \frac{1 - \frac{b}{c+a}}{1 + \frac{b}{c+a}} = \frac{\frac{c+a-b}{c+a}}{\frac{c+a+b}{c+a}} = \frac{c+a-b}{a+b+c}$
Для третьего слагаемого $\text{tg}^2 \frac{z}{2}$:
$\text{tg}^2 \frac{z}{2} = \frac{1 - \cos z}{1 + \cos z} = \frac{1 - \frac{c}{a+b}}{1 + \frac{c}{a+b}} = \frac{\frac{a+b-c}{a+b}}{\frac{a+b+c}{a+b}} = \frac{a+b-c}{a+b+c}$
Теперь найдем искомую сумму, сложив полученные выражения:
$S = \text{tg}^2 \frac{x}{2} + \text{tg}^2 \frac{y}{2} + \text{tg}^2 \frac{z}{2} = \frac{b+c-a}{a+b+c} + \frac{c+a-b}{a+b+c} + \frac{a+b-c}{a+b+c}$
Так как все дроби имеют общий знаменатель, сложим их числители:
$S = \frac{(b+c-a) + (c+a-b) + (a+b-c)}{a+b+c}$
Упростим выражение в числителе, сгруппировав подобные слагаемые:
$S = \frac{(-a+a+a) + (b-b+b) + (c+c-c)}{a+b+c} = \frac{a+b+c}{a+b+c}$
По условию задачи $a+b+c \neq 0$, следовательно, мы можем сократить дробь:
$S = 1$
Ответ: 1
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 61 расположенного на странице 285 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №61 (с. 285), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.