Номер 61, страница 285 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 61, страница 285.

Условие.

61. Найдите сумму $tg^2 \frac{x}{2} + tg^2 \frac{y}{2} + tg^2 \frac{z}{2}$, если

$ \cos x = \frac{a}{b+c}, \cos y = \frac{b}{c+a}, \cos z = \frac{c}{a+b}, a+b+c \neq 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для нахождения суммы воспользуемся тригонометрической формулой, выражающей квадрат тангенса половинного угла через косинус целого угла:

$\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$

Применим эту формулу для каждого слагаемого и подставим заданные в условии значения косинусов.

Для первого слагаемого $\text{tg}^2 \frac{x}{2}$:

$\text{tg}^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \frac{a}{b+c}}{1 + \frac{a}{b+c}} = \frac{\frac{b+c-a}{b+c}}{\frac{b+c+a}{b+c}} = \frac{b+c-a}{a+b+c}$

Для второго слагаемого $\text{tg}^2 \frac{y}{2}$:

$\text{tg}^2 \frac{y}{2} = \frac{1 - \cos y}{1 + \cos y} = \frac{1 - \frac{b}{c+a}}{1 + \frac{b}{c+a}} = \frac{\frac{c+a-b}{c+a}}{\frac{c+a+b}{c+a}} = \frac{c+a-b}{a+b+c}$

Для третьего слагаемого $\text{tg}^2 \frac{z}{2}$:

$\text{tg}^2 \frac{z}{2} = \frac{1 - \cos z}{1 + \cos z} = \frac{1 - \frac{c}{a+b}}{1 + \frac{c}{a+b}} = \frac{\frac{a+b-c}{a+b}}{\frac{a+b+c}{a+b}} = \frac{a+b-c}{a+b+c}$

Теперь найдем искомую сумму, сложив полученные выражения:

$S = \text{tg}^2 \frac{x}{2} + \text{tg}^2 \frac{y}{2} + \text{tg}^2 \frac{z}{2} = \frac{b+c-a}{a+b+c} + \frac{c+a-b}{a+b+c} + \frac{a+b-c}{a+b+c}$

Так как все дроби имеют общий знаменатель, сложим их числители:

$S = \frac{(b+c-a) + (c+a-b) + (a+b-c)}{a+b+c}$

Упростим выражение в числителе, сгруппировав подобные слагаемые:

$S = \frac{(-a+a+a) + (b-b+b) + (c+c-c)}{a+b+c} = \frac{a+b+c}{a+b+c}$

По условию задачи $a+b+c \neq 0$, следовательно, мы можем сократить дробь:

$S = 1$

Ответ: 1