Номер 67, страница 286 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Тождественные преобразования. Глава 5. Задачи на повторение - номер 67, страница 286.

Условие.

67. Прологарифмируйте по основанию $a$ выражение:

а) $25b^3 \sqrt[4]{c^7}$ при $a = 5$;

б) $\frac{0,0016 b^4}{c \sqrt[7]{c^2}}$ при $a = 0,2, b > 0, c > 0$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Требуется прологарифмировать выражение $25b^3 \sqrt[4]{c^7}$ по основанию $a=5$. Это означает, что нам нужно найти значение $\log_5(25b^3 \sqrt[4]{c^7})$.

Для решения воспользуемся основными свойствами логарифмов:

• Логарифм произведения: $\log_k(xy) = \log_k(x) + \log_k(y)$
• Логарифм степени: $\log_k(x^p) = p\log_k(x)$

Сначала представим выражение под логарифмом как произведение трех множителей: $25$, $b^3$, и $\sqrt[4]{c^7}$.

Применим свойство логарифма произведения:

$\log_5(25b^3 \sqrt[4]{c^7}) = \log_5(25) + \log_5(b^3) + \log_5(\sqrt[4]{c^7})$

Теперь преобразуем каждый член суммы по отдельности:

1. Первый член: $\log_5(25)$. Так как $25 = 5^2$, то $\log_5(5^2) = 2$.

2. Второй член: $\log_5(b^3)$. По свойству логарифма степени, $\log_5(b^3) = 3\log_5(b)$.

3. Третий член: $\log_5(\sqrt[4]{c^7})$. Сначала представим корень в виде степени: $\sqrt[4]{c^7} = c^{7/4}$. Тогда по свойству логарифма степени, $\log_5(c^{7/4}) = \frac{7}{4}\log_5(c)$.

Собрав все преобразованные части вместе, получаем конечный результат:

$2 + 3\log_5(b) + \frac{7}{4}\log_5(c)$

Ответ: $2 + 3\log_5(b) + \frac{7}{4}\log_5(c)$

б) Требуется прологарифмировать выражение $\frac{0,0016 b^4}{c \sqrt[7]{c^2}}$ по основанию $a=0,2$. Условия $b > 0, c > 0$ гарантируют, что выражения под логарифмами будут положительными.

Нам нужно найти значение $\log_{0,2}\left(\frac{0,0016 b^4}{c \sqrt[7]{c^2}}\right)$.

Для решения воспользуемся свойствами логарифмов:

• Логарифм частного: $\log_k(x/y) = \log_k(x) - \log_k(y)$
• Логарифм произведения: $\log_k(xy) = \log_k(x) + \log_k(y)$
• Логарифм степени: $\log_k(x^p) = p\log_k(x)$

Применим свойство логарифма частного:

$\log_{0,2}\left(\frac{0,0016 b^4}{c \sqrt[7]{c^2}}\right) = \log_{0,2}(0,0016 b^4) - \log_{0,2}(c \sqrt[7]{c^2})$

Теперь преобразуем числитель и знаменатель по отдельности.

Для числителя $\log_{0,2}(0,0016 b^4)$ применим свойство логарифма произведения:

$\log_{0,2}(0,0016) + \log_{0,2}(b^4)$

Вычислим $\log_{0,2}(0,0016)$. Основание логарифма $a = 0,2 = \frac{1}{5}$. Аргумент $0,0016 = \frac{16}{10000} = \frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = (\frac{1}{5})^4 = (0,2)^4$. Значит, $\log_{0,2}((0,2)^4) = 4$.

Второй член $\log_{0,2}(b^4)$ по свойству степени равен $4\log_{0,2}(b)$.

Таким образом, логарифм числителя равен $4 + 4\log_{0,2}(b)$.

Для знаменателя $\log_{0,2}(c \sqrt[7]{c^2})$ сначала упростим выражение под логарифмом: $c \sqrt[7]{c^2} = c^1 \cdot c^{2/7} = c^{1+\frac{2}{7}} = c^{9/7}$.

Тогда $\log_{0,2}(c^{9/7}) = \frac{9}{7}\log_{0,2}(c)$ по свойству логарифма степени.

Теперь объединим результаты, вычитая логарифм знаменателя из логарифма числителя:

$(4 + 4\log_{0,2}(b)) - \frac{9}{7}\log_{0,2}(c)$

Ответ: $4 + 4\log_{0,2}(b) - \frac{9}{7}\log_{0,2}(c)$