Номер 69, страница 286 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 69, страница 286.

Условие.

69. Вычислите при помощи таблиц:

а) $ \frac{7,832 \cdot \sqrt[4]{12,98}}{5,256^2} $;

б) $ \frac{102,3^2}{\sqrt[3]{92,14} \cdot 6,341} $.

Решение 1.

Решение 5.

а)

Обозначим искомое выражение через $A$:
$A = \frac{7,832 \cdot \sqrt[4]{12,98}}{5,256^2}$

Для вычисления воспользуемся логарифмами. Прологарифмируем выражение по основанию 10:

$\lg A = \lg \left( \frac{7,832 \cdot \sqrt[4]{12,98}}{5,256^2} \right)$

Используя свойства логарифмов ($\lg(a \cdot b) = \lg a + \lg b$, $\lg(a/b) = \lg a - \lg b$, $\lg(a^n) = n \lg a$), получаем:

$\lg A = \lg(7,832) + \lg(\sqrt[4]{12,98}) - \lg(5,256^2)$
$\lg A = \lg(7,832) + \frac{1}{4}\lg(12,98) - 2\lg(5,256)$

Найдем значения логарифмов, используя таблицы логарифмов (например, таблицы Брадиса) или калькулятор:

$\lg(7,832) \approx 0,8939$
$\lg(12,98) \approx 1,1133$
$\lg(5,256) \approx 0,7207$

Подставим эти значения в формулу для $\lg A$:

$\lg A \approx 0,8939 + \frac{1}{4} \cdot 1,1133 - 2 \cdot 0,7207$
$\lg A \approx 0,8939 + 0,2783 - 1,4414$
$\lg A \approx 1,1722 - 1,4414 = -0,2692$

Для нахождения $A$ необходимо найти антилогарифм. Представим $\lg A$ в стандартной форме с положительной мантиссой:

$\lg A = -0,2692 = -1 + (1 - 0,2692) = -1 + 0,7308 = \bar{1},7308$

Характеристика логарифма равна -1, мантисса равна 0,7308. По таблицам антилогарифмов (или по таблицам логарифмов в обратном порядке) находим число, мантисса логарифма которого равна 0,7308. Это число примерно 5,38.
$10^{0,7308} \approx 5,38$

Учитывая характеристику -1, получаем:

$A \approx 5,38 \cdot 10^{-1} = 0,538$

Ответ: $0,538$.

б)

Обозначим искомое выражение через $B$:

$B = \frac{102,3^2}{\sqrt[3]{92,14 \cdot 6,341}}$

Прологарифмируем выражение по основанию 10:

$\lg B = \lg \left( \frac{102,3^2}{\sqrt[3]{92,14 \cdot 6,341}} \right)$

Используя свойства логарифмов, получаем:

$\lg B = \lg(102,3^2) - \lg(\sqrt[3]{92,14 \cdot 6,341})$
$\lg B = 2\lg(102,3) - \frac{1}{3}(\lg(92,14) + \lg(6,341))$

Найдем значения логарифмов, используя таблицы логарифмов или калькулятор:

$\lg(102,3) \approx 2,0099$
$\lg(92,14) \approx 1,9645$
$\lg(6,341) \approx 0,8022$

Подставим эти значения в формулу для $\lg B$:

$\lg B \approx 2 \cdot 2,0099 - \frac{1}{3}(1,9645 + 0,8022)$
$\lg B \approx 4,0198 - \frac{1}{3}(2,7667)$
$\lg B \approx 4,0198 - 0,9222$
$\lg B \approx 3,0976$

Для нахождения $B$ необходимо найти антилогарифм. Характеристика логарифма равна 3, мантисса равна 0,0976. По таблицам антилогарифмов находим число, мантисса логарифма которого равна 0,0976. Это число примерно 1,252.
$10^{0,0976} \approx 1,252$

Учитывая характеристику 3, получаем:

$B \approx 1,252 \cdot 10^3 = 1252$

Ответ: $1252$.