Номер 63, страница 285 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 63, страница 285.

Условие.

63. a) $\log_3 2 + \log_3 7$ и $\log_3 (2 + 7);$

б) $\log_4 5 - \log_4 3$ и $\log_4 (5 - 3);$

в) $3 \log_7 2$ и $\log_7 (3 - 2);$

г) $\log_3 1,5 + \log_3 2$ и $\log_3 1,5^2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для решения данной задачи сравним два выражения: $ \log_3 2 + \log_3 7 $ и $ \log_3 (2 + 7) $.

Преобразуем первое выражение, используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $:

$ \log_3 2 + \log_3 7 = \log_3 (2 \cdot 7) = \log_3 14 $.

Преобразуем второе выражение, выполнив сложение в скобках:

$ \log_3 (2 + 7) = \log_3 9 $.

Теперь сравним полученные выражения: $ \log_3 14 $ и $ \log_3 9 $.

Так как основание логарифма $ 3 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_3 x $ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравнивая аргументы, получаем $ 14 > 9 $, следовательно, $ \log_3 14 > \log_3 9 $.

Ответ: $ \log_3 2 + \log_3 7 > \log_3 (2 + 7) $.

б) Сравним выражения $ \log_4 5 - \log_4 3 $ и $ \log_4 (5 - 3) $.

Преобразуем первое выражение, используя свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a (b/c) $:

$ \log_4 5 - \log_4 3 = \log_4 (5/3) $.

Преобразуем второе выражение, выполнив вычитание в скобках:

$ \log_4 (5 - 3) = \log_4 2 $.

Теперь сравним $ \log_4 (5/3) $ и $ \log_4 2 $.

Основание логарифма $ 4 > 1 $, поэтому функция $ y = \log_4 x $ возрастающая.

Сравним аргументы: $ 5/3 $ и $ 2 $. Так как $ 5/3 \approx 1.67 $, то $ 2 > 5/3 $.

Следовательно, $ \log_4 2 > \log_4 (5/3) $.

Ответ: $ \log_4 5 - \log_4 3 < \log_4 (5 - 3) $.

в) Сравним выражения $ 3 \log_7 2 $ и $ \log_7 (3 - 2) $.

Преобразуем первое выражение, используя свойство степени логарифма $ n \log_a b = \log_a (b^n) $:

$ 3 \log_7 2 = \log_7 (2^3) = \log_7 8 $.

Преобразуем второе выражение, выполнив вычитание в скобках:

$ \log_7 (3 - 2) = \log_7 1 $.

По определению логарифма, $ \log_a 1 = 0 $, поэтому $ \log_7 1 = 0 $.

Теперь сравним $ \log_7 8 $ и $ \log_7 1 $.

Основание логарифма $ 7 > 1 $, функция $ y = \log_7 x $ возрастающая.

Так как $ 8 > 1 $, то $ \log_7 8 > \log_7 1 $.

Ответ: $ 3 \log_7 2 > \log_7 (3 - 2) $.

г) Сравним выражения $ \log_3 1,5 + \log_3 2 $ и $ \log_3 1,5^2 $.

Преобразуем первое выражение, используя свойство суммы логарифмов:

$ \log_3 1,5 + \log_3 2 = \log_3 (1,5 \cdot 2) = \log_3 3 $.

Известно, что $ \log_a a = 1 $, поэтому $ \log_3 3 = 1 $.

Преобразуем второе выражение, возведя число в степень:

$ \log_3 1,5^2 = \log_3 2,25 $.

Теперь сравним $ \log_3 3 $ и $ \log_3 2,25 $.

Основание логарифма $ 3 > 1 $, функция $ y = \log_3 x $ возрастающая.

Так как $ 3 > 2,25 $, то $ \log_3 3 > \log_3 2,25 $.

Ответ: $ \log_3 1,5 + \log_3 2 > \log_3 1,5^2 $.