Номер 68, страница 286 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 2. Тождественные преобразования - номер 68, страница 286.

Условие.

68. Найдите $x$, если:

a) $\log_4 x = 2 \log_4 10 + \frac{3}{4} \log_4 81 - \frac{2}{3} \log_4 125;$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 16 - \log_{\frac{1}{3}} 8 + \log_{\frac{1}{3}} 28.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дано уравнение: $ \log_{4} x = 2 \log_{4} 10 + \frac{3}{4} \log_{4} 81 - \frac{2}{3} \log_{4} 125 $.
Для решения используем свойства логарифмов. Сначала применим свойство степени логарифма $ k \log_{a} b = \log_{a} (b^k) $ к каждому слагаемому в правой части уравнения:
$ 2 \log_{4} 10 = \log_{4} (10^2) = \log_{4} 100 $
$ \frac{3}{4} \log_{4} 81 = \log_{4} (81^{\frac{3}{4}}) = \log_{4} ( (3^4)^{\frac{3}{4}} ) = \log_{4} (3^3) = \log_{4} 27 $
$ \frac{2}{3} \log_{4} 125 = \log_{4} (125^{\frac{2}{3}}) = \log_{4} ( (5^3)^{\frac{2}{3}} ) = \log_{4} (5^2) = \log_{4} 25 $
Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:
$ \log_{4} x = \log_{4} 100 + \log_{4} 27 - \log_{4} 25 $
Далее воспользуемся свойствами суммы и разности логарифмов: $ \log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a}(b \cdot c) $ и $ \log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a}(\frac{b}{c}) $.
$ \log_{4} x = \log_{4}(100 \cdot 27) - \log_{4} 25 = \log_{4}\left(\frac{100 \cdot 27}{25}\right) $
Вычислим значение выражения под знаком логарифма:
$ \frac{100 \cdot 27}{25} = 4 \cdot 27 = 108 $
Таким образом, мы получаем уравнение:
$ \log_{4} x = \log_{4} 108 $
Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, то и их аргументы должны быть равны.
$ x = 108 $
Ответ: 108.

б) Дано уравнение: $ \log_{\frac{1}{3}} x = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 16 - \log_{\frac{1}{3}} 8 + \log_{\frac{1}{3}} 28 $.
Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов.
Применим свойство степени логарифма $ k \log_{a} b = \log_{a} (b^k) $:
$ \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 16 = \log_{\frac{1}{3}}(16^{\frac{1}{2}}) = \log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{16}) = \log_{\frac{1}{3}} 4 $
Подставим это в уравнение:
$ \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 4 - \log_{\frac{1}{3}} 8 + \log_{\frac{1}{3}} 28 $
Теперь используем свойства разности и суммы логарифмов:
$ \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{4}{8}\right) + \log_{\frac{1}{3}} 28 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{4}{8} \cdot 28\right) $
Вычислим значение выражения в скобках:
$ \frac{4}{8} \cdot 28 = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14 $
Получаем уравнение:
$ \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 14 $
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$ x = 14 $
Ответ: 14.