Номер 73, страница 286 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 73, страница 286.

Условие.

73. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно стороне основания. Задайте формулой:

a) объем призмы как функцию стороны основания;

б) площадь боковой поверхности призмы как функцию объема.

Решение 1.

Решение 5.

а) объем призмы как функцию стороны основания;

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$. По условию, боковое ребро призмы, которое также является ее высотой $h$, равно стороне основания. Таким образом, $h = a$.
Объем призмы $V$ вычисляется по формуле:
$V = S_{осн} \cdot h$
где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.
В основании лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$. Его площадь вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Подставим выражения для $S_{осн}$ и $h$ в формулу объема:
$V(a) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $V(a) = \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

б) площадь боковой поверхности призмы как функцию объема.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота.
Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $P_{осн} = 3a$.
Так как высота $h = a$, получаем формулу площади боковой поверхности как функцию от стороны основания $a$:
$S_{бок}(a) = 3a \cdot a = 3a^2$
Чтобы выразить $S_{бок}$ как функцию объема $V$, нужно исключить переменную $a$ из этого уравнения, используя формулу для объема, полученную в пункте а):
$V = \frac{a^3\sqrt{3}}{4}$
Из этой формулы выразим $a^3$:
$a^3 = \frac{4V}{\sqrt{3}}$
Теперь найдем способ связать $a^2$ (из формулы $S_{бок}$) и $a^3$ (из формулы $V$). Для этого возведем обе формулы в подходящие степени, чтобы получить одинаковую степень у $a$. Возведем формулу для $S_{бок}$ в куб, а формулу для $V$ в квадрат:
$S_{бок}^3 = (3a^2)^3 = 27a^6$
$V^2 = \left(\frac{a^3\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^6 \cdot 3}{16}$
Из второго уравнения выразим $a^6$:
$a^6 = \frac{16V^2}{3}$
Подставим это выражение для $a^6$ в первое уравнение:
$S_{бок}^3 = 27 \cdot \left(\frac{16V^2}{3}\right) = 9 \cdot 16V^2 = 144V^2$
Теперь извлечем кубический корень из обеих частей, чтобы выразить $S_{бок}$:
$S_{бок}(V) = \sqrt[3]{144V^2}$
Формулу можно также упростить: $\sqrt[3]{144V^2} = \sqrt[3]{8 \cdot 18 \cdot V^2} = 2\sqrt[3]{18V^2}$.

Ответ: $S_{бок}(V) = \sqrt[3]{144V^2}$ или $S_{бок}(V) = 2\sqrt[3]{18V^2}$