Номер 77, страница 287 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 77, страница 287.

Условие.

77. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{x-2}{x^2+2x-8}$;

б) $y = \frac{x^2}{x^4-1}$;

в) $y = \frac{x^2-1}{x^4-9x^2+20}$;

г) $y = -\frac{x}{3x^2-5x+4}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Область определения функции $y = \frac{x-2}{x^2+2x-8}$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю. Чтобы найти недопустимые значения $x$, приравняем знаменатель к нулю и решим полученное уравнение:
$x^2+2x-8 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
Знаменатель обращается в ноль при $x = -4$ и $x = 2$. Эти значения необходимо исключить из области определения функции.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) Для функции $y = \frac{x^2}{x^4-1}$ область определения — это все значения $x$, при которых знаменатель $x^4-1$ не равен нулю. Найдем значения $x$, обращающие знаменатель в ноль:
$x^4-1 = 0$.
Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов:
$(x^2-1)(x^2+1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x^2-1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
2) $x^2+1 = 0 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, функция не определена при $x = -1$ и $x = 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \frac{x^2-1}{x^4-9x^2+20}$ задается условием, что знаменатель не равен нулю. Найдем корни знаменателя:
$x^4-9x^2+20 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной $t = x^2$ (при этом $t \ge 0$):
$t^2 - 9t + 20 = 0$.
Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $9$, а их произведение равно $20$. Следовательно, корни:
$t_1 = 4$, $t_2 = 5$.
Оба корня положительны, поэтому возвращаемся к исходной переменной $x$:
1) $x^2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x_{1,2} = \pm 2$.
2) $x^2 = 5 \implies x_{3,4} = \pm \sqrt{5}$.
Итак, знаменатель равен нулю при $x = - \sqrt{5}, -2, 2, \sqrt{5}$. Эти значения исключаются из области определения.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

г) Для функции $y = -\frac{x}{3x^2-5x+4}$ необходимо, чтобы знаменатель был отличен от нуля. Проверим, существуют ли значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$3x^2-5x+4 = 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = -23$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель $3x^2-5x+4$ никогда не равен нулю.
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.