Страница 287 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

s, км

I

II

t, ч

Рис. 150

75. На рисунке 150 изображены графики движения двух туристов, которые вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В.

а) В какое время туристы прибыли в пункты А и В?

б) Сколько времени был в пути каждый из них?

в) В какое время каждый турист прибыл к месту остановки?

г) Сколько времени каждый из них отдыхал?

д) С какой скоростью двигался каждый турист до остановки и после нее?

е) Какова средняя скорость движения каждого туриста?

Для решения задачи проанализируем предоставленные графики движения. Графики показывают зависимость расстояния $s$ (в км) от времени $t$ (в часах). Примем, что пункт В находится в точке $s=0$, а пункт А — в точке $s=40$ км. Таким образом, турист I (график I) движется из пункта А в В, а турист II (график II) — из пункта В в А.

Горизонтальный участок на графиках означает остановку, так как расстояние не изменяется с течением времени. Из графиков видно, что оба туриста сделали остановку в одно и то же время и в одном и том же месте: они встретились на отметке $s = 20$ км в момент времени $t = 4$ ч и отдыхали вместе до $t = 5$ ч.

а) В какое время туристы прибыли в пункты А и В?

Турист I двигался из пункта А ($s=40$ км) в пункт В ($s=0$ км). Его график (I) достигает оси $s=0$ в момент времени $t=6,5$ ч.

Турист II двигался из пункта В ($s=0$ км) в пункт А ($s=40$ км). Его график (II) достигает отметки $s=40$ км в момент времени $t=7$ ч.

Ответ: Турист I прибыл в пункт В через 6,5 часов после начала движения, а турист II прибыл в пункт А через 7 часов.

б) Сколько времени был в пути каждый из них?

Под временем в пути будем понимать общее время от момента старта до момента прибытия в конечный пункт.

Турист I начал движение в $t=0$ и закончил в $t=6,5$ ч. Его общее время в пути: $6,5 - 0 = 6,5$ часов.

Турист II начал движение в $t=0$ и закончил в $t=7$ ч. Его общее время в пути: $7 - 0 = 7$ часов.

Ответ: Турист I был в пути 6,5 часов, а турист II — 7 часов.

в) В какое время каждый турист прибыл к месту остановки?

Остановка на графике — это горизонтальный участок. Для обоих туристов он начинается в одной и той же временной точке. Судя по графикам, оба туриста прибыли к месту остановки в момент времени $t=4$ часа.

Ответ: Каждый турист прибыл к месту остановки через 4 часа после начала движения.

г) Сколько времени каждый из них отдыхал?

Горизонтальный участок на обоих графиках, соответствующий отдыху, продолжается с $t=4$ ч до $t=5$ ч.

Следовательно, продолжительность отдыха для каждого туриста составляет: $5 \text{ ч} - 4 \text{ ч} = 1$ час.

Ответ: Каждый из туристов отдыхал 1 час.

д) С какой скоростью двигался каждый турист до остановки и после нее?

Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$, где $\Delta s$ — пройденное расстояние, а $\Delta t$ — затраченное на это время.

Турист I:

До остановки (с $t=0$ до $t=4$ ч): прошел расстояние от $s=40$ км до $s=20$ км. $\Delta s = |20 - 40| = 20$ км. $\Delta t = 4 - 0 = 4$ ч. Скорость: $v_{I, до} = \frac{20 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 5$ км/ч.

После остановки (с $t=5$ до $t=6,5$ ч): прошел расстояние от $s=20$ км до $s=0$ км. $\Delta s = |0 - 20| = 20$ км. $\Delta t = 6,5 - 5 = 1,5$ ч. Скорость: $v_{I, после} = \frac{20 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = \frac{20}{3/2} = \frac{40}{3} \approx 13,3$ км/ч.

Турист II:

До остановки (с $t=0$ до $t=4$ ч): прошел расстояние от $s=0$ км до $s=20$ км. $\Delta s = |20 - 0| = 20$ км. $\Delta t = 4 - 0 = 4$ ч. Скорость: $v_{II, до} = \frac{20 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 5$ км/ч.

После остановки (с $t=5$ до $t=7$ ч): прошел расстояние от $s=20$ км до $s=40$ км. $\Delta s = |40 - 20| = 20$ км. $\Delta t = 7 - 5 = 2$ ч. Скорость: $v_{II, после} = \frac{20 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 10$ км/ч.

Ответ: Скорость туриста I до остановки была 5 км/ч, а после остановки — $\frac{40}{3}$ км/ч (приблизительно 13,3 км/ч). Скорость туриста II до остановки была 5 км/ч, а после остановки — 10 км/ч.

е) Какова средняя скорость движения каждого туриста?

Средняя скорость движения ($v_{ср}$) — это отношение всего пройденного пути ко времени, затраченному непосредственно на движение (без учета времени остановок). Общий путь для каждого туриста равен 40 км.

Турист I:

Общее время движения: $(4 - 0) + (6,5 - 5) = 4 + 1,5 = 5,5$ ч.

Средняя скорость: $v_{ср, I} = \frac{40 \text{ км}}{5,5 \text{ ч}} = \frac{40}{11/2} = \frac{80}{11} \approx 7,27$ км/ч.

Турист II:

Общее время движения: $(4 - 0) + (7 - 5) = 4 + 2 = 6$ ч.

Средняя скорость: $v_{ср, II} = \frac{40 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = \frac{20}{3} \approx 6,67$ км/ч.

Ответ: Средняя скорость движения туриста I составляет $\frac{80}{11}$ км/ч (приблизительно 7,27 км/ч), а туриста II — $\frac{20}{3}$ км/ч (приблизительно 6,67 км/ч).

76. По графику функции (рис. 151) ответьте на вопросы:

1. Каковы промежутки возрастания функции?

2. Каковы промежутки убывания функции?

3. Назовите точки максимума и минимума функции. Какие значения принимает функция в этих точках?

4. Каковы наибольшее и наименьшее значения этих функций на отрезке $[-2; 2]$?

5. В каких точках функция не является непрерывной и каковы значения функции в этих точках?

6. На каких промежутках функция непрерывна?

7. Какие из этих функций четные и какие нечетные?

а)

б)

в)

г)

Рис. 151

1. Каковы промежутки возрастания функции?
Функция возрастает, когда ее график идет вверх при движении слева направо. По графику видно, что это происходит на промежутках от $x=-5$ до $x=-3$ и от $x=-2$ до $x=1,5$.
Ответ: $[-5; -3]$ и $[-2; 1,5)$.

2. Каковы промежутки убывания функции?
Функция убывает, когда ее график идет вниз при движении слева направо. Это происходит на промежутках от $x=-3$ до $x=-2$ и от $x=1,5$ до $x=5$.
Ответ: $[-3; -2]$ и $[1,5; 5]$.

3. Назовите точки максимума и минимума функции. Какие значения принимает функция в этих точках?
Точка максимума — это точка, в которой возрастание сменяется убыванием. Точка минимума — где убывание сменяется возрастанием.

• Точка максимума: $x_{max} = -3$. Значение функции в этой точке $y_{max} = f(-3) = 2,5$.
• Точка минимума: $x_{min} = -2$. Значение функции в этой точке $y_{min} = f(-2) = 0,5$.
• В точке разрыва $x=1,5$ значение функции $f(1,5)=3,5$ больше, чем в соседних точках, поэтому ее можно считать точкой локального максимума.

Ответ: Точка максимума $x_{max}=-3$, $f(-3)=2,5$. Точка минимума $x_{min}=-2$, $f(-2)=0,5$. Также есть локальный максимум в точке разрыва $x=1,5$, $f(1,5)=3,5$.

4. Каковы наибольшее и наименьшее значения этих функций на отрезке [-2; 2]?
На отрезке $[-2; 2]$ функция сначала возрастает от $f(-2)=0,5$ до $\lim_{x \to 1,5^-} f(x) = 2$. В точке $x=1,5$ функция имеет значение $f(1,5)=3,5$. Затем убывает до $f(2) \approx 3,2$. Наименьшее значение на этом отрезке достигается в точке $x=-2$, а наибольшее — в точке $x=1,5$.
Ответ: Наименьшее значение $y_{наим} = 0,5$ при $x=-2$. Наибольшее значение $y_{наиб} = 3,5$ при $x=1,5$.

5. В каких точках функция не является непрерывной и каковы значения функции в этих точках?
Функция имеет разрыв (скачок) в точке $x=1,5$. В этой точке график "перескакивает" с одного уровня на другой. Значение функции в точке разрыва определяется закрашенным кружком.
Ответ: Функция не является непрерывной в точке $x=1,5$. Значение функции в этой точке $f(1,5)=3,5$.

6. На каких промежутках функция непрерывна?
Функция непрерывна на всей области определения, за исключением точки разрыва.
Ответ: Функция непрерывна на промежутках $[-5; 1,5)$ и $(1,5; 5]$.

7. Какие из этих функций четные и какие нечетные?
Четная функция симметрична относительно оси Oy ($f(-x)=f(x)$). Нечетная функция симметрична относительно начала координат ($f(-x)=-f(x)$). Данная функция не обладает ни одним из этих видов симметрии. Например, $f(2) \approx 3,2$, а $f(-2) = 0,5$.
Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

1. Каковы промежутки возрастания функции?
Функция состоит из отрезков, на каждом из которых она возрастает. Эти отрезки имеют вид $(2k; 2k+2]$ для целых чисел $k$.
Ответ: Функция возрастает на промежутках вида $(2k; 2k+2]$, где $k \in \mathbb{Z}$. Например, на $(-4; -2]$, $(-2; 0]$, $(0; 2]$.

2. Каковы промежутки убывания функции?
На графике нет участков, где функция убывает.
Ответ: Промежутков убывания нет.

3. Назовите точки максимума и минимума функции. Какие значения принимает функция в этих точках?
В классическом понимании (где производная равна нулю или не существует) у функции нет точек локального максимума или минимума, так как на каждом интервале непрерывности она строго возрастает.
Ответ: Точек максимума и минимума нет.

4. Каковы наибольшее и наименьшее значения этих функций на отрезке [-2; 2]?
На отрезке $[-2; 2]$ функция принимает значения на двух участках: $(-2; 0]$ и $(0; 2]$, а также в отдельных точках $x=-2, x=0, x=2$. Значения функции $f(-2)=2$, $f(0)=2$, $f(2)=2$. На интервалах $(-2; 0)$ и $(0; 2)$ значения функции принадлежат интервалу $(0; 2)$. Таким образом, множество значений функции на отрезке $[-2; 2]$ есть $(0; 2]$. Наибольшее значение равно 2, а наименьшее значение не достигается (функция стремится к 0, но не равна ему).
Ответ: Наибольшее значение $y_{наиб} = 2$. Наименьшего значения не существует.

5. В каких точках функция не является непрерывной и каковы значения функции в этих точках?
Функция имеет разрывы в точках $x=2k$, где $k$ — целое число. На видимом участке графика это точки $x = -2, 0, 2, 4, 6, 8$. В этих точках значение функции равно 2.
Ответ: Функция не является непрерывной в точках $x=2k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значение функции в этих точках $f(2k)=2$.

6. На каких промежутках функция непрерывна?
Функция непрерывна между точками разрыва.
Ответ: Функция непрерывна на промежутках вида $(2k; 2k+2]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

7. Какие из этих функций четные и какие нечетные?
Проверим на четность: $f(1,5) = 1,5$, а $f(-1,5) = -1,5+2 = 0,5$. Так как $f(1,5) \ne f(-1,5)$, функция не является четной. Проверим на нечетность: $f(1)=1$, а $f(-1)=-1+2=1$. Так как $f(-1) \ne -f(1)$, функция не является нечетной.
Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

1. Каковы промежутки возрастания функции?
Функция возрастает на промежутках $[-6; -4]$, $[-2; 0)$, $(0; 1,5]$ и $[3; 6]$.
Ответ: $[-6; -4]$, $[-2; 0)$, $(0; 1,5]$, $[3; 6]$.

2. Каковы промежутки убывания функции?
Функция убывает на промежутках $[-4; -2]$ и $[1,5; 3]$.
Ответ: $[-4; -2]$ и $[1,5; 3]$.

3. Назовите точки максимума и минимума функции. Какие значения принимает функция в этих точках?

• Точки максимума: $x_{max} = -4$, $f(-4)=-1$; $x_{max} = 1,5$, $f(1,5)=2$.
• Точки минимума: $x_{min} = -2$, $f(-2)=-2$; $x_{min} = 3$, $f(3)=1,5$.

Ответ: Точки максимума: $(-4; -1)$ и $(1,5; 2)$. Точки минимума: $(-2; -2)$ и $(3; 1,5)$.

4. Каковы наибольшее и наименьшее значения этих функций на отрезке [-2; 2]?
На отрезке $[-2; 2]$ функция изменяется от $f(-2)=-2$ до $f(1,5)=2$, имея разрыв в точке $x=0$. Наименьшее значение на этом отрезке — $f(-2)=-2$. Наибольшее значение — $f(1,5)=2$.
Ответ: Наименьшее значение $y_{наим} = -2$ при $x=-2$. Наибольшее значение $y_{наиб} = 2$ при $x=1,5$.

5. В каких точках функция не является непрерывной и каковы значения функции в этих точках?
Функция имеет разрыв в точке $x=0$. Значение функции в этой точке определяется закрашенным кружком.
Ответ: Функция не является непрерывной в точке $x=0$. Значение функции в этой точке $f(0)=1$.

6. На каких промежутках функция непрерывна?
Функция непрерывна на всей области определения, за исключением точки разрыва.
Ответ: Функция непрерывна на промежутках $[-6; 0)$ и $(0; 6]$.

7. Какие из этих функций четные и какие нечетные?
Функция не является четной, так как, например, $f(2) \approx 1,8$, а $f(-2) = -2$. Функция не является нечетной, так как, например, $f(-2)=-2$, а $-f(2) \approx -1,8$. Также, для нечетной функции, если она определена в нуле, должно выполняться $f(0)=0$, а здесь $f(0)=1$.
Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

1. Каковы промежутки возрастания функции?
Функция возрастает на промежутках от локальных минимумов до локальных максимумов.
Ответ: $[-4,5; -2,5]$, $[0; 2,5]$ и $[5; 6]$.

2. Каковы промежутки убывания функции?
Функция убывает на промежутках от локальных максимумов до локальных минимумов.
Ответ: $[-6; -4,5]$, $[-2,5; 0]$ и $[2,5; 5]$.

3. Назовите точки максимума и минимума функции. Какие значения принимает функция в этих точках?

• Точки максимума: $x_{max} = -2,5$, $f(-2,5)=2,5$; $x_{max} = 2,5$, $f(2,5)=2,5$.
• Точки минимума: $x_{min} = -4,5$, $f(-4,5)=-1$; $x_{min} = 0$, $f(0)=0,5$; $x_{min} = 5$, $f(5)=-1$.

Ответ: Точки максимума: $(-2,5; 2,5)$ и $(2,5; 2,5)$. Точки минимума: $(-4,5; -1)$, $(0; 0,5)$ и $(5; -1)$.

4. Каковы наибольшее и наименьшее значения этих функций на отрезке [-2; 2]?
На отрезке $[-2; 2]$ функция сначала убывает от $f(-2)$ до $f(0)$, а затем возрастает от $f(0)$ до $f(2)$. Точка минимума на этом отрезке — $x=0$, $f(0)=0,5$. Наибольшее значение достигается на концах отрезка, $f(-2)$ и $f(2)$. Из симметрии графика видно, что $f(-2)=f(2) \approx 2,4$.
Ответ: Наименьшее значение $y_{наим} = 0,5$ при $x=0$. Наибольшее значение $y_{наиб} \approx 2,4$ при $x=-2$ и $x=2$.

5. В каких точках функция не является непрерывной и каковы значения функции в этих точках?
График представляет собой сплошную линию без разрывов.
Ответ: Функция непрерывна на всей области определения, точек разрыва нет.

6. На каких промежутках функция непрерывна?
Поскольку точек разрыва нет, функция непрерывна на всей своей области определения.
Ответ: Функция непрерывна на промежутке $[-6; 6]$.

7. Какие из этих функций четные и какие нечетные?
График функции симметричен относительно оси Oy. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x)=f(x)$. Например, $f(-2,5)=f(2,5)=2,5$ и $f(-5)=f(5)=-1$. Следовательно, функция является четной.
Ответ: Функция четная.

77. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{x-2}{x^2+2x-8}$;

б) $y = \frac{x^2}{x^4-1}$;

в) $y = \frac{x^2-1}{x^4-9x^2+20}$;

г) $y = -\frac{x}{3x^2-5x+4}$.

а) Область определения функции $y = \frac{x-2}{x^2+2x-8}$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю. Чтобы найти недопустимые значения $x$, приравняем знаменатель к нулю и решим полученное уравнение:
$x^2+2x-8 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
Знаменатель обращается в ноль при $x = -4$ и $x = 2$. Эти значения необходимо исключить из области определения функции.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) Для функции $y = \frac{x^2}{x^4-1}$ область определения — это все значения $x$, при которых знаменатель $x^4-1$ не равен нулю. Найдем значения $x$, обращающие знаменатель в ноль:
$x^4-1 = 0$.
Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов:
$(x^2-1)(x^2+1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x^2-1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
2) $x^2+1 = 0 \implies x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, функция не определена при $x = -1$ и $x = 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \frac{x^2-1}{x^4-9x^2+20}$ задается условием, что знаменатель не равен нулю. Найдем корни знаменателя:
$x^4-9x^2+20 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной $t = x^2$ (при этом $t \ge 0$):
$t^2 - 9t + 20 = 0$.
Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $9$, а их произведение равно $20$. Следовательно, корни:
$t_1 = 4$, $t_2 = 5$.
Оба корня положительны, поэтому возвращаемся к исходной переменной $x$:
1) $x^2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x_{1,2} = \pm 2$.
2) $x^2 = 5 \implies x_{3,4} = \pm \sqrt{5}$.
Итак, знаменатель равен нулю при $x = - \sqrt{5}, -2, 2, \sqrt{5}$. Эти значения исключаются из области определения.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

г) Для функции $y = -\frac{x}{3x^2-5x+4}$ необходимо, чтобы знаменатель был отличен от нуля. Проверим, существуют ли значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$3x^2-5x+4 = 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = -23$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель $3x^2-5x+4$ никогда не равен нулю.
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.