Страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

108. Известно, что $x_0$ – корень уравнения $\sin \frac{x}{10} = x^3$. Следует ли отсюда, что число $(-x_0)$ является корнем этого уравнения?

По условию задачи, $x_0$ является корнем уравнения $\sin \frac{x}{10} = x^3$. По определению корня, это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство:

$\sin \frac{x_0}{10} = x_0^3$

Чтобы проверить, является ли число $(-x_0)$ также корнем этого уравнения, подставим его в уравнение вместо $x$ и проверим, получится ли верное равенство:

$\sin \frac{-x_0}{10} = (-x_0)^3$

Теперь преобразуем левую и правую части полученного равенства, используя свойства функций.

Функция синус является нечетной, то есть для любого угла $a$ справедливо равенство $\sin(-a) = -\sin(a)$. Применим это свойство к левой части:

$\sin \frac{-x_0}{10} = -\sin \frac{x_0}{10}$

Степенная функция с нечетным показателем $y = x^3$ также является нечетной, поскольку $(-x)^3 = -x^3$. Применим это свойство к правой части:

$(-x_0)^3 = -x_0^3$

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в проверяемое равенство:

$-\sin \frac{x_0}{10} = -x_0^3$

Умножив обе части этого равенства на $-1$, мы получим:

$\sin \frac{x_0}{10} = x_0^3$

Полученное равенство является верным, так как это исходное условие задачи. Таким образом, мы доказали, что если $x_0$ — корень уравнения, то и $(-x_0)$ также является его корнем.

Это происходит потому, что обе части уравнения, представленные функциями $f(x) = \sin \frac{x}{10}$ и $g(x) = x^3$, являются нечетными функциями. Для уравнений вида $f(x) = g(x)$, где обе функции нечетные, множество корней всегда симметрично относительно нуля.

Ответ: Да, следует.

109. Сравните числа:

а) $ \sin \left(\pi + \frac{1}{\pi}\right) $ и $ \cos \left(\pi + \frac{1}{\pi}\right) $;

б) $ \operatorname{tg} \pi^2 $ и $ \operatorname{ctg} \pi^2 $;

в) $ \operatorname{tg} 2 $ и $ \operatorname{ctg} 2 $;

г) $ \sin 1 $ и $ \cos 1 $.

а) Сравните числа $sin(\pi + \frac{1}{\pi})$ и $cos(\pi + \frac{1}{\pi})$

Для сравнения этих чисел воспользуемся формулами приведения для тригонометрических функций. Согласно этим формулам:

$sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$

$cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$

В данном случае в качестве $\alpha$ выступает $\frac{1}{\pi}$. Таким образом, задача сводится к сравнению чисел $-sin(\frac{1}{\pi})$ и $-cos(\frac{1}{\pi})$.

Это сравнение, в свою очередь, равносильно сравнению $sin(\frac{1}{\pi})$ и $cos(\frac{1}{\pi})$. Знак неравенства между ними нужно будет изменить на противоположный, так как мы сравниваем отрицательные числа.

Оценим величину угла $\frac{1}{\pi}$ радиан. Мы знаем, что $\pi \approx 3.14159$. Следовательно, $\frac{1}{\pi}$ — это положительное число. Сравним его с $\frac{\pi}{4}$:

$\frac{1}{\pi} \approx \frac{1}{3.14} \approx 0.318$

$\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14}{4} = 0.785$

Так как $0.318 < 0.785$, то $0 < \frac{1}{\pi} < \frac{\pi}{4}$.

В первой четверти на интервале $(0, \frac{\pi}{4})$ значения и синуса, и косинуса положительны. При этом, для любого угла $x$ из этого интервала выполняется неравенство $cos(x) > sin(x)$.

Поскольку угол $\frac{1}{\pi}$ принадлежит этому интервалу, то $cos(\frac{1}{\pi}) > sin(\frac{1}{\pi})$.

Умножим обе части этого неравенства на -1, не забыв изменить знак неравенства на противоположный:

$-cos(\frac{1}{\pi}) < -sin(\frac{1}{\pi})$

Возвращаясь к исходным выражениям, получаем:

$cos(\pi + \frac{1}{\pi}) < sin(\pi + \frac{1}{\pi})$

Ответ: $sin(\pi + \frac{1}{\pi}) > cos(\pi + \frac{1}{\pi})$.

б) Сравните числа $tg(\pi^2)$ и $ctg(\pi^2)$

Для сравнения $tg(\pi^2)$ и $ctg(\pi^2)$ сначала определим, в какой координатной четверти находится угол $\pi^2$ радиан.

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, найдем $\pi^2 \approx (3.14159)^2 \approx 9.8696$.

Теперь сравним это значение с ближайшими значениями, кратными $\frac{\pi}{2}$:

$3\pi \approx 3 \times 3.14159 = 9.42477$

$\frac{7\pi}{2} = 3.5\pi \approx 3.5 \times 3.14159 = 10.99556$

Поскольку $9.42477 < 9.8696 < 10.99556$, мы можем заключить, что $3\pi < \pi^2 < \frac{7\pi}{2}$. Этот интервал соответствует третьей координатной четверти (если отбросить полный оборот $2\pi$, получим интервал $(\pi, \frac{3\pi}{2})$).

В третьей четверти и тангенс, и котангенс положительны. Чтобы их сравнить, определим, какое из чисел больше 1, а какое меньше 1. Равенство $tg(x) = ctg(x)$ (что эквивалентно $tg(x) = 1$) в третьей четверти достигается при $x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. С учетом периодичности, нас интересует точка $3\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{4}$.

$\frac{13\pi}{4} \approx \frac{13 \times 3.14159}{4} \approx 10.21017$

Мы видим, что $\pi^2 \approx 9.8696 < 10.21017$. Таким образом, $3\pi < \pi^2 < \frac{13\pi}{4}$.

На интервале $(3\pi, 3\pi + \frac{\pi}{4})$ функция $tg(x)$ возрастает от 0 до 1. Следовательно, $0 < tg(\pi^2) < 1$.

Так как $ctg(\pi^2) = \frac{1}{tg(\pi^2)}$, а $tg(\pi^2)$ — положительное число меньше 1, то $ctg(\pi^2) > 1$.

Следовательно, $tg(\pi^2) < 1 < ctg(\pi^2)$.

Ответ: $tg(\pi^2) < ctg(\pi^2)$.

в) Сравните числа $tg(2)$ и $ctg(2)$

Определим четверть, в которой находится угол 2 радиана.

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.5708$

$\pi \approx 3.14159$

Поскольку $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол 2 радиана находится во второй координатной четверти.

Во второй четверти $sin(x) > 0$ и $cos(x) < 0$, поэтому и $tg(x)$, и $ctg(x)$ отрицательны.

Чтобы сравнить два отрицательных числа, рассмотрим их поведение относительно -1. Равенство $tg(x)=-1$ во второй четверти достигается при $x = \frac{3\pi}{4}$.

$\frac{3\pi}{4} \approx \frac{3 \times 3.14159}{4} \approx 2.3562$

Мы имеем $\frac{\pi}{2} < 2 < \frac{3\pi}{4}$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$ функция $tg(x)$ монотонно возрастает от $-\infty$ до -1. Значит, значение $tg(2)$ находится в интервале $(-\infty, -1)$, то есть $tg(2) < -1$.

Поскольку $ctg(x) = \frac{1}{tg(x)}$, то если $tg(2) < -1$, то, разделив 1 на отрицательное число, модуль которого больше 1, мы получим число в интервале $(-1, 0)$. Таким образом, $-1 < ctg(2) < 0$.

Сравнивая полученные значения, имеем: $tg(2) < -1$ и $-1 < ctg(2)$.

Отсюда следует, что $tg(2) < ctg(2)$.

Ответ: $tg(2) < ctg(2)$.

г) Сравните числа $sin(1)$ и $cos(1)$

Сравним аргумент, равный 1 радиану, с ключевым значением $\frac{\pi}{4}$.

$\frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.7854$

Так как $1 > 0.7854$, то $1 > \frac{\pi}{4}$. Также $1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$.

Следовательно, угол в 1 радиан находится в первой координатной четверти, в интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$.

На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $sin(x)$ возрастает, а функция $cos(x)$ убывает. В точке $x = \frac{\pi}{4}$ их значения равны: $sin(\frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для всех $x$, больших $\frac{\pi}{4}$ (но меньших $\frac{\pi}{2}$), значение синуса становится больше значения косинуса. То есть, на интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ выполняется неравенство $sin(x) > cos(x)$.

Поскольку 1 радиан принадлежит этому интервалу, мы можем заключить, что $sin(1) > cos(1)$.

Ответ: $sin(1) > cos(1)$.

110. Докажите:

а) $ \sin \alpha + \cos \alpha > 1 $, если $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

б) $ \cos (\sin \alpha) > 0 $, $ \alpha \in \mathbb{R} $.

а) Требуется доказать, что $\sin \alpha + \cos \alpha > 1$ при условии $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ положительны. Следовательно, их сумма $\sin \alpha + \cos \alpha$ также положительна. Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 > 1^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы:

$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha > 1$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha > 1$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$2 \sin \alpha \cos \alpha > 0$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, приходим к неравенству:

$\sin(2\alpha) > 0$

Теперь проверим, выполняется ли это неравенство для заданного диапазона $\alpha$. Из условия $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ следует, что если умножить все части на 2, то получим $0 < 2\alpha < \pi$. Для любого угла в интервале $(0, \pi)$ (первая и вторая координатные четверти) синус положителен. Таким образом, неравенство $\sin(2\alpha) > 0$ является верным для заданных $\alpha$.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство $\sin \alpha + \cos \alpha > 1$ также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Требуется доказать, что $\cos(\sin \alpha) > 0$ для любого действительного числа $\alpha \in \mathbb{R}$.

Область значений функции синус для любого действительного аргумента $\alpha$ есть отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого $\alpha \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство: $-1 \le \sin \alpha \le 1$.

Пусть $x = \sin \alpha$. Тогда нам нужно доказать, что $\cos x > 0$ для всех $x$ из отрезка $[-1, 1]$.

Известно, что функция косинус положительна ($ \cos x > 0 $) для аргументов, находящихся в интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k$ — любое целое число.

Рассмотрим основной интервал, где $\cos x > 0$, — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Оценим границы этого интервала. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$.

Таким образом, $\cos x > 0$ при $x \in (-1.5708..., 1.5708...)$.

Значение $x = \sin \alpha$ всегда находится в отрезке $[-1, 1]$. Сравним этот отрезок с интервалом, на котором косинус положителен:

$-\frac{\pi}{2} < -1$ и $1 < \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, отрезок $[-1, 1]$ полностью содержится внутри интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Это означает, что для любого действительного $\alpha$, значение $x = \sin \alpha$ попадает в интервал, на котором функция косинус строго положительна. Поэтому $\cos(\sin \alpha)$ всегда будет больше нуля.

Ответ: Что и требовалось доказать.

111. Решите графически уравнение:

a) $ \sin x = -x $

б) $ \operatorname{tg} x = \sqrt{2} \cos x, -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $

в) $ \operatorname{tg} x = x, -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $

г) $ \cos x = 1 - x^2 $

а) Чтобы решить уравнение $ \sin x = -x $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \sin x $ и $ y = -x $.

График функции $ y = \sin x $ — это синусоида, волнистая кривая, проходящая через начало координат и колеблющаяся в пределах от -1 до 1.

График функции $ y = -x $ — это прямая линия, проходящая через начало координат под углом $ 135^\circ $ к положительному направлению оси Ох (биссектриса второго и четвертого координатных углов).

Из построения видно, что оба графика пересекаются в одной точке — в начале координат (0, 0). Следовательно, $ x = 0 $ является решением уравнения.

Чтобы убедиться, что других решений нет, проанализируем функции.

• При $ x > 0 $, значения $ y = \sin x $ колеблются, в то время как значения $ y = -x $ становятся отрицательными и убывают. На интервале $ (0, \pi) $, $ \sin x > 0 $, а $ -x < 0 $, поэтому пересечений нет. При $ x > 1 $, $ -x < -1 $, в то время как $ \sin x \ge -1 $. Таким образом, при $ x > 0 $ пересечений, кроме как в точке $ x=0 $, быть не может.
• При $ x < 0 $, можно рассмотреть функцию $ f(x) = \sin x + x $. Ее производная $ f'(x) = \cos x + 1 $. Поскольку $ \cos x \ge -1 $, производная $ f'(x) \ge 0 $ для всех $ x $, причем $ f'(x) = 0 $ только в отдельных точках $ x = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} $. Это означает, что функция $ f(x) $ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Так как $ f(0) = 0 $ и функция строго возрастает, она не может принимать значение 0 в других точках.

Следовательно, графики пересекаются только в одной точке.

Ответ: $ x=0 $.

б) Чтобы решить уравнение $ \text{tg } x = \sqrt{2} \cos x $ на интервале $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ графически, построим графики функций $ y = \text{tg } x $ и $ y = \sqrt{2} \cos x $.

График функции $ y = \text{tg } x $ на заданном интервале — это основная ветвь тангенсоиды, проходящая через начало координат и имеющая вертикальные асимптоты $ x = -\frac{\pi}{2} $ и $ x = \frac{\pi}{2} $.

График функции $ y = \sqrt{2} \cos x $ — это косинусоида, сжатая к оси OY, с амплитудой $ \sqrt{2} \approx 1.414 $. На заданном интервале это "арка", симметричная относительно оси OY, с максимумом в точке $ (0, \sqrt{2}) $.

Проанализируем пересечение графиков:

• На интервале $ (-\frac{\pi}{2}, 0) $, имеем $ \text{tg } x < 0 $, а $ \sqrt{2} \cos x > 0 $. Значения функций имеют разные знаки, поэтому пересечений нет.
• В точке $ x=0 $, $ \text{tg } 0 = 0 $, а $ \sqrt{2} \cos 0 = \sqrt{2} $. Значения не равны.
• На интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $, обе функции положительны. Функция $ y = \text{tg } x $ возрастает от 0 до $ +\infty $, а функция $ y = \sqrt{2} \cos x $ убывает от $ \sqrt{2} $ до 0. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более одного раза.

Найдем точку пересечения аналитически, чтобы подтвердить графическое решение. Преобразуем уравнение, учитывая, что на данном интервале $ \cos x \neq 0 $:
$ \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{2} \cos x $
$ \sin x = \sqrt{2} \cos^2 x $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $:
$ \sin x = \sqrt{2} (1 - \sin^2 x) $
$ \sqrt{2} \sin^2 x + \sin x - \sqrt{2} = 0 $
Сделаем замену $ t = \sin x $. Получаем квадратное уравнение $ \sqrt{2} t^2 + t - \sqrt{2} = 0 $.
Его корни: $ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(\sqrt{2})(-\sqrt{2})}}{2\sqrt{2}} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2\sqrt{2}} = \frac{-1 \pm 3}{2\sqrt{2}} $.
Получаем два значения для $ t $: $ t_1 = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ t_2 = \frac{-4}{2\sqrt{2}} = -\sqrt{2} $.
Возвращаясь к замене:
1) $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. На интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ этому уравнению удовлетворяет корень $ x = \frac{\pi}{4} $.
2) $ \sin x = -\sqrt{2} $. Это уравнение не имеет решений, так как $ |\sin x| \le 1 $, а $ |-\sqrt{2}| > 1 $.
Таким образом, существует единственное решение.

Ответ: $ x=\frac{\pi}{4} $.

в) Чтобы решить уравнение $ \text{tg } x = x $ на интервале $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ графически, построим графики функций $ y = \text{tg } x $ и $ y = x $.

График функции $ y = \text{tg } x $ на заданном интервале — это основная ветвь тангенсоиды.

График функции $ y = x $ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Оба графика проходят через начало координат, поэтому точка (0, 0) является точкой их пересечения, и $ x = 0 $ — корень уравнения.

Чтобы определить, есть ли другие корни, сравним поведение функций. Сравним их производные (скорости роста).
Производная функции $ y = x $ равна $ (x)' = 1 $.
Производная функции $ y = \text{tg } x $ равна $ (\text{tg } x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x $.
В точке $ x = 0 $ производная тангенса равна $ \sec^2 0 = 1 $. Это значит, что в начале координат прямая $ y=x $ является касательной к графику $ y=\text{tg } x $.
Для любого другого $ x $ из интервала $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $, $ \cos^2 x < 1 $, поэтому $ \frac{1}{\cos^2 x} > 1 $. Это означает, что график тангенса "растет" быстрее, чем прямая $ y=x $ во всех точках, кроме нуля.
Поскольку в точке $ x=0 $ графики касаются, а на интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $ тангенс растет быстрее, то $ \text{tg } x > x $. На интервале $ (-\frac{\pi}{2}, 0) $ по той же причине (с учетом знаков) $ \text{tg } x < x $.
Следовательно, графики имеют только одну общую точку.

Ответ: $ x=0 $.

г) Чтобы решить уравнение $ \cos x = 1 - x^2 $ графически, построим графики функций $ y = \cos x $ и $ y = 1 - x^2 $.

График функции $ y = \cos x $ — это стандартная косинусоида, проходящая через точку (0, 1).

График функции $ y = 1 - x^2 $ — это парабола с ветвями, направленными вниз, вершина которой находится в точке (0, 1).

Оба графика проходят через точку (0, 1), так как $ \cos 0 = 1 $ и $ 1 - 0^2 = 1 $. Следовательно, $ x = 0 $ является решением уравнения.

Проверим наличие других решений. Для этого рассмотрим функцию $ f(x) = \cos x - (1 - x^2) = \cos x + x^2 - 1 $. Мы ищем корни уравнения $ f(x)=0 $.
Мы уже знаем, что $ f(0) = 0 $.
Найдем первую производную: $ f'(x) = -\sin x + 2x $. Заметим, что $ f'(0) = -\sin 0 + 2 \cdot 0 = 0 $.
Найдем вторую производную: $ f''(x) = -\cos x + 2 $.
Поскольку $ -1 \le \cos x \le 1 $, то $ -1 \le -\cos x \le 1 $. Тогда $ 2-1 \le 2-\cos x \le 2+1 $, то есть $ 1 \le f''(x) \le 3 $.
Так как $ f''(x) > 0 $ для всех значений $ x $, функция $ f(x) $ является выпуклой вниз на всей числовой прямой.
Это означает, что $ f'(x) $ — строго возрастающая функция. Поскольку $ f'(0)=0 $, то $ f'(x) < 0 $ при $ x < 0 $ и $ f'(x) > 0 $ при $ x > 0 $.
Следовательно, точка $ x=0 $ является точкой единственного глобального минимума функции $ f(x) $.
Минимальное значение функции равно $ f(0) = 0 $. Это значит, что для всех $ x \ne 0 $, значение функции $ f(x) > 0 $, то есть $ \cos x + x^2 - 1 > 0 $, или $ \cos x > 1 - x^2 $.
Таким образом, равенство $ \cos x = 1 - x^2 $ достигается только в одной точке $ x=0 $.

Ответ: $ x=0 $.

112. а) $y = \sqrt{16x - x^3}$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3 + 8}};

В) $y = \sqrt[6]{5 - x - \frac{4}{x}};

Г) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + x - 20}}.

а) $y = \sqrt{16x - x^3}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$16x - x^3 \ge 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(16 - x^2) \ge 0$

Разложим выражение в скобках на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(4 - x)(4 + x) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $x(4 - x)(4 + x) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$, $x_3 = -4$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, -4]$, $[-4, 0]$, $[0, 4]$, $[4, \infty)$. Определим знак выражения $x(4 - x)(4 + x)$ в каждом интервале.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $5(4-5)(4+5) = 5(-1)(9) < 0$.
• При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $1(4-1)(4+1) = 1(3)(5) > 0$.
• При $-4 < x < 0$ (например, $x=-1$): $-1(4-(-1))(4-1) = -1(5)(3) < 0$.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $-5(4-(-5))(4-5) = -5(9)(-1) > 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty, -4]$ и $[0, 4]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -4] \cup [0, 4]$.

б) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3 + 8}}$

Область определения функции задается двумя условиями:
1. Выражение под корнем четной степени (четвертой) должно быть неотрицательным: $x^3 + 8 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt[4]{x^3 + 8} \neq 0$.

Объединив эти два условия, получаем, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$x^3 + 8 > 0$

$x^3 > -8$

Извлечем кубический корень из обеих частей неравенства:

$x > \sqrt[3]{-8}$

$x > -2$

Ответ: $D(y) = (-2, \infty)$.

в) $y = \sqrt[6]{5 - x - \frac{4}{x}}$

Область определения функции задается двумя условиями:
1. Выражение под корнем четной степени (шестой) должно быть неотрицательным: $5 - x - \frac{4}{x} \ge 0$.
2. Знаменатель дроби $\frac{4}{x}$ не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.

Решим неравенство. Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{5x - x^2 - 4}{x} \ge 0$

Домножим числитель и знаменатель на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 - 5x + 4}{x} \le 0$

Найдем корни числителя: $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Корень знаменателя: $x_3 = 0$.

Нанесем точки 0, 1, 4 на числовую ось. Точка 0 будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю, а точки 1 и 4 будут закрашенными, так как неравенство нестрогое. Эти точки разбивают ось на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1]$, $[1, 4]$, $[4, \infty)$. Определим знак выражения $\frac{(x-1)(x-4)}{x}$ в каждом интервале.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
• При $1 < x < 4$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$.
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$.
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty, 0)$ и $[1, 4]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 0) \cup [1, 4]$.

г) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 + x - 20}}$

Так как корень находится в знаменателе, выражение под корнем должно быть строго положительным:

$x^2 + x - 20 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 20 = 0$. Используем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 9}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 9}{2} = 4$

Парабола $y = x^2 + x - 20$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство $x^2 + x - 20 > 0$ выполняется при $x < -5$ или $x > 4$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -5) \cup (4, \infty)$.

113. а) $y = \sqrt{x^2 \cdot 3^x - 3^x + 1};$

б) $y = \sqrt[8]{2^{\sin x} - 1};$

в) $y = \log_3 (4 - 3x + x^2);$

г) $y = \log_2 \sin x.$

В задаче требуется найти область определения для каждой из четырех функций.

a) $y = \sqrt{x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1}}$

Область определения функции, содержащей квадратный корень, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} \ge 0$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать выражение:

$x^2 \cdot 3^x - 3^x \cdot 3^1 \ge 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (x^2 - 3) \ge 0$

Показательная функция $y=3^x$ всегда принимает строго положительные значения ($3^x > 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $3^x$, не изменяя знак неравенства:

$x^2 - 3 \ge 0$

Перенесем 3 в правую часть:

$x^2 \ge 3$

Это неравенство эквивалентно $|x| \ge \sqrt{3}$, что распадается на два случая:

$x \ge \sqrt{3}$ или $x \le -\sqrt{3}$

Область определения представляет собой объединение двух лучей.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, +\infty)$.

б) $y = \sqrt[8]{2^{\sin x} - 1}$

Поскольку корень имеет четный показатель (8), подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Составляем и решаем неравенство:

$2^{\sin x} - 1 \ge 0$

Переносим единицу в правую часть:

$2^{\sin x} \ge 1$

Представим 1 в виде степени с основанием 2, то есть $1 = 2^0$:

$2^{\sin x} \ge 2^0$

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$\sin x \ge 0$

Решением этого тригонометрического неравенства являются все значения $x$, для которых синус неотрицателен. Это соответствует углам в I и II координатных четвертях. Учитывая периодичность функции синус, общее решение записывается в виде:

$2\pi k \le x \le \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

Ответ: $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \log_3(4 - 3x + x^2)$

Область определения логарифмической функции определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Таким образом, решаем неравенство:

$4 - 3x + x^2 > 0$

Запишем квадратный трехчлен в стандартном виде:

$x^2 - 3x + 4 > 0$

Чтобы определить знак этого выражения, проанализируем соответствующую квадратичную функцию $f(x) = x^2 - 3x + 4$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Найдем ее дискриминант, чтобы определить, есть ли у нее корни:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), у квадратного трехчлена нет действительных корней, то есть парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 - 3x + 4$ положительно при всех действительных значениях $x$.

Следовательно, неравенство выполняется для любого $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

г) $y = \log_2 \sin x$

Аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным. Записываем соответствующее неравенство:

$\sin x > 0$

Это тригонометрическое неравенство. Синус положителен для углов в I и II координатных четвертях. На единичной окружности это соответствует интервалу $(0, \pi)$. Учитывая, что период функции синус равен $2\pi$, общее решение неравенства имеет вид:

$2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

114. a) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 5x + 6}}{\lg (x+10)^2};$

б) $y = \sqrt{\log_5 \cos x};$

в) $y = \frac{\ln (3x-2)}{x^2 - x - 2};$

г) $y = \sqrt[4]{\lg (3x^2 - 2x)}.$

а) Чтобы найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 5x + 6}}{\lg(x+10)^2}$, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$.
2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $(x+10)^2 > 0$.
3. Знаменатель не должен равняться нулю: $\lg(x+10)^2 \neq 0$.

Рассмотрим каждое условие по отдельности:
1. Решим неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.
2. Решим неравенство $(x+10)^2 > 0$. Квадрат действительного числа положителен, если это число не равно нулю. Следовательно, $x+10 \neq 0$, что означает $x \neq -10$.
3. Решим условие $\lg(x+10)^2 \neq 0$. Логарифм равен нулю, если его аргумент равен единице. Таким образом, $(x+10)^2 \neq 1$. Это распадается на два случая: $x+10 \neq 1$ и $x+10 \neq -1$. Отсюда получаем $x \neq -9$ и $x \neq -11$.

Теперь объединим все условия. Из множества $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$ нужно исключить точки, в которых функция не определена: -11, -10 и -9. Все эти точки попадают в промежуток $(-\infty, 2]$.
Таким образом, итоговая область определения представляет собой объединение интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, -11) \cup (-11, -10) \cup (-10, -9) \cup (-9, 2] \cup [3, \infty)$.

б) Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{\log_5 \cos x}$ необходимо выполнение двух условий:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\log_5 \cos x \ge 0$.
2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $\cos x > 0$.

Решим первое неравенство: $\log_5 \cos x \ge 0$. Поскольку основание логарифма $5 > 1$, это неравенство равносильно неравенству $\cos x \ge 5^0$, то есть $\cos x \ge 1$.
Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Поэтому неравенство $\cos x \ge 1$ выполняется только в одном случае: когда $\cos x = 1$.
При $\cos x = 1$ второе условие, $\cos x > 0$, также выполняется.
Остается решить уравнение $\cos x = 1$. Его решениями являются значения $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Область определения функции $y = \frac{\ln(3x-2)}{x^2 - x - 2}$ задается системой из двух условий:
1. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $3x-2 > 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - x - 2 \neq 0$.

Решим каждое из этих условий:
1. Из неравенства $3x-2 > 0$ следует, что $3x > 2$, то есть $x > \frac{2}{3}$.
2. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Значит, знаменатель не равен нулю при $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств. Мы должны удовлетворить условию $x > \frac{2}{3}$ и одновременно исключить точки $x = 2$ и $x = -1$. Условие $x > \frac{2}{3}$ автоматически исключает $x = -1$. Остается только исключить $x=2$.
Ответ: $x \in (\frac{2}{3}, 2) \cup (2, \infty)$.

г) Для функции $y = \sqrt[4]{\lg(3x^2 - 2x)}$ область определения находится из следующих условий:
1. Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным: $\lg(3x^2 - 2x) \ge 0$.
2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $3x^2 - 2x > 0$.

Рассмотрим первое условие: $\lg(3x^2 - 2x) \ge 0$. Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, это неравенство равносильно $3x^2 - 2x \ge 10^0$, то есть $3x^2 - 2x \ge 1$.
Это условие ($3x^2 - 2x \ge 1$) является более строгим, чем второе условие ($3x^2 - 2x > 0$), так как если число больше или равно 1, оно автоматически больше 0. Поэтому достаточно решить только неравенство $3x^2 - 2x - 1 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 2x - 1 = 0$. Используем формулу для корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{2+4}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3}$.
Графиком функции $y = 3x^2 - 2x - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $3x^2 - 2x - 1 \ge 0$ выполняется на промежутках, находящихся по обе стороны от корней (включая сами корни).
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{3}] \cup [1, \infty)$.

Найдите область значений каждой из функций (115, 116).

115.

a) $y = 2\sqrt{x+1}$;

б) $y = 5^{2-x} - 1$;

в) $y = 2 \lg x + 1$;

г) $y = 3x^{-2}$.

а) Найдём область значений функции $y = 2\sqrt{x+1}$.

1. Область определения функции задаётся условием, что выражение под знаком арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, что эквивалентно $x \ge -1$.

2. По определению, значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно: $\sqrt{x+1} \ge 0$.

3. Умножение на положительное число 2 не меняет знак неравенства, поэтому $2\sqrt{x+1} \ge 0$.

4. Таким образом, для любого $x$ из области определения функции, значение $y$ будет неотрицательным: $y \ge 0$. Поскольку функция $f(t) = 2\sqrt{t}$ непрерывна и возрастает на своей области определения $[0, \infty)$, и выражение $x+1$ принимает все значения из $[0, \infty)$ при $x \ge -1$, то и $y$ принимает все значения из $[0, \infty)$.

Ответ: $y \in [0, +\infty)$.

б) Найдём область значений функции $y = 5^{2-x} - 1$.

1. Данная функция является преобразованием показательной функции $f(t) = 5^t$. Показатель степени $t=2-x$ может принимать любое действительное значение, так как $x$ может быть любым действительным числом.

2. Область значений показательной функции $a^t$ (где $a>0, a\neq1$) — это множество всех положительных чисел, то есть $(0, +\infty)$. Следовательно, для любого $x$ выполняется неравенство $5^{2-x} > 0$.

3. Вычитая 1 из обеих частей неравенства, получаем: $5^{2-x} - 1 > 0 - 1$, то есть $y > -1$.

4. Так как $5^{2-x}$ может принимать любое значение из интервала $(0, +\infty)$, то $y = 5^{2-x} - 1$ может принимать любое значение из интервала $(-1, +\infty)$.

Ответ: $y \in (-1, +\infty)$.

в) Найдём область значений функции $y = 2 \lg x + 1$.

1. Данная функция является преобразованием логарифмической функции $f(x) = \lg x$ (десятичный логарифм).

2. Область значений основной логарифмической функции $g(x) = \lg x$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, то есть $(-\infty, +\infty)$.

3. Умножение на 2 ($2 \lg x$) и прибавление 1 ($+1$) являются линейными преобразованиями. Применение линейного преобразования $y = k \cdot z + b$ (где $k \neq 0$) к величине $z$, которая может принимать любое действительное значение, не меняет её область значений. Результат $y$ также может принимать любое действительное значение.

4. Таким образом, область значений функции $y = 2 \lg x + 1$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $y \in (-\infty, +\infty)$.

г) Найдём область значений функции $y = 3x^{-2}$.

1. Перепишем функцию в виде дроби: $y = \frac{3}{x^2}$.

2. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.

3. Рассмотрим знаменатель $x^2$. Для любого ненулевого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ будет строго положительным: $x^2 > 0$.

4. Числитель дроби равен 3 (положительное число). Знаменатель $x^2$ также положителен. Следовательно, частное $y = \frac{3}{x^2}$ всегда будет положительным: $y > 0$.

5. Проверим, все ли положительные значения может принимать $y$. Когда $x$ стремится к нулю ($x \to 0$), знаменатель $x^2$ также стремится к нулю, оставаясь положительным ($x^2 \to 0^+$), а значение дроби $y$ стремится к $+\infty$. Когда $x$ стремится к бесконечности ($x \to \pm\infty$), $x^2$ стремится к $+\infty$, а значение дроби $y$ стремится к 0 (но не достигает его). Таким образом, функция принимает все значения из интервала $(0, +\infty)$.

Ответ: $y \in (0, +\infty)$.

116. a) $y = 2^{\cos x}$;

б) $y = 2 - \sqrt[4]{x}$;

в) $y = 1 + |\log_2 x|$;

г) $y = 1 + |\sqrt[3]{x}|$.

a) Для нахождения области значений функции $y = 2^{\cos x}$ проанализируем её составляющие.

1. Внутренняя функция – это $\cos x$. Область значений косинуса – отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos x \le 1$.

2. Внешняя функция – это показательная функция $f(t) = 2^t$, где $t = \cos x$. Эта функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения.

3. Поскольку функция $y = 2^t$ возрастает, её наименьшее и наибольшее значения на отрезке $t \in [-1, 1]$ достигаются на концах этого отрезка.

Наименьшее значение функции будет при наименьшем значении показателя, то есть при $\cos x = -1$:

$y_{min} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Наибольшее значение функции будет при наибольшем значении показателя, то есть при $\cos x = 1$:

$y_{max} = 2^1 = 2$

Таким образом, область значений функции $y = 2^{\cos x}$ – это отрезок от $\frac{1}{2}$ до $2$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}; 2]$.

б) Рассмотрим функцию $y = 2 - \sqrt[4]{x}$.

1. Сначала определим область определения функции. Выражение $\sqrt[4]{x}$ (корень четвертой степени) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения, то есть $x \ge 0$.

2. Найдем область значений выражения $\sqrt[4]{x}$. При $x \ge 0$ значения корня также неотрицательны. То есть, $\sqrt[4]{x} \ge 0$. Область значений функции $t = \sqrt[4]{x}$ есть промежуток $[0, +\infty)$.

3. Теперь рассмотрим всю функцию $y = 2 - t$, где $t = \sqrt[4]{x}$.

Мы знаем, что $t \ge 0$. Умножим это неравенство на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-t \le 0$.

Прибавим 2 к обеим частям неравенства: $2 - t \le 2$.

Таким образом, $y \le 2$. Поскольку $t$ может принимать любое значение из промежутка $[0, +\infty)$, то $y$ может принимать любое значение из промежутка $(-\infty, 2]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2]$.

в) Найдем область значений функции $y = 1 + |\log_2 x|$.

1. Область определения логарифмической функции $\log_2 x$ – это все положительные числа, то есть $x > 0$.

2. Область значений функции $t = \log_2 x$ – это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$.

3. Рассмотрим выражение $|\log_2 x|$. Модуль любого действительного числа является неотрицательным числом. Следовательно, $|\log_2 x| \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

4. Теперь рассмотрим всю функцию $y = 1 + |\log_2 x|$. Поскольку $|\log_2 x| \ge 0$, то, прибавляя 1 к обеим частям неравенства, получаем:

$1 + |\log_2 x| \ge 1 + 0$

$y \ge 1$

Таким образом, область значений функции – это все числа, большие или равные 1.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

г) Найдем область значений функции $y = 1 + |\sqrt[3]{x}|$.

1. Область определения кубического корня $\sqrt[3]{x}$ – это множество всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений функции $t = \sqrt[3]{x}$ также является множеством всех действительных чисел, $t \in (-\infty, +\infty)$.

3. Рассмотрим выражение $|\sqrt[3]{x}|$. Так как $\sqrt[3]{x}$ может принимать любое действительное значение, его модуль будет принимать любое неотрицательное значение. То есть, $|\sqrt[3]{x}| \ge 0$.

4. Наконец, рассмотрим функцию $y = 1 + |\sqrt[3]{x}|$. Исходя из того, что $|\sqrt[3]{x}| \ge 0$, мы можем прибавить 1 к обеим частям неравенства:

$1 + |\sqrt[3]{x}| \ge 1 + 0$

$y \ge 1$

Следовательно, область значений исходной функции – это все числа, большие или равные 1.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.