Номер 108, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 108, страница 293.

Условие.

108. Известно, что $x_0$ – корень уравнения $\sin \frac{x}{10} = x^3$. Следует ли отсюда, что число $(-x_0)$ является корнем этого уравнения?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

По условию задачи, $x_0$ является корнем уравнения $\sin \frac{x}{10} = x^3$. По определению корня, это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство:

$\sin \frac{x_0}{10} = x_0^3$

Чтобы проверить, является ли число $(-x_0)$ также корнем этого уравнения, подставим его в уравнение вместо $x$ и проверим, получится ли верное равенство:

$\sin \frac{-x_0}{10} = (-x_0)^3$

Теперь преобразуем левую и правую части полученного равенства, используя свойства функций.

Функция синус является нечетной, то есть для любого угла $a$ справедливо равенство $\sin(-a) = -\sin(a)$. Применим это свойство к левой части:

$\sin \frac{-x_0}{10} = -\sin \frac{x_0}{10}$

Степенная функция с нечетным показателем $y = x^3$ также является нечетной, поскольку $(-x)^3 = -x^3$. Применим это свойство к правой части:

$(-x_0)^3 = -x_0^3$

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в проверяемое равенство:

$-\sin \frac{x_0}{10} = -x_0^3$

Умножив обе части этого равенства на $-1$, мы получим:

$\sin \frac{x_0}{10} = x_0^3$

Полученное равенство является верным, так как это исходное условие задачи. Таким образом, мы доказали, что если $x_0$ — корень уравнения, то и $(-x_0)$ также является его корнем.

Это происходит потому, что обе части уравнения, представленные функциями $f(x) = \sin \frac{x}{10}$ и $g(x) = x^3$, являются нечетными функциями. Для уравнений вида $f(x) = g(x)$, где обе функции нечетные, множество корней всегда симметрично относительно нуля.

Ответ: Да, следует.