Номер 114, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 114, страница 293.

Условие.

114. a) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 5x + 6}}{\lg (x+10)^2};$

б) $y = \sqrt{\log_5 \cos x};$

в) $y = \frac{\ln (3x-2)}{x^2 - x - 2};$

г) $y = \sqrt[4]{\lg (3x^2 - 2x)}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 5x + 6}}{\lg(x+10)^2}$, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$.
2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $(x+10)^2 > 0$.
3. Знаменатель не должен равняться нулю: $\lg(x+10)^2 \neq 0$.

Рассмотрим каждое условие по отдельности:
1. Решим неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.
2. Решим неравенство $(x+10)^2 > 0$. Квадрат действительного числа положителен, если это число не равно нулю. Следовательно, $x+10 \neq 0$, что означает $x \neq -10$.
3. Решим условие $\lg(x+10)^2 \neq 0$. Логарифм равен нулю, если его аргумент равен единице. Таким образом, $(x+10)^2 \neq 1$. Это распадается на два случая: $x+10 \neq 1$ и $x+10 \neq -1$. Отсюда получаем $x \neq -9$ и $x \neq -11$.

Теперь объединим все условия. Из множества $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$ нужно исключить точки, в которых функция не определена: -11, -10 и -9. Все эти точки попадают в промежуток $(-\infty, 2]$.
Таким образом, итоговая область определения представляет собой объединение интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, -11) \cup (-11, -10) \cup (-10, -9) \cup (-9, 2] \cup [3, \infty)$.

б) Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{\log_5 \cos x}$ необходимо выполнение двух условий:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\log_5 \cos x \ge 0$.
2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $\cos x > 0$.

Решим первое неравенство: $\log_5 \cos x \ge 0$. Поскольку основание логарифма $5 > 1$, это неравенство равносильно неравенству $\cos x \ge 5^0$, то есть $\cos x \ge 1$.
Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Поэтому неравенство $\cos x \ge 1$ выполняется только в одном случае: когда $\cos x = 1$.
При $\cos x = 1$ второе условие, $\cos x > 0$, также выполняется.
Остается решить уравнение $\cos x = 1$. Его решениями являются значения $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Область определения функции $y = \frac{\ln(3x-2)}{x^2 - x - 2}$ задается системой из двух условий:
1. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $3x-2 > 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - x - 2 \neq 0$.

Решим каждое из этих условий:
1. Из неравенства $3x-2 > 0$ следует, что $3x > 2$, то есть $x > \frac{2}{3}$.
2. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Значит, знаменатель не равен нулю при $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств. Мы должны удовлетворить условию $x > \frac{2}{3}$ и одновременно исключить точки $x = 2$ и $x = -1$. Условие $x > \frac{2}{3}$ автоматически исключает $x = -1$. Остается только исключить $x=2$.
Ответ: $x \in (\frac{2}{3}, 2) \cup (2, \infty)$.

г) Для функции $y = \sqrt[4]{\lg(3x^2 - 2x)}$ область определения находится из следующих условий:
1. Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным: $\lg(3x^2 - 2x) \ge 0$.
2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $3x^2 - 2x > 0$.

Рассмотрим первое условие: $\lg(3x^2 - 2x) \ge 0$. Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, это неравенство равносильно $3x^2 - 2x \ge 10^0$, то есть $3x^2 - 2x \ge 1$.
Это условие ($3x^2 - 2x \ge 1$) является более строгим, чем второе условие ($3x^2 - 2x > 0$), так как если число больше или равно 1, оно автоматически больше 0. Поэтому достаточно решить только неравенство $3x^2 - 2x - 1 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 2x - 1 = 0$. Используем формулу для корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{2+4}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3}$.
Графиком функции $y = 3x^2 - 2x - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $3x^2 - 2x - 1 \ge 0$ выполняется на промежутках, находящихся по обе стороны от корней (включая сами корни).
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{3}] \cup [1, \infty)$.