Номер 116, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 116, страница 293.

Условие.

116. a) $y = 2^{\cos x}$;

б) $y = 2 - \sqrt[4]{x}$;

в) $y = 1 + |\log_2 x|$;

г) $y = 1 + |\sqrt[3]{x}|$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

a) Для нахождения области значений функции $y = 2^{\cos x}$ проанализируем её составляющие.

1. Внутренняя функция – это $\cos x$. Область значений косинуса – отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos x \le 1$.

2. Внешняя функция – это показательная функция $f(t) = 2^t$, где $t = \cos x$. Эта функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения.

3. Поскольку функция $y = 2^t$ возрастает, её наименьшее и наибольшее значения на отрезке $t \in [-1, 1]$ достигаются на концах этого отрезка.

Наименьшее значение функции будет при наименьшем значении показателя, то есть при $\cos x = -1$:

$y_{min} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Наибольшее значение функции будет при наибольшем значении показателя, то есть при $\cos x = 1$:

$y_{max} = 2^1 = 2$

Таким образом, область значений функции $y = 2^{\cos x}$ – это отрезок от $\frac{1}{2}$ до $2$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}; 2]$.

б) Рассмотрим функцию $y = 2 - \sqrt[4]{x}$.

1. Сначала определим область определения функции. Выражение $\sqrt[4]{x}$ (корень четвертой степени) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения, то есть $x \ge 0$.

2. Найдем область значений выражения $\sqrt[4]{x}$. При $x \ge 0$ значения корня также неотрицательны. То есть, $\sqrt[4]{x} \ge 0$. Область значений функции $t = \sqrt[4]{x}$ есть промежуток $[0, +\infty)$.

3. Теперь рассмотрим всю функцию $y = 2 - t$, где $t = \sqrt[4]{x}$.

Мы знаем, что $t \ge 0$. Умножим это неравенство на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-t \le 0$.

Прибавим 2 к обеим частям неравенства: $2 - t \le 2$.

Таким образом, $y \le 2$. Поскольку $t$ может принимать любое значение из промежутка $[0, +\infty)$, то $y$ может принимать любое значение из промежутка $(-\infty, 2]$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2]$.

в) Найдем область значений функции $y = 1 + |\log_2 x|$.

1. Область определения логарифмической функции $\log_2 x$ – это все положительные числа, то есть $x > 0$.

2. Область значений функции $t = \log_2 x$ – это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$.

3. Рассмотрим выражение $|\log_2 x|$. Модуль любого действительного числа является неотрицательным числом. Следовательно, $|\log_2 x| \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

4. Теперь рассмотрим всю функцию $y = 1 + |\log_2 x|$. Поскольку $|\log_2 x| \ge 0$, то, прибавляя 1 к обеим частям неравенства, получаем:

$1 + |\log_2 x| \ge 1 + 0$

$y \ge 1$

Таким образом, область значений функции – это все числа, большие или равные 1.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

г) Найдем область значений функции $y = 1 + |\sqrt[3]{x}|$.

1. Область определения кубического корня $\sqrt[3]{x}$ – это множество всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений функции $t = \sqrt[3]{x}$ также является множеством всех действительных чисел, $t \in (-\infty, +\infty)$.

3. Рассмотрим выражение $|\sqrt[3]{x}|$. Так как $\sqrt[3]{x}$ может принимать любое действительное значение, его модуль будет принимать любое неотрицательное значение. То есть, $|\sqrt[3]{x}| \ge 0$.

4. Наконец, рассмотрим функцию $y = 1 + |\sqrt[3]{x}|$. Исходя из того, что $|\sqrt[3]{x}| \ge 0$, мы можем прибавить 1 к обеим частям неравенства:

$1 + |\sqrt[3]{x}| \ge 1 + 0$

$y \ge 1$

Следовательно, область значений исходной функции – это все числа, большие или равные 1.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.