Номер 116, страница 293 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 116, страница 293.
№116 (с. 293)
Условие. №116 (с. 293)
скриншот условия

116. a) $y = 2^{\cos x}$;
б) $y = 2 - \sqrt[4]{x}$;
в) $y = 1 + |\log_2 x|$;
г) $y = 1 + |\sqrt[3]{x}|$.
Решение 1. №116 (с. 293)

Решение 3. №116 (с. 293)


Решение 5. №116 (с. 293)
a) Для нахождения области значений функции $y = 2^{\cos x}$ проанализируем её составляющие.
1. Внутренняя функция – это $\cos x$. Область значений косинуса – отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \cos x \le 1$.
2. Внешняя функция – это показательная функция $f(t) = 2^t$, где $t = \cos x$. Эта функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения.
3. Поскольку функция $y = 2^t$ возрастает, её наименьшее и наибольшее значения на отрезке $t \in [-1, 1]$ достигаются на концах этого отрезка.
Наименьшее значение функции будет при наименьшем значении показателя, то есть при $\cos x = -1$:
$y_{min} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
Наибольшее значение функции будет при наибольшем значении показателя, то есть при $\cos x = 1$:
$y_{max} = 2^1 = 2$
Таким образом, область значений функции $y = 2^{\cos x}$ – это отрезок от $\frac{1}{2}$ до $2$.
Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}; 2]$.
б) Рассмотрим функцию $y = 2 - \sqrt[4]{x}$.
1. Сначала определим область определения функции. Выражение $\sqrt[4]{x}$ (корень четвертой степени) определено только для неотрицательных значений подкоренного выражения, то есть $x \ge 0$.
2. Найдем область значений выражения $\sqrt[4]{x}$. При $x \ge 0$ значения корня также неотрицательны. То есть, $\sqrt[4]{x} \ge 0$. Область значений функции $t = \sqrt[4]{x}$ есть промежуток $[0, +\infty)$.
3. Теперь рассмотрим всю функцию $y = 2 - t$, где $t = \sqrt[4]{x}$.
Мы знаем, что $t \ge 0$. Умножим это неравенство на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-t \le 0$.
Прибавим 2 к обеим частям неравенства: $2 - t \le 2$.
Таким образом, $y \le 2$. Поскольку $t$ может принимать любое значение из промежутка $[0, +\infty)$, то $y$ может принимать любое значение из промежутка $(-\infty, 2]$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 2]$.
в) Найдем область значений функции $y = 1 + |\log_2 x|$.
1. Область определения логарифмической функции $\log_2 x$ – это все положительные числа, то есть $x > 0$.
2. Область значений функции $t = \log_2 x$ – это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$.
3. Рассмотрим выражение $|\log_2 x|$. Модуль любого действительного числа является неотрицательным числом. Следовательно, $|\log_2 x| \ge 0$ для всех $x$ из области определения.
4. Теперь рассмотрим всю функцию $y = 1 + |\log_2 x|$. Поскольку $|\log_2 x| \ge 0$, то, прибавляя 1 к обеим частям неравенства, получаем:
$1 + |\log_2 x| \ge 1 + 0$
$y \ge 1$
Таким образом, область значений функции – это все числа, большие или равные 1.
Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.
г) Найдем область значений функции $y = 1 + |\sqrt[3]{x}|$.
1. Область определения кубического корня $\sqrt[3]{x}$ – это множество всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.
2. Область значений функции $t = \sqrt[3]{x}$ также является множеством всех действительных чисел, $t \in (-\infty, +\infty)$.
3. Рассмотрим выражение $|\sqrt[3]{x}|$. Так как $\sqrt[3]{x}$ может принимать любое действительное значение, его модуль будет принимать любое неотрицательное значение. То есть, $|\sqrt[3]{x}| \ge 0$.
4. Наконец, рассмотрим функцию $y = 1 + |\sqrt[3]{x}|$. Исходя из того, что $|\sqrt[3]{x}| \ge 0$, мы можем прибавить 1 к обеим частям неравенства:
$1 + |\sqrt[3]{x}| \ge 1 + 0$
$y \ge 1$
Следовательно, область значений исходной функции – это все числа, большие или равные 1.
Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 116 расположенного на странице 293 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №116 (с. 293), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.