Номер 119, страница 294 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 119, страница 294.
№119 (с. 294)
Условие. №119 (с. 294)
скриншот условия

Найдите среди данных функций четные и нечетные (119, 120).
119.
а) $y = 5^x + 5^{-x}$;
б) $y = \lg (1 - x^2)$;
в) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$;
г) $y = x \sqrt[3]{x}$.
Решение 1. №119 (с. 294)

Решение 3. №119 (с. 294)

Решение 5. №119 (с. 294)
Чтобы определить, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой, нужно проверить ее область определения на симметричность относительно нуля и сравнить значения $f(x)$ и $f(-x)$.
- Функция четная, если ее область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$.
- Функция нечетная, если ее область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$.
а) $y = 5^x + 5^{-x}$
Пусть $f(x) = 5^x + 5^{-x}$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как показательная функция определена для любого действительного аргумента. Эта область симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = 5^{-x} + 5^{-(-x)} = 5^{-x} + 5^x$.
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $f(-x) = 5^x + 5^{-x} = f(x)$.
Поскольку выполняется условие $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.
б) $y = \lg(1 - x^2)$
Пусть $f(x) = \lg(1 - x^2)$.
Найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$1 - x^2 > 0 \implies x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$.
Область определения $D(f) = (-1; 1)$ симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \lg(1 - (-x)^2) = \lg(1 - x^2)$.
Сравнивая с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является четной.
Ответ: четная.
в) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$
Пусть $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2(-x)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2x} = (2^{-1})^{-2x} = 2^{2x}$.
Исходная функция: $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} = (2^{-1})^{2x} = 2^{-2x}$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.
Равенство $f(-x) = f(x)$, то есть $2^{2x} = 2^{-2x}$, выполняется только при $2x = -2x$, что верно лишь для $x=0$. Поскольку равенство не выполняется для всех $x$ из области определения, функция не является четной.
Равенство $f(-x) = -f(x)$, то есть $2^{2x} = -2^{-2x}$, не выполняется никогда, так как показательная функция всегда принимает положительные значения.
Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.
г) $y = x\sqrt[3]{x}$
Пусть $f(x) = x\sqrt[3]{x}$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как кубический корень определен для любого действительного числа. Область симметрична относительно начала координат.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)\sqrt[3]{-x}$.
Используем свойство кубического корня $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$:
$f(-x) = (-x)(-\sqrt[3]{x}) = x\sqrt[3]{x} = f(x)$.
Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 119 расположенного на странице 294 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №119 (с. 294), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.