Номер 119, страница 294 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 119, страница 294.

Условие.

Найдите среди данных функций четные и нечетные (119, 120).

119.

а) $y = 5^x + 5^{-x}$;

б) $y = \lg (1 - x^2)$;

в) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$;

г) $y = x \sqrt[3]{x}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы определить, является ли функция четной, нечетной или ни той, ни другой, нужно проверить ее область определения на симметричность относительно нуля и сравнить значения $f(x)$ и $f(-x)$.

• Функция четная, если ее область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$.
• Функция нечетная, если ее область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$.

а) $y = 5^x + 5^{-x}$

Пусть $f(x) = 5^x + 5^{-x}$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как показательная функция определена для любого действительного аргумента. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 5^{-x} + 5^{-(-x)} = 5^{-x} + 5^x$.

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $f(-x) = 5^x + 5^{-x} = f(x)$.

Поскольку выполняется условие $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

б) $y = \lg(1 - x^2)$

Пусть $f(x) = \lg(1 - x^2)$.

Найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$1 - x^2 > 0 \implies x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$.

Область определения $D(f) = (-1; 1)$ симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \lg(1 - (-x)^2) = \lg(1 - x^2)$.

Сравнивая с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

в) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$

Пусть $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2(-x)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2x} = (2^{-1})^{-2x} = 2^{2x}$.

Исходная функция: $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} = (2^{-1})^{2x} = 2^{-2x}$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.

Равенство $f(-x) = f(x)$, то есть $2^{2x} = 2^{-2x}$, выполняется только при $2x = -2x$, что верно лишь для $x=0$. Поскольку равенство не выполняется для всех $x$ из области определения, функция не является четной.

Равенство $f(-x) = -f(x)$, то есть $2^{2x} = -2^{-2x}$, не выполняется никогда, так как показательная функция всегда принимает положительные значения.

Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

г) $y = x\sqrt[3]{x}$

Пусть $f(x) = x\sqrt[3]{x}$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как кубический корень определен для любого действительного числа. Область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)\sqrt[3]{-x}$.

Используем свойство кубического корня $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$:

$f(-x) = (-x)(-\sqrt[3]{x}) = x\sqrt[3]{x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.