Номер 124, страница 294 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Функции. Глава 5. Задачи на повторение - номер 124, страница 294.

Условие.

124. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют):

a) $y = \sqrt{36 - x^2}$;

б) $y = \begin{cases} \frac{1}{x+1} & \text{при } 0 \le x \le 7, \\ x^3+1 & \text{при } -2 \le x < 0; \end{cases}$

в) $y = 3^{\sin x}$;

г) $y = \begin{cases} (x-1)^2 & \text{при } -1 \le x < 1, \\ \log_2 x & \text{при } 1 \le x \le 8. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 5.

а) Функция $y = \sqrt{36 - x^2}$ определена, когда подкоренное выражение неотрицательно: $36 - x^2 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \le 36$, откуда следует, что область определения функции $D(y)$ есть отрезок $[-6, 6]$.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, исследуем выражение $u(x) = 36 - x^2$ на отрезке $[-6, 6]$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $x=0$.
Следовательно, наибольшее значение $u(x)$ достигается в вершине: $u_{наиб} = u(0) = 36 - 0^2 = 36$.
Наименьшее значение $u(x)$ достигается на концах отрезка: $u_{наим} = u(\pm 6) = 36 - (\pm 6)^2 = 0$.
Так как функция $y = \sqrt{u}$ является возрастающей, ее наибольшее и наименьшее значения будут достигаться при наибольшем и наименьшем значениях аргумента $u$.
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = \sqrt{u_{наиб}} = \sqrt{36} = 6$.
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = \sqrt{u_{наим}} = \sqrt{0} = 0$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 6, наименьшее значение равно 0.

б) Функция задана кусочно на объединении промежутков $[-2, 0) \cup [0, 7]$, то есть на отрезке $[-2, 7]$. Найдем наибольшее и наименьшее значения на каждом из промежутков.
1. На промежутке $[-2, 0)$ функция имеет вид $y = x^3+1$. Эта функция является возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, на промежутке $[-2, 0)$ она принимает наименьшее значение в левой граничной точке $x=-2$: $y(-2) = (-2)^3+1 = -8+1 = -7$. Правая граничная точка $x=0$ не входит в данный промежуток, но при $x \to 0$ слева, значения функции стремятся к $0^3+1 = 1$. Таким образом, на этом промежутке значения функции принадлежат полуинтервалу $[-7, 1)$.
2. На отрезке $[0, 7]$ функция имеет вид $y = \frac{1}{x+1}$. Так как знаменатель $x+1$ на этом отрезке положителен и возрастает, сама функция является убывающей. Следовательно, наибольшее значение она принимает в левой граничной точке $x=0$: $y(0) = \frac{1}{0+1} = 1$. Наименьшее значение она принимает в правой граничной точке $x=7$: $y(7) = \frac{1}{7+1} = \frac{1}{8}$. На этом отрезке значения функции принадлежат отрезку $[\frac{1}{8}, 1]$.
Объединяя множества значений с обоих промежутков, получаем $[-7, 1) \cup [\frac{1}{8}, 1] = [-7, 1]$.
Отсюда, наименьшее значение функции на всей области определения равно -7, а наибольшее значение равно 1.
Ответ: наибольшее значение функции равно 1, наименьшее значение равно -7.

в) Рассмотрим функцию $y = 3^{\sin x}$. Областью значений функции синуса является отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$ для всех действительных $x$.
Показательная функция $y(u) = 3^u$ с основанием $3 > 1$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $u = \sin x$ соответствует большее значение функции $y$.
Следовательно, наименьшее значение функции достигается при наименьшем значении показателя, то есть когда $\sin x = -1$:
$y_{наим} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Наибольшее значение функции достигается при наибольшем значении показателя, то есть когда $\sin x = 1$:
$y_{наиб} = 3^1 = 3$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 3, наименьшее значение равно $\frac{1}{3}$.

г) Функция задана кусочно на объединении промежутков $[-1, 1) \cup [1, 8]$, то есть на отрезке $[-1, 8]$. Найдем наибольшее и наименьшее значения на каждом из промежутков.
1. На промежутке $[-1, 1)$ функция имеет вид $y = (x-1)^2$. График этой функции — парабола с вершиной в точке $x=1$ и ветвями вверх. На заданном промежутке $[-1, 1)$ эта функция убывает. Следовательно, наибольшее значение она принимает в левой граничной точке $x=-1$: $y(-1) = (-1-1)^2 = (-2)^2 = 4$. Правая граничная точка $x=1$ является точкой минимума (вершиной параболы), но она не входит в данный промежуток. При $x \to 1$ слева, значения функции стремятся к $(1-1)^2 = 0$. Таким образом, на этом промежутке значения функции принадлежат полуинтервалу $(0, 4]$.
2. На отрезке $[1, 8]$ функция имеет вид $y = \log_2 x$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение она принимает в левой граничной точке $x=1$: $y(1) = \log_2 1 = 0$. Наибольшее значение она принимает в правой граничной точке $x=8$: $y(8) = \log_2 8 = \log_2(2^3) = 3$. На этом отрезке значения функции принадлежат отрезку $[0, 3]$.
Объединяя множества значений с обоих промежутков, получаем $(0, 4] \cup [0, 3] = [0, 4]$.
Отсюда, наименьшее значение функции на всей области определения равно 0 (достигается при $x=1$), а наибольшее значение равно 4 (достигается при $x=-1$).
Ответ: наибольшее значение функции равно 4, наименьшее значение равно 0.