Номер 128, страница 295 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 3. Функции - номер 128, страница 295.

Условие.

128. Найдите значение аргумента $x_0$, если:

a) $f (x) = \frac{1}{\sqrt{4x+1}} - \sqrt{1-x^2}, f (x_0) = 0;$

б) $f (x) = \lg (x + 15) + \lg x, f (x_0) = 2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

a) Чтобы найти значение аргумента $x_0$, нужно решить уравнение $f(x_0) = 0$.
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{4x+1}} - \sqrt{1-x^2}$
$f(x_0) = \frac{1}{\sqrt{4x_0+1}} - \sqrt{1-x_0^2} = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля, а выражение под вторым корнем — больше или равно нулю:
$\begin{cases} 4x+1 > 0 \\ 1-x^2 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x > -1 \\ x^2 \le 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -1/4 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$
Пересечением этих условий является интервал $x \in (-1/4, 1]$. Любое решение $x_0$ должно принадлежать этому интервалу.

Теперь решим уравнение:
$\frac{1}{\sqrt{4x_0+1}} = \sqrt{1-x_0^2}$
Так как обе части уравнения неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат:
$(\frac{1}{\sqrt{4x_0+1}})^2 = (\sqrt{1-x_0^2})^2$
$\frac{1}{4x_0+1} = 1-x_0^2$
$1 = (1-x_0^2)(4x_0+1)$
$1 = 4x_0 + 1 - 4x_0^3 - x_0^2$
$4x_0^3 + x_0^2 - 4x_0 = 0$
Вынесем общий множитель $x_0$ за скобки:
$x_0(4x_0^2 + x_0 - 4) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $x_0 = 0$.
2) $4x_0^2 + x_0 - 4 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 1 + 64 = 65$
$x_0 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{8}$
Получаем еще два корня: $x_{0_1} = \frac{-1 - \sqrt{65}}{8}$ и $x_{0_2} = \frac{-1 + \sqrt{65}}{8}$.

Теперь проверим все три найденных корня на принадлежность ОДЗ $x \in (-1/4, 1]$:
- $x_0 = 0$. Этот корень входит в ОДЗ, так как $-1/4 < 0 \le 1$.
- $x_0 = \frac{-1 - \sqrt{65}}{8}$. Так как $\sqrt{65} \approx 8.06$, то $x_0 \approx \frac{-1 - 8.06}{8} \approx -1.13$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $-1.13 < -1/4$.
- $x_0 = \frac{-1 + \sqrt{65}}{8}$. Так как $\sqrt{65} \approx 8.06$, то $x_0 \approx \frac{-1 + 8.06}{8} \approx \frac{7.06}{8} \approx 0.88$. Этот корень входит в ОДЗ, так как $-1/4 < 0.88 \le 1$.

Таким образом, уравнение имеет два решения.
Ответ: $x_0 = 0$, $x_0 = \frac{-1 + \sqrt{65}}{8}$.

б) Чтобы найти значение аргумента $x_0$, нужно решить уравнение $f(x_0) = 2$.
$f(x) = \lg(x+15) + \lg x$
$f(x_0) = \lg(x_0+15) + \lg x_0 = 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x+15 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -15 \\ x > 0 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 0$. Любое решение $x_0$ должно быть больше нуля.

Теперь решим уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\lg((x_0+15)x_0) = 2$
По определению десятичного логарифма ($lg = \log_{10}$):
$(x_0+15)x_0 = 10^2$
$x_0^2 + 15x_0 = 100$
$x_0^2 + 15x_0 - 100 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -100, а сумма равна -15. Это числа -20 и 5.
Таким образом, корни уравнения: $x_{0_1} = 5$ и $x_{0_2} = -20$.
Можно также найти корни через дискриминант:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625 = 25^2$
$x_0 = \frac{-15 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-15 \pm 25}{2}$
$x_{0_1} = \frac{-15+25}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_{0_2} = \frac{-15-25}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x>0$):
- $x_0 = 5$. Этот корень удовлетворяет условию $5 > 0$.
- $x_0 = -20$. Этот корень не удовлетворяет условию $-20 > 0$, поэтому является посторонним.

Следовательно, решением является только $x_0 = 5$.
Ответ: $x_0=5$.