Номер 133, страница 295 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 133, страница 295.

Условие.

Решите неравенства (133–135).

133. а) $\frac{x-1}{2} + x < 1.5x + 3.5;$

б) $\frac{5x-2}{3} - \frac{3-x}{2} > 1;$

в) $x - 4 (3 - x) \geq 2x + 7;$

г) $3 + \frac{2-3x}{4} \leq 2x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\frac{x-1}{2} + x < 1,5x + 3,5$

Чтобы избавиться от дроби и десятичных чисел, умножим обе части неравенства на 2:

$2 \cdot (\frac{x-1}{2} + x) < 2 \cdot (1,5x + 3,5)$

$(x-1) + 2x < 3x + 7$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x - 1 < 3x + 7$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x - 3x < 7 + 1$

$0 \cdot x < 8$

$0 < 8$

Полученное неравенство является верным числовым неравенством и не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $\frac{5x-2}{3} - \frac{3-x}{2} > 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6. Для этого умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (\frac{5x-2}{3}) - 6 \cdot (\frac{3-x}{2}) > 6 \cdot 1$

$2(5x-2) - 3(3-x) > 6$

Раскроем скобки:

$10x - 4 - 9 + 3x > 6$

Приведем подобные слагаемые:

$13x - 13 > 6$

Перенесем свободный член в правую часть:

$13x > 6 + 13$

$13x > 19$

Разделим обе части на 13 (знак неравенства не меняется):

$x > \frac{19}{13}$

Ответ: $x \in (\frac{19}{13}; +\infty)$.

в) $x - 4(3-x) \ge 2x + 7$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$x - 12 + 4x \ge 2x + 7$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x - 12 \ge 2x + 7$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5x - 2x \ge 7 + 12$

$3x \ge 19$

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется):

$x \ge \frac{19}{3}$

Ответ: $x \in [\frac{19}{3}; +\infty)$.

г) $3 + \frac{2-3x}{4} \le 2x$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4 \cdot 3 + 4 \cdot \frac{2-3x}{4} \le 4 \cdot 2x$

$12 + (2-3x) \le 8x$

$14 - 3x \le 8x$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены оставим слева:

$14 \le 8x + 3x$

$14 \le 11x$

Разделим обе части на 11 (знак неравенства не меняется) и запишем результат в стандартном виде:

$x \ge \frac{14}{11}$

Ответ: $x \in [\frac{14}{11}; +\infty)$.