Страница 295 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

126. Решите графически неравенство:

a) $log_{\frac{1}{2}} x > x - 3$

б) $\sqrt{x-2} \le \frac{3}{x}$

в) $2^{-|x|} \ge x^2 + 1$

г) $log_{\frac{1}{3}} x > 2x - 7$

а) Чтобы решить неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x > x - 3$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = x - 3$.

1. График функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — это логарифмическая кривая. Так как основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1, функция является убывающей. Область определения функции: $x > 0$. График проходит через точки $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(4, -2)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

2. График функции $y_2 = x - 3$ — это прямая линия с угловым коэффициентом 1 и пересекающая ось OY в точке $(0, -3)$. Она проходит, например, через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

Решением неравенства будут те значения $x$, при которых график функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ расположен выше графика функции $y_2 = x - 3$.

Найдем точку пересечения графиков. Подбором легко найти, что при $x=2$ значения функций совпадают:
$y_1(2) = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$
$y_2(2) = 2 - 3 = -1$
Следовательно, графики пересекаются в точке $(2, -1)$.

Поскольку логарифмическая функция убывает, а линейная возрастает, это их единственная точка пересечения. Из графика видно, что кривая $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ находится выше прямой $y_2 = x - 3$ на интервале слева от точки пересечения. Учитывая область определения логарифма ($x > 0$), получаем интервал от 0 до 2. Так как неравенство строгое, точка $x=2$ не включается в решение.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

б) Чтобы решить неравенство $\sqrt{x-2} \le \frac{3}{x}$ графически, определим сначала область допустимых значений (ОДЗ).
Условие для корня: $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
Условие для дроби: $x \ne 0$.
Итоговая ОДЗ: $x \in [2; +\infty)$.

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \sqrt{x-2}$ и $y_2 = \frac{3}{x}$ для $x \ge 2$.

1. График функции $y_1 = \sqrt{x-2}$ — это верхняя ветвь параболы $y^2=x-2$, смещенной на 2 единицы вправо. График начинается в точке $(2, 0)$ и является возрастающей функцией. Проходит через точки $(3, 1)$, $(6, 2)$.

2. График функции $y_2 = \frac{3}{x}$ — это гипербола. Так как нас интересует область $x \ge 2$, мы рассматриваем только ее правую ветвь, которая является убывающей функцией. Проходит через точки $(1, 3)$, $(2, 1.5)$, $(3, 1)$.

Решением неравенства будут те значения $x$ из ОДЗ, при которых график функции $y_1 = \sqrt{x-2}$ расположен не выше (то есть ниже или на одном уровне) графика функции $y_2 = \frac{3}{x}$.

Найдем точку пересечения графиков. При $x=3$:
$y_1(3) = \sqrt{3-2} = 1$
$y_2(3) = \frac{3}{3} = 1$
Графики пересекаются в точке $(3, 1)$.

Так как на ОДЗ функция $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, точка пересечения единственная. На интервале от 2 до 3 (включая концы) график $y_1 = \sqrt{x-2}$ находится ниже или на том же уровне, что и график $y_2 = \frac{3}{x}$.

Ответ: $x \in [2; 3]$.

в) Решим неравенство $2^{-|x|} \ge x^2 + 1$ графически. Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = 2^{-|x|}$ и $y_2 = x^2 + 1$.

1. Функция $y_1 = 2^{-|x|}$ является четной, т.к. $y_1(-x) = 2^{-|-x|} = 2^{-|x|} = y_1(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. При $x \ge 0$ имеем $y=2^{-x}$, а при $x < 0$ имеем $y=2^x$. Максимальное значение функции достигается при $x=0$, $y_1(0) = 2^0 = 1$.

2. Функция $y_2 = x^2 + 1$ также является четной. Ее график — парабола, смещенная на 1 единицу вверх по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.

Решением неравенства будут те значения $x$, при которых график функции $y_1 = 2^{-|x|}$ расположен не ниже (то есть выше или на одном уровне) графика функции $y_2 = x^2 + 1$.

Найдем точку(и) пересечения. При $x=0$:
$y_1(0) = 2^{-|0|} = 1$
$y_2(0) = 0^2 + 1 = 1$
Графики пересекаются (касаются) в точке $(0, 1)$.

Рассмотрим значения функций при $x \ne 0$.
Для $y_1=2^{-|x|}$: при любом $x \ne 0$, $|x| > 0$, поэтому $2^{-|x|} < 2^0 = 1$.
Для $y_2=x^2+1$: при любом $x \ne 0$, $x^2 > 0$, поэтому $x^2+1 > 1$.
Следовательно, для всех $x \ne 0$ выполняется строгое неравенство $2^{-|x|} < x^2+1$.
Таким образом, исходное неравенство $2^{-|x|} \ge x^2+1$ выполняется только в одной точке, где достигается равенство.

Ответ: $x = 0$.

г) Чтобы решить неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x > 2x - 7$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y_2 = 2x - 7$.

1. График функции $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ — это убывающая логарифмическая кривая. Область определения: $x > 0$. График проходит через точки $(1, 0)$, $(3, -1)$, $(9, -2)$. Вертикальная асимптота — ось OY ($x=0$).

2. График функции $y_2 = 2x - 7$ — это прямая линия, которая является возрастающей (угловой коэффициент 2). Проходит через точки $(3, -1)$ и $(3.5, 0)$.

Решением неравенства являются те значения $x$, при которых график функции $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ находится выше графика функции $y_2 = 2x - 7$.

Найдем точку пересечения графиков. Проверим точку $x=3$:
$y_1(3) = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$
$y_2(3) = 2 \cdot 3 - 7 = 6 - 7 = -1$
Графики пересекаются в точке $(3, -1)$.

Так как убывающая логарифмическая функция и возрастающая линейная функция могут пересечься только один раз, это их единственная общая точка. Из графика видно, что левее точки пересечения ($x < 3$) график логарифма находится выше прямой. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем решение. Неравенство строгое, поэтому точка $x=3$ в решение не входит.

Ответ: $x \in (0; 3)$.

127. Докажите, что равны наибольшие значения функций $y = (\log_2 3)^{\sin x}$ и $y = (\log_3 2)^{\cos x}$.

Для того чтобы доказать, что наибольшие значения данных функций равны, необходимо найти наибольшее значение для каждой из функций и сравнить их.

Рассмотрим первую функцию $y_1 = (\log_2 3)^{\sin x}$. Это показательная функция, основание которой $a = \log_2 3$. Поскольку $2^1 = 2$, а $3 > 2$, то $\log_2 3 > \log_2 2 = 1$. Так как основание $a = \log_2 3 > 1$, функция является возрастающей. Ее наибольшее значение достигается при наибольшем значении показателя степени, то есть $\sin x$. Наибольшее значение функции $\sin x$ равно 1. Следовательно, наибольшее значение первой функции: $y_{1, \max} = (\log_2 3)^1 = \log_2 3$.

Рассмотрим вторую функцию $y_2 = (\log_3 2)^{\cos x}$. Это показательная функция, основание которой $b = \log_3 2$. Поскольку $3^0 = 1$ и $3^1 = 3$, а $1 < 2 < 3$, то $0 < \log_3 2 < 1$. Так как основание $b = \log_3 2$ находится в интервале $(0, 1)$, функция является убывающей. Ее наибольшее значение достигается при наименьшем значении показателя степени, то есть $\cos x$. Наименьшее значение функции $\cos x$ равно -1. Следовательно, наибольшее значение второй функции: $y_{2, \max} = (\log_3 2)^{-1}$.

Теперь сравним полученные наибольшие значения $y_{1, \max}$ и $y_{2, \max}$. Используем свойство логарифма $\log_k m = \frac{1}{\log_m k}$ для преобразования выражения для $y_{2, \max}$: $y_{2, \max} = (\log_3 2)^{-1} = \frac{1}{\log_3 2} = \log_2 3$.

Таким образом, мы получили, что $y_{1, \max} = \log_2 3$ и $y_{2, \max} = \log_2 3$. Так как $y_{1, \max} = y_{2, \max}$, наибольшие значения данных функций равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Наибольшее значение функции $y = (\log_2 3)^{\sin x}$ равно $\log_2 3$. Наибольшее значение функции $y = (\log_3 2)^{\cos x}$ равно $(\log_3 2)^{-1} = \log_2 3$. Поскольку наибольшие значения обеих функций равны $\log_2 3$, утверждение доказано.

128. Найдите значение аргумента $x_0$, если:

a) $f (x) = \frac{1}{\sqrt{4x+1}} - \sqrt{1-x^2}, f (x_0) = 0;$

б) $f (x) = \lg (x + 15) + \lg x, f (x_0) = 2.$

a) Чтобы найти значение аргумента $x_0$, нужно решить уравнение $f(x_0) = 0$.
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{4x+1}} - \sqrt{1-x^2}$
$f(x_0) = \frac{1}{\sqrt{4x_0+1}} - \sqrt{1-x_0^2} = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.
Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля, а выражение под вторым корнем — больше или равно нулю:
$\begin{cases} 4x+1 > 0 \\ 1-x^2 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x > -1 \\ x^2 \le 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -1/4 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$
Пересечением этих условий является интервал $x \in (-1/4, 1]$. Любое решение $x_0$ должно принадлежать этому интервалу.

Теперь решим уравнение:
$\frac{1}{\sqrt{4x_0+1}} = \sqrt{1-x_0^2}$
Так как обе части уравнения неотрицательны в ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат:
$(\frac{1}{\sqrt{4x_0+1}})^2 = (\sqrt{1-x_0^2})^2$
$\frac{1}{4x_0+1} = 1-x_0^2$
$1 = (1-x_0^2)(4x_0+1)$
$1 = 4x_0 + 1 - 4x_0^3 - x_0^2$
$4x_0^3 + x_0^2 - 4x_0 = 0$
Вынесем общий множитель $x_0$ за скобки:
$x_0(4x_0^2 + x_0 - 4) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $x_0 = 0$.
2) $4x_0^2 + x_0 - 4 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 1 + 64 = 65$
$x_0 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{8}$
Получаем еще два корня: $x_{0_1} = \frac{-1 - \sqrt{65}}{8}$ и $x_{0_2} = \frac{-1 + \sqrt{65}}{8}$.

Теперь проверим все три найденных корня на принадлежность ОДЗ $x \in (-1/4, 1]$:
- $x_0 = 0$. Этот корень входит в ОДЗ, так как $-1/4 < 0 \le 1$.
- $x_0 = \frac{-1 - \sqrt{65}}{8}$. Так как $\sqrt{65} \approx 8.06$, то $x_0 \approx \frac{-1 - 8.06}{8} \approx -1.13$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $-1.13 < -1/4$.
- $x_0 = \frac{-1 + \sqrt{65}}{8}$. Так как $\sqrt{65} \approx 8.06$, то $x_0 \approx \frac{-1 + 8.06}{8} \approx \frac{7.06}{8} \approx 0.88$. Этот корень входит в ОДЗ, так как $-1/4 < 0.88 \le 1$.

Таким образом, уравнение имеет два решения.
Ответ: $x_0 = 0$, $x_0 = \frac{-1 + \sqrt{65}}{8}$.

б) Чтобы найти значение аргумента $x_0$, нужно решить уравнение $f(x_0) = 2$.
$f(x) = \lg(x+15) + \lg x$
$f(x_0) = \lg(x_0+15) + \lg x_0 = 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x+15 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -15 \\ x > 0 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 0$. Любое решение $x_0$ должно быть больше нуля.

Теперь решим уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\lg((x_0+15)x_0) = 2$
По определению десятичного логарифма ($lg = \log_{10}$):
$(x_0+15)x_0 = 10^2$
$x_0^2 + 15x_0 = 100$
$x_0^2 + 15x_0 - 100 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -100, а сумма равна -15. Это числа -20 и 5.
Таким образом, корни уравнения: $x_{0_1} = 5$ и $x_{0_2} = -20$.
Можно также найти корни через дискриминант:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625 = 25^2$
$x_0 = \frac{-15 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{-15 \pm 25}{2}$
$x_{0_1} = \frac{-15+25}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_{0_2} = \frac{-15-25}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x>0$):
- $x_0 = 5$. Этот корень удовлетворяет условию $5 > 0$.
- $x_0 = -20$. Этот корень не удовлетворяет условию $-20 > 0$, поэтому является посторонним.

Следовательно, решением является только $x_0 = 5$.
Ответ: $x_0=5$.

129. Докажите, что:

а) функция $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x+1}$ убывает на множестве $\mathbf{R}$;

б) функция $f(x) = \log_2 3x$ возрастает на промежутке $(0; \infty)$.

а) функция $f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x+1}$ убывает на множестве R;

Для доказательства того, что функция $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x+1}$ убывает на множестве действительных чисел $R$, воспользуемся определением убывающей функции. Функция называется убывающей на некотором множестве, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Выберем два произвольных действительных числа $x_1$ и $x_2$ так, чтобы $x_1 < x_2$.

Прибавим к обеим частям неравенства 1: $x_1 + 1 < x_2 + 1$.

Данная функция $f(x)$ является показательной функцией вида $y = a^t$, где основание $a = \frac{1}{3}$ и показатель степени $t = x+1$.

Поскольку основание степени $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

Так как $x_1 + 1 < x_2 + 1$, то для убывающей функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^t$ будет верно: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x_1+1} > \left(\frac{1}{3}\right)^{x_2+1}$.

Это неравенство можно переписать как $f(x_1) > f(x_2)$.

Таким образом, для любых $x_1, x_2 \in R$ из условия $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$. Это доказывает, что функция $f(x)$ убывает на всем множестве действительных чисел $R$.

Ответ: Доказано.

б) функция $f(x) = \log_2 3x$ возрастает на промежутке $(0; \infty)$.

Для доказательства того, что функция $f(x) = \log_2 3x$ возрастает на промежутке $(0; \infty)$, воспользуемся определением возрастающей функции. Функция называется возрастающей на некотором множестве, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Область определения данной функции задается условием $3x > 0$, откуда $x > 0$, что совпадает с заданным промежутком $(0; \infty)$.

Выберем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(0; \infty)$ так, чтобы $0 < x_1 < x_2$.

Умножим неравенство на 3 (положительное число), при этом знак неравенства не изменится: $3x_1 < 3x_2$.

Данная функция $f(x)$ является логарифмической функцией вида $y = \log_a t$, где основание $a = 2$ и выражение под логарифмом $t = 3x$.

Поскольку основание логарифма $a = 2$ больше 1 ($a > 1$), логарифмическая функция с таким основанием является возрастающей. Это означает, что большему значению выражения под знаком логарифма соответствует большее значение функции.

Так как $3x_1 < 3x_2$, то для возрастающей функции $y = \log_2 t$ будет верно: $\log_2 3x_1 < \log_2 3x_2$.

Это неравенство можно переписать как $f(x_1) < f(x_2)$.

Таким образом, для любых $x_1, x_2 \in (0; \infty)$ из условия $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$. Это доказывает, что функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(0; \infty)$.

Ответ: Доказано.

Решите уравнения (130, 131).

130. a) $3(x-2)-5=4-(5x-1)$;

б) $|2x-3|=5$;

в) $7-2(3-x)=4(x-1)+5$;

г) $|4-3x|=2$.

а) $3(x - 2) - 5 = 4 - (5x - 1)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части умножим 3 на каждый член в скобках. В правой части изменим знаки у членов в скобках, так как перед скобкой стоит знак минус.

$3 \cdot x - 3 \cdot 2 - 5 = 4 - 5x + 1$

$3x - 6 - 5 = 4 - 5x + 1$

Теперь упростим каждую часть уравнения, выполнив арифметические действия с константами.

$3x - 11 = 5 - 5x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а все числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$3x + 5x = 5 + 11$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях.

$8x = 16$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 8.

$x = \frac{16}{8}$

$x = 2$

Ответ: $x=2$

б) $|2x - 3| = 5$

Уравнение с модулем $|A| = b$ (где $b \geq 0$) равносильно двум уравнениям: $A = b$ и $A = -b$. В нашем случае $A = 2x - 3$ и $b = 5$.

Таким образом, мы должны решить два уравнения:

1) $2x - 3 = 5$

2) $2x - 3 = -5$

Решим первое уравнение:

$2x = 5 + 3$

$2x = 8$

$x_1 = \frac{8}{2}$

$x_1 = 4$

Решим второе уравнение:

$2x = -5 + 3$

$2x = -2$

$x_2 = \frac{-2}{2}$

$x_2 = -1$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$

в) $7 - 2(3 - x) = 4(x - 1) + 5$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

$7 - (2 \cdot 3 - 2 \cdot x) = (4 \cdot x - 4 \cdot 1) + 5$

$7 - 6 + 2x = 4x - 4 + 5$

Упростим каждую часть уравнения.

$1 + 2x = 4x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую. Удобнее перенести $2x$ вправо, а 1 влево.

$1 - 1 = 4x - 2x$

Приведем подобные слагаемые.

$0 = 2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2.

$x = \frac{0}{2}$

$x = 0$

Ответ: $x=0$

г) $|4 - 3x| = 2$

Это уравнение с модулем, аналогичное пункту б). Оно распадается на два отдельных уравнения.

1) $4 - 3x = 2$

2) $4 - 3x = -2$

Решим первое уравнение:

Перенесем 4 в правую часть.

$-3x = 2 - 4$

$-3x = -2$

Разделим обе части на -3.

$x_1 = \frac{-2}{-3}$

$x_1 = \frac{2}{3}$

Решим второе уравнение:

Перенесем 4 в правую часть.

$-3x = -2 - 4$

$-3x = -6$

Разделим обе части на -3.

$x_2 = \frac{-6}{-3}$

$x_2 = 2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{2}{3}$

131. а) $\frac{3x+1}{5} = 2 - \frac{4(x-3)}{15};$

б) $\left|\frac{x-3}{2} + 5\right| = 4;$

в) $1 - \frac{x-3}{2} = x - \frac{3(5-2x)}{7};$

г) $\left|1 - \frac{x+2}{3}\right| = 5.$

а) Решим уравнение $\frac{3x+1}{5} = 2 - \frac{4(x-3)}{15}$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 15, то есть на 15:

$15 \cdot \frac{3x+1}{5} = 15 \cdot 2 - 15 \cdot \frac{4(x-3)}{15}$

$3(3x+1) = 30 - 4(x-3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$9x + 3 = 30 - 4x + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$9x + 3 = 42 - 4x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую, меняя знаки на противоположные:

$9x + 4x = 42 - 3$

$13x = 39$

Разделим обе части на 13, чтобы найти $x$:

$x = \frac{39}{13}$

$x = 3$

Ответ: $3$

б) Решим уравнение $|\frac{x-3}{2} + 5| = 4$.

Сначала упростим выражение под знаком модуля, приведя слагаемые к общему знаменателю:

$|\frac{x-3}{2} + \frac{10}{2}| = 4$

$|\frac{x-3+10}{2}| = 4$

$|\frac{x+7}{2}| = 4$

Уравнение с модулем вида $|A|=B$ (где $B \ge 0$) распадается на два уравнения: $A=B$ и $A=-B$.

Рассмотрим два случая:

1) $\frac{x+7}{2} = 4$

Умножим обе части на 2:

$x+7 = 8$

$x = 8-7$

$x_1 = 1$

2) $\frac{x+7}{2} = -4$

Умножим обе части на 2:

$x+7 = -8$

$x = -8-7$

$x_2 = -15$

Ответ: $-15; 1$

в) Решим уравнение $1 - \frac{x-3}{2} = x - \frac{3(5-2x)}{7}$.

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 7, то есть на 14:

$14 \cdot 1 - 14 \cdot \frac{x-3}{2} = 14 \cdot x - 14 \cdot \frac{3(5-2x)}{7}$

$14 - 7(x-3) = 14x - 2 \cdot 3(5-2x)$

Раскроем скобки:

$14 - 7x + 21 = 14x - 6(5-2x)$

$14 - 7x + 21 = 14x - 30 + 12x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$35 - 7x = 26x - 30$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные слагаемые — в левую:

$35 + 30 = 26x + 7x$

$65 = 33x$

Найдем $x$:

$x = \frac{65}{33}$

Ответ: $\frac{65}{33}$

г) Решим уравнение $|1 - \frac{x+2}{3}| = 5$.

Упростим выражение под знаком модуля:

$|\frac{3}{3} - \frac{x+2}{3}| = 5$

$|\frac{3 - (x+2)}{3}| = 5$

$|\frac{3 - x - 2}{3}| = 5$

$|\frac{1 - x}{3}| = 5$

Уравнение распадается на два случая:

1) $\frac{1-x}{3} = 5$

Умножим обе части на 3:

$1-x = 15$

$-x = 15 - 1$

$-x = 14$

$x_1 = -14$

2) $\frac{1-x}{3} = -5$

Умножим обе части на 3:

$1-x = -15$

$-x = -15 - 1$

$-x = -16$

$x_2 = 16$

Ответ: $-14; 16$

132. При каких значениях a данное уравнение:

а) $ax - 2x = 3 (x - 1);$

б) $a (1 - x) + 2 = 3x - ax;$

в) $x (2 - a) - x = 5 + x;$

г) $5 + 3 (x + 3a) = 9a + 5;$

имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений?

Для решения задачи каждое уравнение необходимо привести к линейному виду $kx = b$, где $k$ и $b$ могут зависеть от параметра $a$. Анализ количества решений проводится следующим образом:

• Если коэффициент $k \neq 0$, уравнение имеет единственное решение $x = b/k$.
• Если $k = 0$ и $b \neq 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$ (где $b \neq 0$), что невозможно, следовательно, решений нет.
• Если $k = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого значения $x$, следовательно, уравнение имеет бесконечное множество решений.

Преобразуем уравнение, раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части:

$ax - 2x = 3x - 3$

$ax - 2x - 3x = -3$

$x(a - 5) = -3$

Это уравнение вида $kx = b$, где $k = a - 5$ и $b = -3$.

1. Единственное решение существует, когда $k \neq 0$, то есть $a - 5 \neq 0$, откуда $a \neq 5$.

2. Нет решений, когда $k = 0$ и $b \neq 0$. Условие $k = a - 5 = 0$ выполняется при $a = 5$. При этом $b = -3 \neq 0$. Таким образом, при $a = 5$ уравнение не имеет решений.

3. Бесконечное множество решений существует, когда $k = 0$ и $b = 0$. Условие $k=0$ дает $a=5$, но при этом $b = -3 \neq 0$. Следовательно, нет таких значений $a$, при которых уравнение имело бы бесконечное множество решений.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при $a \neq 5$; не имеет решений при $a = 5$; не существует значений $a$, при которых уравнение имеет бесконечное множество решений.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a - ax + 2 = 3x - ax$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$-ax + ax - 3x = -a - 2$

$-3x = -a - 2$

$3x = a + 2$

Это уравнение вида $kx = b$, где $k = 3$ и $b = a + 2$.

1. Единственное решение: $k \neq 0$. Так как $k = 3$ и $3 \neq 0$ всегда, уравнение имеет единственное решение при любом значении $a$.

2. Нет решений: $k = 0$. Так как $k=3$, это условие никогда не выполняется.

3. Бесконечное множество решений: $k = 0$. Это условие также никогда не выполняется.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при любом значении $a$; не существует значений $a$, при которых уравнение не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $x$:

$2x - ax - x = 5 + x$

$x - ax = 5 + x$

$x - ax - x = 5$

$-ax = 5$

Это уравнение вида $kx = b$, где $k = -a$ и $b = 5$.

1. Единственное решение существует, когда $k \neq 0$, то есть $-a \neq 0$, откуда $a \neq 0$.

2. Нет решений, когда $k = 0$ и $b \neq 0$. Условие $k = -a = 0$ выполняется при $a = 0$. При этом $b = 5 \neq 0$. Таким образом, при $a = 0$ уравнение не имеет решений.

3. Бесконечное множество решений существует, когда $k = 0$ и $b = 0$. Условие $k=0$ дает $a=0$, но при этом $b = 5 \neq 0$. Следовательно, таких значений $a$ не существует.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при $a \neq 0$; не имеет решений при $a = 0$; не существует значений $a$, при которых уравнение имеет бесконечное множество решений.

Примечание: условие в задачнике, по-видимому, содержит опечатку или является неполным. Наиболее вероятный вариант, позволяющий исследовать все случаи, — это уравнение вида $5 + 3(x + 3a) = 9a + 5 - ax$. Решим его.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$5 + 3x + 9a = 9a + 5 - ax$

Перенесем все слагаемые с $x$ влево, а остальные вправо:

$3x + ax = 9a + 5 - 5 - 9a$

$x(3 + a) = 0$

Это уравнение вида $kx = b$, где $k = 3 + a$ и $b = 0$.

1. Единственное решение существует, когда $k \neq 0$, то есть $3 + a \neq 0$, откуда $a \neq -3$. В этом случае решение $x = 0/(3+a) = 0$.

2. Нет решений, когда $k = 0$ и $b \neq 0$. Условие $k = 3 + a = 0$ дает $a = -3$. Но при этом $b = 0$, поэтому условие $b \neq 0$ не выполняется. Следовательно, нет таких значений $a$, при которых уравнение не имеет решений.

3. Бесконечное множество решений существует, когда $k = 0$ и $b = 0$. Условие $k = 3 + a = 0$ дает $a = -3$. При этом $b = 0$, что всегда верно. Таким образом, при $a = -3$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$ и имеет бесконечное множество решений.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при $a \neq -3$; имеет бесконечное множество решений при $a = -3$; не существует значений $a$, при которых уравнение не имеет решений.

Решите неравенства (133–135).

133. а) $\frac{x-1}{2} + x < 1.5x + 3.5;$

б) $\frac{5x-2}{3} - \frac{3-x}{2} > 1;$

в) $x - 4 (3 - x) \geq 2x + 7;$

г) $3 + \frac{2-3x}{4} \leq 2x.$

а) $\frac{x-1}{2} + x < 1,5x + 3,5$

Чтобы избавиться от дроби и десятичных чисел, умножим обе части неравенства на 2:

$2 \cdot (\frac{x-1}{2} + x) < 2 \cdot (1,5x + 3,5)$

$(x-1) + 2x < 3x + 7$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x - 1 < 3x + 7$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x - 3x < 7 + 1$

$0 \cdot x < 8$

$0 < 8$

Полученное неравенство является верным числовым неравенством и не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $\frac{5x-2}{3} - \frac{3-x}{2} > 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6. Для этого умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (\frac{5x-2}{3}) - 6 \cdot (\frac{3-x}{2}) > 6 \cdot 1$

$2(5x-2) - 3(3-x) > 6$

Раскроем скобки:

$10x - 4 - 9 + 3x > 6$

Приведем подобные слагаемые:

$13x - 13 > 6$

Перенесем свободный член в правую часть:

$13x > 6 + 13$

$13x > 19$

Разделим обе части на 13 (знак неравенства не меняется):

$x > \frac{19}{13}$

Ответ: $x \in (\frac{19}{13}; +\infty)$.

в) $x - 4(3-x) \ge 2x + 7$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$x - 12 + 4x \ge 2x + 7$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x - 12 \ge 2x + 7$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5x - 2x \ge 7 + 12$

$3x \ge 19$

Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется):

$x \ge \frac{19}{3}$

Ответ: $x \in [\frac{19}{3}; +\infty)$.

г) $3 + \frac{2-3x}{4} \le 2x$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4 \cdot 3 + 4 \cdot \frac{2-3x}{4} \le 4 \cdot 2x$

$12 + (2-3x) \le 8x$

$14 - 3x \le 8x$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены оставим слева:

$14 \le 8x + 3x$

$14 \le 11x$

Разделим обе части на 11 (знак неравенства не меняется) и запишем результат в стандартном виде:

$x \ge \frac{14}{11}$

Ответ: $x \in [\frac{14}{11}; +\infty)$.