Страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

134. a) $\left|4x - 3\right| < 5;$

b) $\frac{\left|x-7\right|}{3} \le 2;$

б) $\left|2x + 5\right| \ge 1;$

г) $4 \left|2 - x\right| \le 12.$

а) Дано неравенство $|4x - 3| < 5$.
Это неравенство вида $|A| < B$, где $B>0$. Оно равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
Применяя это правило к нашему случаю, получаем:
$-5 < 4x - 3 < 5$
Чтобы найти $x$, сначала прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-5 + 3 < 4x - 3 + 3 < 5 + 3$
$-2 < 4x < 8$
Теперь разделим все части неравенства на 4:
$\frac{-2}{4} < \frac{4x}{4} < \frac{8}{4}$
$-\frac{1}{2} < x < 2$
Таким образом, решение представляет собой интервал.
Ответ: $x \in (-0.5; 2)$.

б) Дано неравенство $|2x + 5| \ge 1$.
Это неравенство вида $|A| \ge B$, где $B \ge 0$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $A \ge B$ или $A \le -B$.
Рассмотрим каждый случай отдельно:
1) $2x + 5 \ge 1$
$2x \ge 1 - 5$
$2x \ge -4$
$x \ge -2$

2) $2x + 5 \le -1$
$2x \le -1 - 5$
$2x \le -6$
$x \le -3$
Решением является объединение полученных множеств: $x$ меньше или равен -3, или $x$ больше или равен -2.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [-2; +\infty)$.

в) Дано неравенство $\frac{|x - 7|}{3} \le 2$.
Умножим обе части неравенства на 3, чтобы выделить модуль. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не изменится.
$|x - 7| \le 6$
Это неравенство вида $|A| \le B$, где $B \ge 0$, которое равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.
Запишем соответствующее двойное неравенство:
$-6 \le x - 7 \le 6$
Прибавим 7 ко всем частям неравенства, чтобы найти $x$:
$-6 + 7 \le x - 7 + 7 \le 6 + 7$
$1 \le x \le 13$
Решением является числовой отрезок.
Ответ: $x \in [1; 13]$.

г) Дано неравенство $4|2 - x| \le 12$.
Разделим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется.
$|2 - x| \le 3$
Воспользуемся свойством модуля $|a| = |-a|$, из которого следует, что $|2 - x| = |-(x - 2)| = |x - 2|$. Неравенство можно переписать в виде:
$|x - 2| \le 3$
Это неравенство вида $|A| \le B$, которое равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.
$-3 \le x - 2 \le 3$
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-3 + 2 \le x - 2 + 2 \le 3 + 2$
$-1 \le x \le 5$
Решением является числовой отрезок.
Ответ: $x \in [-1; 5]$.

135. a) $\frac{|2x-3|}{x} > 0;$

б) $\frac{x+2}{|x+4|} \le 0;$

в) $(x-4)|5-3x| < 0;$

г) $|2x+7|(3-x) \le 0.$

а)

Рассмотрим неравенство $\frac{|2x-3|}{x} > 0$.

Выражение в числителе $|2x-3|$ является модулем, поэтому оно всегда неотрицательно: $|2x-3| \ge 0$. Дробь будет строго положительной, если ее числитель и знаменатель одного знака. Поскольку числитель не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, а значит, и знаменатель должен быть строго положительным.

Таким образом, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} |2x-3| > 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $|2x-3| > 0$ выполняется для всех $x$, кроме случая $2x-3=0$, то есть $x=1.5$. Значит, $x \ne 1.5$.

Второе неравенство: $x > 0$.

Объединяя оба условия ($x > 0$ и $x \ne 1.5$), получаем искомое множество решений. Это все числа больше нуля, за исключением $1.5$.

Ответ: $x \in (0; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$

б)

Рассмотрим неравенство $\frac{x+2}{|x+4|} \le 0$.

Выражение в знаменателе $|x+4|$ является модулем, поэтому оно всегда неотрицательно. Кроме того, знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $|x+4| \ne 0$, что означает $x+4 \ne 0$, или $x \ne -4$.

При $x \ne -4$ знаменатель $|x+4|$ всегда строго положителен. Знак дроби в этом случае определяется знаком числителя $x+2$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x+2 \le 0 \\ x \ne -4 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \le -2$.

Учитывая второе условие, мы должны исключить точку $x=-4$ из промежутка $(-\infty; -2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -2]$

в)

Рассмотрим неравенство $(x-4)|5-3x| < 0$.

Множитель $|5-3x|$ всегда неотрицателен: $|5-3x| \ge 0$. Чтобы произведение было строго отрицательным, множители должны иметь разные знаки. Поскольку $|5-3x|$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, а множитель $(x-4)$ — строго отрицательным.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} |5-3x| > 0 \\ x-4 < 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $|5-3x| > 0$ выполняется всегда, кроме случая $5-3x=0$, то есть $x = \frac{5}{3}$. Следовательно, $x \ne \frac{5}{3}$.

2. $x-4 < 0$ выполняется при $x < 4$.

Объединяя решения, получаем $x < 4$ и $x \ne \frac{5}{3}$. Так как точка $\frac{5}{3}$ лежит внутри интервала $(-\infty; 4)$, ее необходимо исключить.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}; 4)$

г)

Рассмотрим неравенство $|2x+7|(3-x) \le 0$.

Множитель $|2x+7|$ всегда неотрицателен: $|2x+7| \ge 0$. Неравенство является нестрогим, поэтому его решение включает случаи, когда произведение равно нулю или отрицательно.

1. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$|2x+7| = 0 \implies 2x+7=0 \implies x = -3.5$.

$3-x = 0 \implies x = 3$.

Таким образом, $x=-3.5$ и $x=3$ являются решениями.

2. Произведение отрицательно. Поскольку $|2x+7|$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, а второй множитель $(3-x)$ — отрицательным.

$\begin{cases} |2x+7| > 0 \\ 3-x < 0 \end{cases}$

Первое неравенство $|2x+7|>0$ выполняется при $x \ne -3.5$.

Второе неравенство $3-x<0$ выполняется при $x > 3$.

Решением этой системы является интервал $(3; +\infty)$.

Объединяем все найденные решения: точка $x=-3.5$, точка $x=3$ и интервал $(3; +\infty)$. Объединение точки $x=3$ и интервала $(3; +\infty)$ дает луч $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in \{-3.5\} \cup [3; +\infty)$

136. Решите уравнение:

a) $x^2 + 2x - 15 = 0$;

б) $7x^2 + 5x = 0$;

в) $(x - 3) (x - 2) = 6 (x - 3)$;

г) $x^2 - \frac{11x}{6} + \frac{1}{2} = 0$.

а) $x^2 + 2x - 15 = 0$
Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Решим его с помощью дискриминанта.
Коэффициенты: $a = 1, b = 2, c = -15$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -5$.

б) $7x^2 + 5x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(7x + 5) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x = 0$.
2) $7x + 5 = 0$.
$7x = -5$.
$x = -\frac{5}{7}$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -\frac{5}{7}$.

в) $(x - 3)(x - 2) = 6(x - 3)$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$(x - 3)(x - 2) - 6(x - 3) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:
$(x - 3)((x - 2) - 6) = 0$.
$(x - 3)(x - 8) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
2) $x - 8 = 0 \implies x = 8$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 8$.

г) $x^2 - \frac{11x}{6} + \frac{1}{2} = 0$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6:
$6 \cdot x^2 - 6 \cdot \frac{11x}{6} + 6 \cdot \frac{1}{2} = 6 \cdot 0$.
$6x^2 - 11x + 3 = 0$.
Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
Коэффициенты: $a = 6, b = -11, c = 3$.
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 - 72 = 49$.
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-11) + 7}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 7}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.
$x_2 = \frac{-(-11) - 7}{2 \cdot 6} = \frac{11 - 7}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = \frac{1}{3}$.

137. При каком значении a имеют общий корень уравнения:

а) $x^2 - ax = 0$ и $x^2 - x - 3a = 0$;

б) $x^2 - (a - 1) x = 3$ и $4x^2 - (4a + 3) x + 9 = 0$;

в) $x^2 + ax + 8 = 0$ и $x^2 + x + a = 0$;

г) $2x^2 + (3a - 1) x = 3$ и $6x^2 - (2a - 3) x = 1$?

Для того чтобы два уравнения имели общий корень, необходимо, чтобы существовало такое число $x_0$, которое является решением обоих уравнений. Мы можем найти это значение $x_0$ и параметр $a$, решив систему уравнений.

а) $x^2 - ax = 0$ и $x^2 - x - 3a = 0$

Решим первое уравнение:
$x^2 - ax = 0$
$x(x - a) = 0$
Корни первого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = a$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: Общий корень равен $0$.
Подставим $x=0$ во второе уравнение:
$0^2 - 0 - 3a = 0$
$-3a = 0$
$a = 0$
При $a=0$ уравнения принимают вид $x^2=0$ (корень $x=0$) и $x^2-x=0$ (корни $x=0, x=1$). У них есть общий корень $x=0$. Следовательно, $a=0$ является решением.

Случай 2: Общий корень равен $a$.
Подставим $x=a$ во второе уравнение:
$a^2 - a - 3a = 0$
$a^2 - 4a = 0$
$a(a - 4) = 0$
Отсюда $a=0$ (этот случай мы уже рассмотрели) или $a=4$.
Проверим $a=4$. Первое уравнение: $x^2 - 4x = 0$, корни $x=0, x=4$. Второе уравнение: $x^2 - x - 3(4) = 0 \Rightarrow x^2 - x - 12 = 0$. Корни этого уравнения $(x-4)(x+3)=0$, то есть $x=4$ и $x=-3$. Общий корень $x=4$. Следовательно, $a=4$ также является решением.

Ответ: $a=0$ или $a=4$.

б) $x^2 - (a - 1)x - 3 = 0$ и $4x^2 - (4a + 3)x + 9 = 0$

Пусть $x_0$ — общий корень. Тогда верна система:
$\begin{cases} x_0^2 - (a - 1)x_0 - 3 = 0 \\ 4x_0^2 - (4a + 3)x_0 + 9 = 0 \end{cases}$
Умножим первое уравнение на 4, чтобы приравнять коэффициенты при $x_0^2$:
$4x_0^2 - 4(a - 1)x_0 - 12 = 0$
$4x_0^2 - (4a - 4)x_0 - 12 = 0$
Вычтем это уравнение из второго уравнения системы:
$(4x_0^2 - (4a + 3)x_0 + 9) - (4x_0^2 - (4a - 4)x_0 - 12) = 0$
$-(4a + 3)x_0 + (4a - 4)x_0 + 9 + 12 = 0$
$(-4a - 3 + 4a - 4)x_0 + 21 = 0$
$-7x_0 + 21 = 0$
$7x_0 = 21 \Rightarrow x_0 = 3$
Таким образом, общий корень равен 3. Подставим это значение в первое исходное уравнение, чтобы найти $a$:
$3^2 - (a - 1) \cdot 3 - 3 = 0$
$9 - 3a + 3 - 3 = 0$
$9 - 3a = 0$
$3a = 9 \Rightarrow a = 3$

Ответ: $a=3$.

в) $x^2 + ax + 8 = 0$ и $x^2 + x + a = 0$

Пусть $x_0$ — общий корень. Тогда:
$\begin{cases} x_0^2 + ax_0 + 8 = 0 \\ x_0^2 + x_0 + a = 0 \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(x_0^2 + ax_0 + 8) - (x_0^2 + x_0 + a) = 0$
$ax_0 - x_0 + 8 - a = 0$
$x_0(a - 1) = a - 8$
Если $a=1$, то получаем $0 = -7$, что неверно. Значит, $a \neq 1$.
Выразим $x_0$: $x_0 = \frac{a - 8}{a - 1}$.
Подставим это выражение во второе исходное уравнение:
$(\frac{a - 8}{a - 1})^2 + \frac{a - 8}{a - 1} + a = 0$
Умножим обе части на $(a-1)^2 \neq 0$:
$(a - 8)^2 + (a - 8)(a - 1) + a(a - 1)^2 = 0$
$(a^2 - 16a + 64) + (a^2 - 9a + 8) + a(a^2 - 2a + 1) = 0$
$a^2 - 16a + 64 + a^2 - 9a + 8 + a^3 - 2a^2 + a = 0$
$a^3 - 24a + 72 = 0$
Подбором находим, что $a = -6$ является корнем: $(-6)^3 - 24(-6) + 72 = -216 + 144 + 72 = 0$.
Разделим многочлен $a^3 - 24a + 72$ на $(a+6)$:
$(a^3 - 24a + 72) \div (a+6) = a^2 - 6a + 12$.
Получаем уравнение $(a+6)(a^2 - 6a + 12) = 0$.
Квадратное уравнение $a^2 - 6a + 12 = 0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 - 48 = -12 < 0$.
Следовательно, единственное решение — $a = -6$.

Ответ: $a=-6$.

г) $2x^2 + (3a - 1)x - 3 = 0$ и $6x^2 - (2a - 3)x - 1 = 0$

Пусть $x_0$ — общий корень.
$\begin{cases} 2x_0^2 + (3a - 1)x_0 - 3 = 0 \\ 6x_0^2 - (2a - 3)x_0 - 1 = 0 \end{cases}$
Умножим первое уравнение на 3:
$6x_0^2 + 3(3a - 1)x_0 - 9 = 0 \Rightarrow 6x_0^2 + (9a - 3)x_0 - 9 = 0$
Вычтем из него второе уравнение системы:
$(6x_0^2 + (9a - 3)x_0 - 9) - (6x_0^2 - (2a - 3)x_0 - 1) = 0$
$(9a - 3 + 2a - 3)x_0 - 9 + 1 = 0$
$(11a - 6)x_0 - 8 = 0$
Если $11a-6=0$, то $-8=0$, что невозможно. Значит, $11a-6 \neq 0$ и $x_0 = \frac{8}{11a - 6}$.
Подставим это выражение в первое исходное уравнение:
$2(\frac{8}{11a - 6})^2 + (3a - 1)(\frac{8}{11a - 6}) - 3 = 0$
Умножим обе части на $(11a-6)^2 \neq 0$:
$2 \cdot 8^2 + 8(3a - 1)(11a - 6) - 3(11a - 6)^2 = 0$
$128 + 8(33a^2 - 18a - 11a + 6) - 3(121a^2 - 132a + 36) = 0$
$128 + 8(33a^2 - 29a + 6) - 363a^2 + 396a - 108 = 0$
$128 + 264a^2 - 232a + 48 - 363a^2 + 396a - 108 = 0$
$-99a^2 + 164a + 68 = 0$
$99a^2 - 164a - 68 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $a$:
$D = (-164)^2 - 4(99)(-68) = 26896 + 26928 = 53824 = 232^2$
$a = \frac{164 \pm 232}{2 \cdot 99} = \frac{164 \pm 232}{198}$
$a_1 = \frac{164 + 232}{198} = \frac{396}{198} = 2$
$a_2 = \frac{164 - 232}{198} = \frac{-68}{198} = -\frac{34}{99}$

Ответ: $a=2$ или $a=-\frac{34}{99}$.

138. Найдите значения k, при которых имеет один корень уравнение:

a) $(k - 1) x^2 + (k + 4) x + k + 7 = 0;$

б) $9x^2 - 2x + k = 6 - kx;$

в) $(2k - 5) x^2 - 2 (k - 1) x + 3 = 0;$

г) $3kx^2 - 6x + k - 2 = 0.$

Для того чтобы уравнение имело один корень, необходимо рассмотреть два случая:

1. Уравнение является линейным, то есть коэффициент при $x^2$ равен нулю, и при этом коэффициент при $x$ не равен нулю.
2. Уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ не равен нулю), и его дискриминант равен нулю.

a) $(k - 1) x^2 + (k + 4) x + k + 7 = 0$

Случай 1: Уравнение становится линейным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю:
$k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1$.
Подставим $k = 1$ в исходное уравнение:
$(1 - 1) x^2 + (1 + 4) x + 1 + 7 = 0$
$5x + 8 = 0$
$5x = -8 \Rightarrow x = -1.6$.
Уравнение имеет один корень, значит, $k=1$ является решением.

Случай 2: Уравнение является квадратным и его дискриминант $D=0$.
Это происходит при $k - 1 \neq 0$, то есть $k \neq 1$.
Коэффициенты уравнения: $a = k - 1$, $b = k + 4$, $c = k + 7$.
$D = b^2 - 4ac = (k + 4)^2 - 4(k - 1)(k + 7) = 0$.
$(k^2 + 8k + 16) - 4(k^2 + 7k - k - 7) = 0$
$k^2 + 8k + 16 - 4(k^2 + 6k - 7) = 0$
$k^2 + 8k + 16 - 4k^2 - 24k + 28 = 0$
$-3k^2 - 16k + 44 = 0$
$3k^2 + 16k - 44 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $k$:
$D_k = 16^2 - 4(3)(-44) = 256 + 528 = 784 = 28^2$.
$k_1 = \frac{-16 - 28}{2 \cdot 3} = \frac{-44}{6} = -\frac{22}{3}$.
$k_2 = \frac{-16 + 28}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.
Оба значения удовлетворяют условию $k \neq 1$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем значения $k$.
Ответ: $k \in \{-\frac{22}{3}, 1, 2\}$.

б) $9x^2 - 2x + k = 6 - kx$

Сначала приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$9x^2 - 2x + kx + k - 6 = 0$
$9x^2 + (k - 2)x + (k - 6) = 0$.
Коэффициент при $x^2$ равен $a=9$. Так как $a \neq 0$, уравнение всегда является квадратным. Следовательно, оно будет иметь один корень только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
Коэффициенты: $a = 9$, $b = k - 2$, $c = k - 6$.
$D = b^2 - 4ac = (k - 2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (k - 6) = 0$.
$(k^2 - 4k + 4) - 36(k - 6) = 0$
$k^2 - 4k + 4 - 36k + 216 = 0$
$k^2 - 40k + 220 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $k$:
$D_k = (-40)^2 - 4(1)(220) = 1600 - 880 = 720$.
$\sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$.
$k = \frac{40 \pm 12\sqrt{5}}{2} = 20 \pm 6\sqrt{5}$.
Ответ: $k = 20 \pm 6\sqrt{5}$.

в) $(2k - 5) x^2 - 2(k - 1) x + 3 = 0$

Случай 1: Уравнение становится линейным.
$2k - 5 = 0 \Rightarrow k = 2.5$.
Подставим $k = 2.5$ в уравнение:
$(2 \cdot 2.5 - 5) x^2 - 2(2.5 - 1) x + 3 = 0$
$0 \cdot x^2 - 2(1.5)x + 3 = 0$
$-3x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1$.
Уравнение имеет один корень, значит, $k=2.5$ является решением.

Случай 2: Уравнение является квадратным и $D=0$.
Это происходит при $2k - 5 \neq 0$, то есть $k \neq 2.5$.
Коэффициенты: $a = 2k - 5$, $b = -2(k - 1)$, $c = 3$.
Используем формулу для четверти дискриминанта $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac = 0$.
$D_1 = (-(k - 1))^2 - (2k - 5) \cdot 3 = 0$.
$(k - 1)^2 - 6k + 15 = 0$
$k^2 - 2k + 1 - 6k + 15 = 0$
$k^2 - 8k + 16 = 0$
$(k - 4)^2 = 0 \Rightarrow k = 4$.
Это значение удовлетворяет условию $k \neq 2.5$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем значения $k$.
Ответ: $k \in \{2.5, 4\}$.

г) $3kx^2 - 6x + k - 2 = 0$

Случай 1: Уравнение становится линейным.
$3k = 0 \Rightarrow k = 0$.
Подставим $k = 0$ в уравнение:
$3 \cdot 0 \cdot x^2 - 6x + 0 - 2 = 0$
$-6x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1/3$.
Уравнение имеет один корень, значит, $k=0$ является решением.

Случай 2: Уравнение является квадратным и $D=0$.
Это происходит при $3k \neq 0$, то есть $k \neq 0$.
Коэффициенты: $a = 3k$, $b = -6$, $c = k - 2$.
Используем формулу для четверти дискриминанта $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac = 0$.
$D_1 = (-3)^2 - 3k(k - 2) = 0$.
$9 - (3k^2 - 6k) = 0$
$9 - 3k^2 + 6k = 0$
$-3k^2 + 6k + 9 = 0$.
Разделим на $-3$: $k^2 - 2k - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни $k_1 = 3$ и $k_2 = -1$.
Оба значения удовлетворяют условию $k \neq 0$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем значения $k$.
Ответ: $k \in \{-1, 0, 3\}$.

139. Не решая уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$, найдите:

а) сумму его корней;

б) произведение его корней;

в) сумму квадратов его корней;

г) сумму кубов его корней.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета, которая позволяет найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не вычисляя сами корни.

Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ теорема Виета утверждает, что:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a$

В заданном уравнении $3x^2 - 5x - 2 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -5$, $c = -2$.

а) сумму его корней

Используя формулу для суммы корней из теоремы Виета, получаем:

$x_1 + x_2 = -b/a = -(-5)/3 = 5/3$.

Ответ: $5/3$.

б) произведение его корней

Используя формулу для произведения корней из теоремы Виета, получаем:

$x_1 \cdot x_2 = c/a = -2/3$.

Ответ: $-2/3$.

в) сумму квадратов его корней

Чтобы найти сумму квадратов корней ($x_1^2 + x_2^2$), мы можем выразить ее через сумму и произведение корней, которые уже известны. Для этого воспользуемся тождеством:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим ранее найденные значения $x_1 + x_2 = 5/3$ и $x_1 \cdot x_2 = -2/3$:

$x_1^2 + x_2^2 = (5/3)^2 - 2 \cdot (-2/3) = 25/9 + 4/3$.

Приведем дроби к общему знаменателю 9:

$25/9 + 12/9 = 37/9$.

Ответ: $37/9$.

г) сумму кубов его корней

Для нахождения суммы кубов корней ($x_1^3 + x_2^3$) воспользуемся соответствующим тождеством, которое также выражается через сумму и произведение корней:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$.

Подставим известные значения $x_1 + x_2 = 5/3$ и $x_1 \cdot x_2 = -2/3$:

$x_1^3 + x_2^3 = (5/3)^3 - 3 \cdot (-2/3) \cdot (5/3) = 125/27 - (-2) \cdot (5/3) = 125/27 + 10/3$.

Приведем дроби к общему знаменателю 27:

$125/27 + 90/27 = (125 + 90)/27 = 215/27$.

Ответ: $215/27$.

Решите уравнения (140, 141).

140. а) $ \frac{6x - x^2 - 6}{x - 1} - \frac{2x - 3}{x - 1} = 1; $

б) $ \frac{2x + 1}{x} + \frac{4x}{2x + 1} = 5; $

в) $ \frac{2}{x^2 + 5x} + \frac{3}{2x - 10} = \frac{15}{x^2 - 25}; $

г) $ \frac{14}{x^2 - 4} + \frac{3}{(2 - x)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2}. $

140. а) $\frac{6x - x^2 - 6}{x-1} - \frac{2x-3}{x-1} = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x-1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

Так как у дробей в левой части уравнения одинаковые знаменатели, мы можем объединить их числители:

$\frac{(6x - x^2 - 6) - (2x-3)}{x-1} = 1$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{6x - x^2 - 6 - 2x + 3}{x-1} = 1$

$\frac{-x^2 + 4x - 3}{x-1} = 1$

Умножим обе части уравнения на $(x-1)$, учитывая, что $x \neq 1$:

$-x^2 + 4x - 3 = x-1$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$-x^2 + 4x - x - 3 + 1 = 0$

$-x^2 + 3x - 2 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Теперь необходимо проверить корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \neq 1$, следовательно, это посторонний корень. Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2

140. б) $\frac{2x+1}{x} + \frac{4x}{2x+1} = 5$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $2x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -0.5$.

Для решения этого уравнения удобно использовать замену переменной. Пусть $y = \frac{2x+1}{x}$.

Тогда второе слагаемое можно выразить через $y$. Заметим, что $\frac{x}{2x+1} = \frac{1}{y}$. Следовательно, $\frac{4x}{2x+1} = 4 \cdot \frac{x}{2x+1} = \frac{4}{y}$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$y + \frac{4}{y} = 5$

Умножим обе части на $y$ (при этом $y \neq 0$, что выполняется, так как $x \neq -0.5$):

$y^2 + 4 = 5y$

$y^2 - 5y + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 4$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $y$.

1) Если $y_1 = 1$:

$\frac{2x+1}{x} = 1$

$2x+1 = x$

$x = -1$

2) Если $y_2 = 4$:

$\frac{2x+1}{x} = 4$

$2x+1 = 4x$

$1 = 2x$

$x = 0.5$

Оба корня, $x = -1$ и $x = 0.5$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -0.5$).

Ответ: -1; 0,5

140. в) $\frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25}$

Сначала разложим знаменатели на множители:

$x^2+5x = x(x+5)$

$2x-10 = 2(x-5)$

$x^2-25 = (x-5)(x+5)$

Перепишем уравнение: $\frac{2}{x(x+5)} + \frac{3}{2(x-5)} = \frac{15}{(x-5)(x+5)}$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, значит $x \neq 0$, $x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$, $x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$.

Общий знаменатель для всех дробей: $2x(x-5)(x+5)$. Умножим обе части уравнения на него:

$2 \cdot 2(x-5) + 3 \cdot x(x+5) = 15 \cdot 2x$

Раскроем скобки и упростим:

$4(x-5) + 3x(x+5) = 30x$

$4x - 20 + 3x^2 + 15x = 30x$

$3x^2 + 19x - 20 = 30x$

Перенесем все в левую часть:

$3x^2 - 11x - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 19}{2 \cdot 3}$

$x_1 = \frac{11+19}{6} = \frac{30}{6} = 5$

$x_2 = \frac{11-19}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 5$ не удовлетворяет условию $x \neq 5$, это посторонний корень. Корень $x_2 = -\frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{4}{3}$

140. г) $\frac{14}{x^2-4} + \frac{3}{(2-x)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}$

Преобразуем знаменатели. Заметим, что $(2-x)^2 = (-(x-2))^2 = (x-2)^2$. Также $x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{14}{(x-2)(x+2)} + \frac{3}{(x-2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Общий знаменатель: $(x-2)^2(x+2)^2$. Умножим на него все члены уравнения:

$14(x-2)(x+2) + 3(x+2)^2 = 5(x-2)^2$

Раскроем скобки:

$14(x^2-4) + 3(x^2+4x+4) = 5(x^2-4x+4)$

$14x^2 - 56 + 3x^2 + 12x + 12 = 5x^2 - 20x + 20$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$17x^2 + 12x - 44 = 5x^2 - 20x + 20$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$17x^2 - 5x^2 + 12x + 20x - 44 - 20 = 0$

$12x^2 + 32x - 64 = 0$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

$3x^2 + 8x - 16 = 0$

Решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256 = 16^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 16}{2 \cdot 3}$

$x_1 = \frac{-8+16}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-8-16}{6} = \frac{-24}{6} = -4$

Оба корня, $x_1 = \frac{4}{3}$ и $x_2 = -4$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Ответ: -4; $\frac{4}{3}$

141. a) $ \frac{4}{x^2+4} + \frac{5}{x^2+5} = 2; $

б) $ 2x^4 - 5x^2 + 2 = 0; $

в) $ \left(\frac{x-1}{x}\right)^2 - 3\left(\frac{x-1}{x}\right) + 2 = 0; $

г) $ \frac{x^2+1}{x} + \frac{x}{x^2+1} = 2,5. $

а) $\frac{4}{x^2+4} + \frac{5}{x^2+5} = 2$
Это уравнение можно решить с помощью введения новой переменной. Пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$. Знаменатели $x^2+4$ и $x^2+5$ всегда положительны и не равны нулю.
Подставим $y$ в уравнение:
$\frac{4}{y+4} + \frac{5}{y+5} = 2$
Приведем дроби к общему знаменателю $(y+4)(y+5)$:
$\frac{4(y+5) + 5(y+4)}{(y+4)(y+5)} = 2$
$4(y+5) + 5(y+4) = 2(y+4)(y+5)$
Раскроем скобки и упростим:
$4y + 20 + 5y + 20 = 2(y^2 + 5y + 4y + 20)$
$9y + 40 = 2(y^2 + 9y + 20)$
$9y + 40 = 2y^2 + 18y + 40$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2y^2 + 18y - 9y + 40 - 40 = 0$
$2y^2 + 9y = 0$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(2y + 9) = 0$
Это дает два возможных решения для $y$:
$y_1 = 0$ или $2y_2 + 9 = 0 \implies y_2 = -4.5$
Теперь выполним обратную замену $y = x^2$.
1) Если $y_1 = 0$, то $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
2) Если $y_2 = -4.5$, то $x^2 = -4.5$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, единственным решением является $x=0$.
Проверка: $\frac{4}{0^2+4} + \frac{5}{0^2+5} = \frac{4}{4} + \frac{5}{5} = 1 + 1 = 2$. Равенство выполняется.
Ответ: $0$.

б) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$
Это биквадратное уравнение. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$, при этом $y \ge 0$.
Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:
$2y^2 - 5y + 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$
Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Оба значения $y$ положительны, поэтому удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену $x^2 = y$.
1) $x^2 = 2 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$.
2) $x^2 = \frac{1}{2} \implies x_{3,4} = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.
Ответ: $\pm\sqrt{2}; \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) $(\frac{x-1}{x})^2 - 3(\frac{x-1}{x}) + 2 = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ne 0$.
Введем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть $y = \frac{x-1}{x}$.
Уравнение примет вид:
$y^2 - 3y + 2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Корни легко находятся:
$y_1 = 1$ и $y_2 = 2$.
Выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
1) $\frac{x-1}{x} = 1$
$x - 1 = x$
$-1 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.
2) $\frac{x-1}{x} = 2$
$x - 1 = 2x$
$2x - x = -1$
$x = -1$
Найденный корень $x = -1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).
Проверка: При $x=-1$, выражение $\frac{x-1}{x} = \frac{-1-1}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2$. Подставляем в исходное уравнение: $2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$. Равенство выполняется.
Ответ: $-1$.

г) $\frac{x^2+1}{x} + \frac{x}{x^2+1} = 2.5$
ОДЗ: $x \ne 0$. Выражение $x^2+1$ всегда положительно при любом действительном $x$.
Заметим, что дроби в левой части уравнения являются взаимно обратными. Введем замену. Пусть $y = \frac{x^2+1}{x}$.
Тогда $\frac{x}{x^2+1} = \frac{1}{y}$.
Уравнение принимает вид:
$y + \frac{1}{y} = 2.5$
Представим 2.5 в виде обыкновенной дроби: $2.5 = \frac{5}{2}$.
$y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$
Умножим обе части уравнения на $2y$ (мы знаем, что $y \ne 0$, так как $x^2+1 \ne 0$):
$2y^2 + 2 = 5y$
$2y^2 - 5y + 2 = 0$
Это то же самое квадратное уравнение, что и в пункте б). Его корни:
$y_1 = 2$ и $y_2 = \frac{1}{2}$.
Выполним обратную замену.
1) $\frac{x^2+1}{x} = 2$
$x^2 + 1 = 2x$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x-1)^2 = 0$
$x-1 = 0 \implies x = 1$.
2) $\frac{x^2+1}{x} = \frac{1}{2}$
$2(x^2 + 1) = x$
$2x^2 + 2 = x$
$2x^2 - x + 2 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, единственным решением является $x = 1$.
Проверка: $\frac{1^2+1}{1} + \frac{1}{1^2+1} = \frac{2}{1} + \frac{1}{2} = 2 + 0.5 = 2.5$. Равенство выполняется.
Ответ: $1$.

Решите неравенства (142—144).

142. а) $2x^2 + 6x + 17 > 0;$

б) $x^2 - 3,2x < 0;$

в) $(3x - 2)^2 - 4x (2x - 3) \ge 0;$

г) $(6x - 1) (1 + 6x) + 14 < 7x (2 + 5x).$

а) Дано квадратичное неравенство $2x^2 + 6x + 17 > 0$. Для его решения рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 2x^2 + 6x + 17$. Графиком этой функции является парабола. Так как старший коэффициент $a = 2$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Определим, пересекает ли парабола ось абсцисс $Ox$, для чего найдем корни уравнения $2x^2 + 6x + 17 = 0$. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 17 = 36 - 136 = -100$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает и не касается оси $Ox$. Учитывая, что ветви параболы направлены вверх и она не имеет общих точек с осью $Ox$, вся парабола целиком расположена выше этой оси. Таким образом, для любого действительного значения $x$ выражение $2x^2 + 6x + 17$ принимает только положительные значения. Следовательно, неравенство $2x^2 + 6x + 17 > 0$ верно для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Для решения квадратичного неравенства $x^2 - 3,2x < 0$ сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3,2x = 0$. Разложим левую часть на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 3,2) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$ или $x - 3,2 = 0 \implies x_2 = 3,2$. Графиком функции $y = x^2 - 3,2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = 0$ и $x = 3,2$. Неравенство $x^2 - 3,2x < 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых функция $y$ отрицательна, то есть ее график лежит ниже оси $Ox$. Для параболы с ветвями вверх это условие выполняется на интервале между корнями. Таким образом, решением неравенства является интервал $0 < x < 3,2$.
Ответ: $(0; 3,2)$.

в) Дано неравенство $(3x - 2)^2 - 4x(2x - 3) \ge 0$. Сначала упростим левую часть неравенства. Для этого раскроем скобки. Выражение $(3x-2)^2$ является квадратом разности: $(3x-2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$. Второе слагаемое: $-4x(2x-3) = -8x^2 + 12x$. Подставим раскрытые выражения в исходное неравенство: $(9x^2 - 12x + 4) + (-8x^2 + 12x) \ge 0$. $9x^2 - 12x + 4 - 8x^2 + 12x \ge 0$. Приведем подобные члены: $(9x^2 - 8x^2) + (-12x + 12x) + 4 \ge 0$. $x^2 + 4 \ge 0$. Мы получили простое квадратичное неравенство. Выражение $x^2$ принимает неотрицательные значения для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 4, результат всегда будет положительным, а точнее, не меньшим 4. $x^2 \ge 0 \implies x^2 + 4 \ge 4$. Поскольку $4 > 0$, то неравенство $x^2 + 4 \ge 0$ справедливо для любого действительного $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Дано неравенство $(6x - 1)(1 + 6x) + 14 < 7x(2 + 5x)$. Упростим обе части неравенства. В левой части $(6x - 1)(1 + 6x)$ — это произведение разности и суммы двух выражений, которое равно разности их квадратов: $(6x - 1)(6x + 1) = (6x)^2 - 1^2 = 36x^2 - 1$. Тогда левая часть неравенства принимает вид: $36x^2 - 1 + 14 = 36x^2 + 13$. В правой части раскроем скобки: $7x(2 + 5x) = 7x \cdot 2 + 7x \cdot 5x = 14x + 35x^2$. Теперь неравенство выглядит так: $36x^2 + 13 < 14x + 35x^2$. Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные, чтобы получить квадратичное неравенство стандартного вида: $36x^2 + 13 - 14x - 35x^2 < 0$. Приведем подобные члены: $(36x^2 - 35x^2) - 14x + 13 < 0$. $x^2 - 14x + 13 < 0$. Для решения этого неравенства найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 14x + 13 = 0$. Воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть 14, а их произведение равно свободному члену, то есть 13. Легко видеть, что такими числами являются 1 и 13. Итак, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 13$. Графиком функции $y = x^2 - 14x + 13$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Эта парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x=1$ и $x=13$. Нас интересуют значения $x$, при которых $x^2 - 14x + 13 < 0$, то есть где парабола находится ниже оси $Ox$. Это происходит на интервале между корнями. Следовательно, решением неравенства является интервал $(1; 13)$.
Ответ: $(1; 13)$.