Номер 142, страница 296 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 142, страница 296.

Условие.

Решите неравенства (142—144).

142. а) $2x^2 + 6x + 17 > 0;$

б) $x^2 - 3,2x < 0;$

в) $(3x - 2)^2 - 4x (2x - 3) \ge 0;$

г) $(6x - 1) (1 + 6x) + 14 < 7x (2 + 5x).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Дано квадратичное неравенство $2x^2 + 6x + 17 > 0$. Для его решения рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 2x^2 + 6x + 17$. Графиком этой функции является парабола. Так как старший коэффициент $a = 2$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Определим, пересекает ли парабола ось абсцисс $Ox$, для чего найдем корни уравнения $2x^2 + 6x + 17 = 0$. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 17 = 36 - 136 = -100$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает и не касается оси $Ox$. Учитывая, что ветви параболы направлены вверх и она не имеет общих точек с осью $Ox$, вся парабола целиком расположена выше этой оси. Таким образом, для любого действительного значения $x$ выражение $2x^2 + 6x + 17$ принимает только положительные значения. Следовательно, неравенство $2x^2 + 6x + 17 > 0$ верно для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Для решения квадратичного неравенства $x^2 - 3,2x < 0$ сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3,2x = 0$. Разложим левую часть на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 3,2) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$ или $x - 3,2 = 0 \implies x_2 = 3,2$. Графиком функции $y = x^2 - 3,2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = 0$ и $x = 3,2$. Неравенство $x^2 - 3,2x < 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых функция $y$ отрицательна, то есть ее график лежит ниже оси $Ox$. Для параболы с ветвями вверх это условие выполняется на интервале между корнями. Таким образом, решением неравенства является интервал $0 < x < 3,2$.
Ответ: $(0; 3,2)$.

в) Дано неравенство $(3x - 2)^2 - 4x(2x - 3) \ge 0$. Сначала упростим левую часть неравенства. Для этого раскроем скобки. Выражение $(3x-2)^2$ является квадратом разности: $(3x-2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$. Второе слагаемое: $-4x(2x-3) = -8x^2 + 12x$. Подставим раскрытые выражения в исходное неравенство: $(9x^2 - 12x + 4) + (-8x^2 + 12x) \ge 0$. $9x^2 - 12x + 4 - 8x^2 + 12x \ge 0$. Приведем подобные члены: $(9x^2 - 8x^2) + (-12x + 12x) + 4 \ge 0$. $x^2 + 4 \ge 0$. Мы получили простое квадратичное неравенство. Выражение $x^2$ принимает неотрицательные значения для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 4, результат всегда будет положительным, а точнее, не меньшим 4. $x^2 \ge 0 \implies x^2 + 4 \ge 4$. Поскольку $4 > 0$, то неравенство $x^2 + 4 \ge 0$ справедливо для любого действительного $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Дано неравенство $(6x - 1)(1 + 6x) + 14 < 7x(2 + 5x)$. Упростим обе части неравенства. В левой части $(6x - 1)(1 + 6x)$ — это произведение разности и суммы двух выражений, которое равно разности их квадратов: $(6x - 1)(6x + 1) = (6x)^2 - 1^2 = 36x^2 - 1$. Тогда левая часть неравенства принимает вид: $36x^2 - 1 + 14 = 36x^2 + 13$. В правой части раскроем скобки: $7x(2 + 5x) = 7x \cdot 2 + 7x \cdot 5x = 14x + 35x^2$. Теперь неравенство выглядит так: $36x^2 + 13 < 14x + 35x^2$. Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные, чтобы получить квадратичное неравенство стандартного вида: $36x^2 + 13 - 14x - 35x^2 < 0$. Приведем подобные члены: $(36x^2 - 35x^2) - 14x + 13 < 0$. $x^2 - 14x + 13 < 0$. Для решения этого неравенства найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 14x + 13 = 0$. Воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть 14, а их произведение равно свободному члену, то есть 13. Легко видеть, что такими числами являются 1 и 13. Итак, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 13$. Графиком функции $y = x^2 - 14x + 13$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Эта парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x=1$ и $x=13$. Нас интересуют значения $x$, при которых $x^2 - 14x + 13 < 0$, то есть где парабола находится ниже оси $Ox$. Это происходит на интервале между корнями. Следовательно, решением неравенства является интервал $(1; 13)$.
Ответ: $(1; 13)$.