Номер 143, страница 297 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 143, страница 297.

Условие.

143. а) $\frac{(x-1)(x-2)}{x-3} \geq 0;$

б) $\frac{x^2+2x-3}{x^2-2x+8} \leq 0;$

В) $\frac{x-2}{(x-3)(x-5)} < 0;$

г) $\frac{x^2+5x+4}{x^2-5x-6} > 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Решим неравенство $ \frac{(x-1)(x-2)}{x-3} \ge 0 $ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x-1)(x-2) = 0$, откуда $x_1=1$, $x_2=2$. Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), эти точки включаются в решение и на числовой оси отмечаются закрашенными кружками.

Нуль знаменателя: $x-3 = 0$, откуда $x_3=3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка всегда исключается из решения и на числовой оси отмечается выколотым (пустым) кружком.

2. Отметим точки на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах: $(-\infty; 1]$, $[1; 2]$, $[2; 3)$, $(3; +\infty)$.

Возьмём пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=4$:
$ \frac{(4-1)(4-2)}{4-3} = \frac{3 \cdot 2}{1} = 6 > 0 $. Значит, в интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно.

Так как все корни имеют нечётную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться.

- Интервал $(3; +\infty)$: +
- Интервал $(2; 3)$: -
- Интервал $(1; 2)$: +
- Интервал $(-\infty; 1)$: -

3. Выберем интервалы, удовлетворяющие условию $ \ge 0 $. Это интервалы со знаком "+" и включённые в решение нули числителя.

Получаем объединение: $[1; 2] \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [1; 2] \cup (3; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{x^2+2x-3}{x^2-2x+8} \le 0 $.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2+2x-3$. Найдём корни уравнения $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета, $x_1=1$, $x_2=-3$.
Таким образом, $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$.

Знаменатель: $x^2-2x+8$. Найдём дискриминант уравнения $x^2-2x+8=0$:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28$.
Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, квадратный трёхчлен $x^2-2x+8$ положителен при любых значениях $x$.

2. Упростим неравенство.

Так как знаменатель $x^2-2x+8$ всегда положителен, мы можем умножить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства. Исходное неравенство равносильно неравенству:

$(x-1)(x+3) \le 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство методом интервалов.

Корни: $x=1$ и $x=-3$. Отметим их на числовой оси закрашенными кружками. Они разбивают ось на три интервала. Графиком функции $y=(x-1)(x+3)$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции неположительны ($ \le 0 $) между корнями.

Решением является отрезок $[-3; 1]$.

Ответ: $x \in [-3; 1]$.

в)

Решим неравенство $ \frac{x-2}{(x-3)(x-5)} < 0 $ методом интервалов.

1. Найдём нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x-2 = 0$, откуда $x_1=2$.
Нули знаменателя: $(x-3)(x-5)=0$, откуда $x_2=3$, $x_3=5$.

Так как неравенство строгое ($ < $), все точки будут выколотыми.

2. Отметим точки на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$, $(3; 5)$, $(5; +\infty)$.

Возьмём пробную точку $x=6$:
$ \frac{6-2}{(6-3)(6-5)} = \frac{4}{3 \cdot 1} > 0$. В крайнем правом интервале знак "+".

Все корни имеют нечётную кратность, поэтому знаки чередуются:

- Интервал $(5; +\infty)$: +
- Интервал $(3; 5)$: -
- Интервал $(2; 3)$: +
- Интервал $(-\infty; 2)$: -

3. Выберем интервалы, удовлетворяющие условию $ < 0 $. Это интервалы со знаком "-".

Получаем объединение: $(-\infty; 2) \cup (3; 5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; 5)$.

г)

Решим неравенство $ \frac{x^2+5x+4}{x^2-5x-6} > 0 $.

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2+5x+4=0$. По теореме Виета, корни $x_1=-1$, $x_2=-4$.
$x^2+5x+4 = (x+1)(x+4)$.

Знаменатель: $x^2-5x-6=0$. По теореме Виета, корни $x_1=6$, $x_2=-1$.
$x^2-5x-6 = (x-6)(x+1)$.

2. Перепишем неравенство в виде:

$ \frac{(x+1)(x+4)}{(x-6)(x+1)} > 0 $

3. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, т.е. $x \ne 6$ и $x \ne -1$.

При $x \ne -1$ можно сократить дробь на $(x+1)$:

$ \frac{x+4}{x-6} > 0 $

4. Решим полученное простое неравенство методом интервалов.

Нули: $x=-4$ и $x=6$. Отметим их на числовой оси выколотыми точками. Они разбивают ось на три интервала.

- Интервал $(6; +\infty)$: при $x=7$ имеем $\frac{7+4}{7-6} = 11 > 0$. Знак "+".
- Интервал $(-4; 6)$: знак "-".
- Интервал $(-\infty; -4)$: знак "+".

Выбираем интервалы со знаком "+": $(-\infty; -4) \cup (6; +\infty)$.

5. Учтём ОДЗ. Точка $x=-1$ не входит в найденное решение, поэтому оно остаётся без изменений.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (6; +\infty)$.