Номер 150, страница 297 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 150, страница 297.

Условие.

Решите неравенства (150, 151).

150. a) $\sqrt{x^2 - 5} \ge 2;$

б) $\sqrt{(x-2)(1-2x)} > -1;$

в) $\sqrt{x^2 - 16} \ge 1;$

г) $(\sqrt{x-3})(x^2+1) > 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 - 5} \ge 2$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 5 \ge 0$
$x^2 \ge 5$
Это выполняется при $x \le -\sqrt{5}$ или $x \ge \sqrt{5}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$.
2. Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x^2 - 5})^2 \ge 2^2$
$x^2 - 5 \ge 4$
$x^2 \ge 9$
Это выполняется при $x \le -3$ или $x \ge 3$. Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
3. Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Сравним числа: $3 = \sqrt{9}$, а $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, следовательно $3 > \sqrt{5}$. Аналогично, $-3 < -\sqrt{5}$.
Пересечением множеств $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$ и $(-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$ является множество $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

б) Исходное неравенство: $\sqrt{(x-2)(1-2x)} > -1$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$(x-2)(1-2x) \ge 0$
Найдем корни выражения $(x-2)(1-2x)$: $x-2=0 \implies x_1 = 2$; $1-2x=0 \implies x_2 = 1/2$.
Графиком функции $y = (x-2)(1-2x) = -2x^2 + 5x - 2$ является парабола с ветвями вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен (-2). Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения между корнями.
ОДЗ: $x \in [1/2, 2]$.
2. Решим само неравенство. Арифметический квадратный корень по определению всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{(x-2)(1-2x)} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ.
Любое неотрицательное число всегда больше, чем любое отрицательное число, в частности, больше -1. Следовательно, неравенство $\sqrt{(x-2)(1-2x)} > -1$ выполняется для всех значений $x$, при которых левая часть определена.
3. Таким образом, решение неравенства совпадает с его областью допустимых значений.
Ответ: $x \in [1/2, 2]$.

в) Исходное неравенство: $\sqrt{x^2 - 16} \ge 1$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x^2 - 16 \ge 0$
$x^2 \ge 16$
Это выполняется при $x \le -4$ или $x \ge 4$. ОДЗ: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.
2. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому возведем их в квадрат:
$(\sqrt{x^2 - 16})^2 \ge 1^2$
$x^2 - 16 \ge 1$
$x^2 \ge 17$
Это выполняется при $x \le -\sqrt{17}$ или $x \ge \sqrt{17}$. Решение: $x \in (-\infty, -\sqrt{17}] \cup [\sqrt{17}, \infty)$.
3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Сравним числа: $\sqrt{17} > \sqrt{16} = 4$ и, соответственно, $-\sqrt{17} < -\sqrt{16} = -4$.
Интервал $(-\infty, -\sqrt{17}]$ полностью содержится в интервале $(-\infty, -4]$.
Интервал $[\sqrt{17}, \infty)$ полностью содержится в интервале $[4, \infty)$.
Таким образом, пересечением является множество $(-\infty, -\sqrt{17}] \cup [\sqrt{17}, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{17}] \cup [\sqrt{17}, \infty)$.

г) Исходное неравенство: $(\sqrt{x}-3)(x^2+1) > 0$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x \ge 0$, то есть ОДЗ: $x \in [0, \infty)$.
2. Проанализируем множители в левой части неравенства. Выражение $x^2+1$ всегда положительно при любых действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $x^2+1 \ge 1$.
Поскольку множитель $(x^2+1)$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:
$\frac{(\sqrt{x}-3)(x^2+1)}{x^2+1} > \frac{0}{x^2+1}$
$\sqrt{x}-3 > 0$
$\sqrt{x} > 3$
3. Так как обе части полученного неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 > 3^2$
$x > 9$.
4. Совместим полученное решение с ОДЗ. Решение $x > 9$ (или $x \in (9, \infty)$) полностью входит в ОДЗ $x \ge 0$ (или $x \in [0, \infty)$).
Ответ: $x \in (9, \infty)$.