Номер 153, страница 298 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 153, страница 298.

Условие.

153. a) $\sin^3 x - \cos^3 x = 1 + \frac{\sin 2x}{2}$;

б) $\cos \left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \cos \left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 1$;

в) $\cos^4 x - \sin^4 x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\sin \left(\frac{\pi}{6} + x\right) - \sin \left(\frac{\pi}{6} - x\right) = 1$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\sin^3 x - \cos^3 x = 1 + \frac{\sin 2x}{2}$
Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
Левая часть уравнения: $\sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x)$.
Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x)$.
Правая часть уравнения: $1 + \frac{2 \sin x \cos x}{2} = 1 + \sin x \cos x$.
Уравнение принимает вид:
$(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x) = 1 + \sin x \cos x$.
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(1 + \sin x \cos x)$ за скобки:
$(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x) - (1 + \sin x \cos x) = 0$
$(1 + \sin x \cos x)(\sin x - \cos x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $1 + \sin x \cos x = 0$
$1 + \frac{1}{2} \sin 2x = 0$
$\sin 2x = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.
2) $\sin x - \cos x - 1 = 0$
$\sin x - \cos x = 1$
Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
По формуле синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Отсюда получаем два семейства решений:
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = 1$
Применим формулу суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{4} + x$ и $\beta = \frac{\pi}{4} - x$.
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} + x + \frac{\pi}{4} - x}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + x) - (\frac{\pi}{4} - x)}{2} = \frac{2x}{2} = x$.
Подставляем в уравнение:
$2 \cos\frac{\pi}{4} \cos x = 1$
Так как $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$
$\sqrt{2} \cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Решением этого уравнения является:
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos^4 x - \sin^4 x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)$.
Применяя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, получаем:
$(\cos 2x) \cdot 1 = \cos 2x$.
Уравнение принимает вид:
$\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$2x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$
$2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
Разделим обе части на 2:
$x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = 1$
Применим формулу разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{6} + x$ и $\beta = \frac{\pi}{6} - x$.
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} + x + \frac{\pi}{6} - x}{2} = \frac{\frac{2\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + x) - (\frac{\pi}{6} - x)}{2} = \frac{2x}{2} = x$.
Подставляем в уравнение:
$2 \cos\frac{\pi}{6} \sin x = 1$
Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = 1$
$\sqrt{3} \sin x = 1$
$\sin x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Решением этого уравнения является:
$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.