Номер 154, страница 298 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 154, страница 298.

Условие.

154. a) $\cos 4x + 2 \cos^2 x = 1$;

б) $4 (1 + \cos x) = 3 \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$;

в) $\cos 3x + \sin x \sin 2x = 0$;

г) $4 (1 - \cos x) = 3 \sin \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Исходное уравнение: $cos 4x + 2 cos^2 x = 1$.

Используем формулу понижения степени для косинуса $2 cos^2 x = 1 + cos 2x$. Подставим ее в уравнение:

$cos 4x + (1 + cos 2x) = 1$

$cos 4x + cos 2x = 0$

Теперь применим формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$:

$2 cos \frac{4x + 2x}{2} cos \frac{4x - 2x}{2} = 0$

$2 cos 3x \cdot cos x = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $cos 3x = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Например, при $k=1$ в первой формуле получаем $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$, что соответствует второму решению при $n=0$. В общем виде, если $k = 1 + 3n$, то $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi(1+3n)}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Таким образом, все решения второго случая содержатся в первом.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $4(1 + cos x) = 3 sin^2 \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$.

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + cos x = 2 cos^2 \frac{x}{2}$.

$4 \cdot (2 cos^2 \frac{x}{2}) = 3 sin^2 \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$

$8 cos^2 \frac{x}{2} = 3 sin^2 \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:

$8 cos^2 \frac{x}{2} - 3 sin^2 \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} = 0$

$cos \frac{x}{2} (8 cos \frac{x}{2} - 3 sin^2 \frac{x}{2}) = 0$

Получаем два случая:

1) $cos \frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $8 cos \frac{x}{2} - 3 sin^2 \frac{x}{2} = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha$:

$8 cos \frac{x}{2} - 3(1 - cos^2 \frac{x}{2}) = 0$

$8 cos \frac{x}{2} - 3 + 3 cos^2 \frac{x}{2} = 0$

$3 cos^2 \frac{x}{2} + 8 cos \frac{x}{2} - 3 = 0$

Сделаем замену $t = cos \frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.

$3t^2 + 8t - 3 = 0$

Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.

$t_1 = \frac{-8 - 10}{6} = -3$ (не подходит, так как $|t| \le 1$).

$t_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Возвращаемся к замене:

$cos \frac{x}{2} = \frac{1}{3}$

$\frac{x}{2} = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm 2 arccos(\frac{1}{3}) + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm 2 arccos(\frac{1}{3}) + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $cos 3x + sin x sin 2x = 0$.

Используем формулу произведения синусов $sin \alpha sin \beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$.

$sin x sin 2x = \frac{1}{2}(cos(2x - x) - cos(2x + x)) = \frac{1}{2}(cos x - cos 3x)$.

Подставим в уравнение:

$cos 3x + \frac{1}{2}(cos x - cos 3x) = 0$

$cos 3x + \frac{1}{2}cos x - \frac{1}{2}cos 3x = 0$

$\frac{1}{2}cos 3x + \frac{1}{2}cos x = 0$

$cos 3x + cos x = 0$

Используем формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$:

$2 cos \frac{3x + x}{2} cos \frac{3x - x}{2} = 0$

$2 cos 2x \cdot cos x = 0$

Получаем два случая:

1) $cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений не пересекаются.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $4(1 - cos x) = 3 sin \frac{x}{2} cos^2 \frac{x}{2}$.

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 - cos x = 2 sin^2 \frac{x}{2}$.

$4 \cdot (2 sin^2 \frac{x}{2}) = 3 sin \frac{x}{2} cos^2 \frac{x}{2}$

$8 sin^2 \frac{x}{2} = 3 sin \frac{x}{2} cos^2 \frac{x}{2}$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:

$8 sin^2 \frac{x}{2} - 3 sin \frac{x}{2} cos^2 \frac{x}{2} = 0$

$sin \frac{x}{2} (8 sin \frac{x}{2} - 3 cos^2 \frac{x}{2}) = 0$

Получаем два случая:

1) $sin \frac{x}{2} = 0$

$\frac{x}{2} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

2) $8 sin \frac{x}{2} - 3 cos^2 \frac{x}{2} = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha$:

$8 sin \frac{x}{2} - 3(1 - sin^2 \frac{x}{2}) = 0$

$8 sin \frac{x}{2} - 3 + 3 sin^2 \frac{x}{2} = 0$

$3 sin^2 \frac{x}{2} + 8 sin \frac{x}{2} - 3 = 0$

Сделаем замену $t = sin \frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.

$3t^2 + 8t - 3 = 0$

Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.

$t_1 = \frac{-8 - 10}{6} = -3$ (не подходит, так как $|t| \le 1$).

$t_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Возвращаемся к замене:

$sin \frac{x}{2} = \frac{1}{3}$

$\frac{x}{2} = (-1)^n arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = 2(-1)^n arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = 2(-1)^n arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.