Номер 154, страница 298 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 154, страница 298.
№154 (с. 298)
Условие. №154 (с. 298)
скриншот условия

154. a) $\cos 4x + 2 \cos^2 x = 1$;
б) $4 (1 + \cos x) = 3 \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$;
в) $\cos 3x + \sin x \sin 2x = 0$;
г) $4 (1 - \cos x) = 3 \sin \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}$.
Решение 1. №154 (с. 298)

Решение 3. №154 (с. 298)

Решение 5. №154 (с. 298)
а)
Исходное уравнение: $cos 4x + 2 cos^2 x = 1$.
Используем формулу понижения степени для косинуса $2 cos^2 x = 1 + cos 2x$. Подставим ее в уравнение:
$cos 4x + (1 + cos 2x) = 1$
$cos 4x + cos 2x = 0$
Теперь применим формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$:
$2 cos \frac{4x + 2x}{2} cos \frac{4x - 2x}{2} = 0$
$2 cos 3x \cdot cos x = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $cos 3x = 0$
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$
2) $cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Например, при $k=1$ в первой формуле получаем $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$, что соответствует второму решению при $n=0$. В общем виде, если $k = 1 + 3n$, то $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi(1+3n)}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Таким образом, все решения второго случая содержатся в первом.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.
б)
Исходное уравнение: $4(1 + cos x) = 3 sin^2 \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$.
Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + cos x = 2 cos^2 \frac{x}{2}$.
$4 \cdot (2 cos^2 \frac{x}{2}) = 3 sin^2 \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$
$8 cos^2 \frac{x}{2} = 3 sin^2 \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}$
Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:
$8 cos^2 \frac{x}{2} - 3 sin^2 \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} = 0$
$cos \frac{x}{2} (8 cos \frac{x}{2} - 3 sin^2 \frac{x}{2}) = 0$
Получаем два случая:
1) $cos \frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
2) $8 cos \frac{x}{2} - 3 sin^2 \frac{x}{2} = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha$:
$8 cos \frac{x}{2} - 3(1 - cos^2 \frac{x}{2}) = 0$
$8 cos \frac{x}{2} - 3 + 3 cos^2 \frac{x}{2} = 0$
$3 cos^2 \frac{x}{2} + 8 cos \frac{x}{2} - 3 = 0$
Сделаем замену $t = cos \frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.
$3t^2 + 8t - 3 = 0$
Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.
$t_1 = \frac{-8 - 10}{6} = -3$ (не подходит, так как $|t| \le 1$).
$t_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Возвращаемся к замене:
$cos \frac{x}{2} = \frac{1}{3}$
$\frac{x}{2} = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm 2 arccos(\frac{1}{3}) + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm 2 arccos(\frac{1}{3}) + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
в)
Исходное уравнение: $cos 3x + sin x sin 2x = 0$.
Используем формулу произведения синусов $sin \alpha sin \beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$.
$sin x sin 2x = \frac{1}{2}(cos(2x - x) - cos(2x + x)) = \frac{1}{2}(cos x - cos 3x)$.
Подставим в уравнение:
$cos 3x + \frac{1}{2}(cos x - cos 3x) = 0$
$cos 3x + \frac{1}{2}cos x - \frac{1}{2}cos 3x = 0$
$\frac{1}{2}cos 3x + \frac{1}{2}cos x = 0$
$cos 3x + cos x = 0$
Используем формулу суммы косинусов $cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$:
$2 cos \frac{3x + x}{2} cos \frac{3x - x}{2} = 0$
$2 cos 2x \cdot cos x = 0$
Получаем два случая:
1) $cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$
2) $cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Эти две серии решений не пересекаются.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
г)
Исходное уравнение: $4(1 - cos x) = 3 sin \frac{x}{2} cos^2 \frac{x}{2}$.
Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 - cos x = 2 sin^2 \frac{x}{2}$.
$4 \cdot (2 sin^2 \frac{x}{2}) = 3 sin \frac{x}{2} cos^2 \frac{x}{2}$
$8 sin^2 \frac{x}{2} = 3 sin \frac{x}{2} cos^2 \frac{x}{2}$
Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:
$8 sin^2 \frac{x}{2} - 3 sin \frac{x}{2} cos^2 \frac{x}{2} = 0$
$sin \frac{x}{2} (8 sin \frac{x}{2} - 3 cos^2 \frac{x}{2}) = 0$
Получаем два случая:
1) $sin \frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
2) $8 sin \frac{x}{2} - 3 cos^2 \frac{x}{2} = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha$:
$8 sin \frac{x}{2} - 3(1 - sin^2 \frac{x}{2}) = 0$
$8 sin \frac{x}{2} - 3 + 3 sin^2 \frac{x}{2} = 0$
$3 sin^2 \frac{x}{2} + 8 sin \frac{x}{2} - 3 = 0$
Сделаем замену $t = sin \frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.
$3t^2 + 8t - 3 = 0$
Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.
$t_1 = \frac{-8 - 10}{6} = -3$ (не подходит, так как $|t| \le 1$).
$t_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Возвращаемся к замене:
$sin \frac{x}{2} = \frac{1}{3}$
$\frac{x}{2} = (-1)^n arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$x = 2(-1)^n arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = 2(-1)^n arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 154 расположенного на странице 298 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №154 (с. 298), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.