Номер 149, страница 297 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств - номер 149, страница 297.

Условие.

149. a) $\sqrt{225 + x^2} = x^2 - 47;$

Б) $\sqrt{x^2 + 36} = x^2 - 54;$

б) $\sqrt[3]{x - 2} = x - 2;$

Г) $\sqrt[3]{x^3 - 5x^2 + 16x - 5} = x - 2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\sqrt{225 + x^2} = x^2 - 47$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем $225 + x^2$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $x^2 - 47 \ge 0$, откуда $x^2 \ge 47$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{225 + x^2})^2 = (x^2 - 47)^2$
$225 + x^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 47 + 47^2$
$225 + x^2 = x^4 - 94x^2 + 2209$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное уравнение:
$x^4 - 94x^2 - x^2 + 2209 - 225 = 0$
$x^4 - 95x^2 + 1984 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Учитывая ОДЗ ($x^2 \ge 47$), получаем условие $y \ge 47$.
$y^2 - 95y + 1984 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-95)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1984 = 9025 - 7936 = 1089 = 33^2$
$y_1 = \frac{-(-95) + 33}{2 \cdot 1} = \frac{95 + 33}{2} = \frac{128}{2} = 64$
$y_2 = \frac{-(-95) - 33}{2 \cdot 1} = \frac{95 - 33}{2} = \frac{62}{2} = 31$
Теперь проверим найденные значения $y$ на соответствие условию $y \ge 47$.
$y_1 = 64$ удовлетворяет условию ($64 \ge 47$).
$y_2 = 31$ не удовлетворяет условию ($31 < 47$), поэтому этот корень является посторонним.
Вернемся к замене для $y_1=64$:
$x^2 = 64$
$x = \pm\sqrt{64}$, откуда $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ $x^2 \ge 47$, так как $(\pm8)^2 = 64 \ge 47$.

Ответ: $\pm 8$.

б) $\sqrt[3]{x-2} = x-2$

Поскольку корень кубический, область допустимых значений — все действительные числа.Возведем обе части уравнения в куб:
$(\sqrt[3]{x-2})^3 = (x-2)^3$
$x-2 = (x-2)^3$
Перенесем все члены в одну сторону:
$(x-2)^3 - (x-2) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:
$(x-2) \cdot ((x-2)^2 - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1. $x - 2 = 0 \implies x = 2$.
2. $(x - 2)^2 - 1 = 0 \implies (x-2)^2 = 1 \implies x-2 = \pm 1$.
Из $x-2=1$ следует $x=3$.
Из $x-2=-1$ следует $x=1$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $1; 2; 3$.

в) $\sqrt{x^2+36} = x^2 - 54$

Как и в задаче (а), найдем ОДЗ.1. $x^2 + 36 > 0$ для любого $x$.2. Правая часть должна быть неотрицательной: $x^2 - 54 \ge 0$, то есть $x^2 \ge 54$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x^2+36})^2 = (x^2 - 54)^2$
$x^2 + 36 = x^4 - 108x^2 + 2916$
Приведем к стандартному виду:
$x^4 - 108x^2 - x^2 + 2916 - 36 = 0$
$x^4 - 109x^2 + 2880 = 0$
Сделаем замену $y = x^2$ с учетом ОДЗ $y \ge 54$.
$y^2 - 109y + 2880 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = (-109)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2880 = 11881 - 11520 = 361 = 19^2$
$y_1 = \frac{109 + 19}{2} = \frac{128}{2} = 64$
$y_2 = \frac{109 - 19}{2} = \frac{90}{2} = 45$
Проверим корни по условию $y \ge 54$.
$y_1 = 64$ подходит ($64 \ge 54$).
$y_2 = 45$ не подходит ($45 < 54$).
Выполним обратную замену для $y_1=64$:
$x^2 = 64 \implies x = \pm 8$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ $x^2 \ge 54$, так как $(\pm8)^2 = 64 \ge 54$.

Ответ: $\pm 8$.

г) $\sqrt[3]{x^3 - 5x^2 + 16x - 5} = x - 2$

ОДЗ для кубического корня — все действительные числа.
Возведем обе части уравнения в куб:
$x^3 - 5x^2 + 16x - 5 = (x - 2)^3$
Раскроем куб разности в правой части по формуле $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$x^3 - 5x^2 + 16x - 5 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3$
$x^3 - 5x^2 + 16x - 5 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$
Сократим $x^3$ в обеих частях и перенесем все члены в левую часть:
$(-5x^2 + 6x^2) + (16x - 12x) + (-5 + 8) = 0$
$x^2 + 4x + 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $3$. Подбором находим корни:
$x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

Ответ: $-3; -1$.