Номер 147, страница 297 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств. Глава 5. Задачи на повторение - номер 147, страница 297.

Условие.

147. a) $\sqrt{x+17} - \sqrt{x-7} = 4$;

B) $\sqrt{x+7} + \sqrt{x-2} = 9$;

б) $12\sqrt{x-1} - \sqrt[4]{x-1} = 3$;

г) $2\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[6]{x+1} = 6$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Решим иррациональное уравнение $\sqrt{x+17} - \sqrt{x-7} = 4$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$x+17 \ge 0 \implies x \ge -17$

$x-7 \ge 0 \implies x \ge 7$

Пересечением этих условий является $x \ge 7$.

2. Уединим один из корней в левой части уравнения:

$\sqrt{x+17} = 4 + \sqrt{x-7}$

3. Возведем обе части уравнения в квадрат. Так как обе части уравнения неотрицательны при $x \ge 7$, это преобразование является равносильным.

$(\sqrt{x+17})^2 = (4 + \sqrt{x-7})^2$

$x+17 = 16 + 8\sqrt{x-7} + (x-7)$

$x+17 = 9 + x + 8\sqrt{x-7}$

4. Упростим уравнение и снова уединим корень:

$17 - 9 = 8\sqrt{x-7}$

$8 = 8\sqrt{x-7}$

$1 = \sqrt{x-7}$

5. Еще раз возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x-7})^2$

$1 = x-7$

$x = 8$

6. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. $8 \ge 7$, условие выполняется.

Подставим $x=8$ в исходное уравнение:

$\sqrt{8+17} - \sqrt{8-7} = \sqrt{25} - \sqrt{1} = 5 - 1 = 4$.

$4 = 4$. Равенство верное.

Ответ: $x=8$.

в)

Решим иррациональное уравнение $\sqrt{x+7} + \sqrt{x-2} = 9$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x+7 \ge 0 \implies x \ge -7$

$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$

Пересечением этих условий является $x \ge 2$.

2. Уединим один из корней:

$\sqrt{x+7} = 9 - \sqrt{x-2}$

3. Возведем обе части в квадрат. Левая часть неотрицательна. Для равносильности преобразования правая часть также должна быть неотрицательной: $9 - \sqrt{x-2} \ge 0 \implies \sqrt{x-2} \le 9 \implies x-2 \le 81 \implies x \le 83$.

$(\sqrt{x+7})^2 = (9 - \sqrt{x-2})^2$

$x+7 = 81 - 18\sqrt{x-2} + (x-2)$

$x+7 = 79 + x - 18\sqrt{x-2}$

4. Упростим и уединим оставшийся корень:

$7 - 79 = -18\sqrt{x-2}$

$-72 = -18\sqrt{x-2}$

$4 = \sqrt{x-2}$

5. Снова возведем в квадрат:

$4^2 = (\sqrt{x-2})^2$

$16 = x-2$

$x = 18$

6. Проверим корень. $18 \ge 2$ (условие ОДЗ выполняется) и $18 \le 83$ (условие для возведения в квадрат выполняется).

Подставим $x=18$ в исходное уравнение:

$\sqrt{18+7} + \sqrt{18-2} = \sqrt{25} + \sqrt{16} = 5 + 4 = 9$.

$9 = 9$. Равенство верное.

Ответ: $x=18$.

б)

Решим уравнение $12\sqrt{x-1} - \sqrt[4]{x-1} = 3$.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем четвертой степени должно быть неотрицательным:

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. Введем замену. Пусть $y = \sqrt[4]{x-1}$. Тогда $y \ge 0$ и $\sqrt{x-1} = (\sqrt[4]{x-1})^2 = y^2$.

Подставим замену в уравнение:

$12y^2 - y = 3$

$12y^2 - y - 3 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(12)(-3) = 1 + 144 = 145$.

Корни уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{145}}{24}$.

Получаем два корня для $y$:

$y_1 = \frac{1 + \sqrt{145}}{24}$ и $y_2 = \frac{1 - \sqrt{145}}{24}$.

4. Учтем условие $y \ge 0$.

Корень $y_1 = \frac{1 + \sqrt{145}}{24} > 0$, так как $\sqrt{145} > 0$. Этот корень нам подходит.

Корень $y_2 = \frac{1 - \sqrt{145}}{24} < 0$, так как $\sqrt{145} > \sqrt{1} = 1$. Этот корень не удовлетворяет условию $y \ge 0$ и является посторонним.

5. Сделаем обратную замену для $y_1$:

$\sqrt[4]{x-1} = \frac{1 + \sqrt{145}}{24}$

Возведем обе части в четвертую степень:

$x-1 = \left(\frac{1 + \sqrt{145}}{24}\right)^4$

$x = 1 + \left(\frac{1 + \sqrt{145}}{24}\right)^4$

6. Найденное значение $x$ очевидно больше 1, так как к 1 прибавляется положительное число. Следовательно, корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 1 + \left(\frac{1 + \sqrt{145}}{24}\right)^4$.

г)

Решим уравнение $2\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[6]{x+1} = 6$.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем шестой степени должно быть неотрицательным:

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

2. Введем замену. Пусть $y = \sqrt[6]{x+1}$. Тогда $y \ge 0$ и $\sqrt[3]{x+1} = (\sqrt[6]{x+1})^2 = y^2$.

Подставим замену в уравнение:

$2y^2 - y = 6$

$2y^2 - y - 6 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}$.

Получаем два корня для $y$:

$y_1 = \frac{1+7}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y_2 = \frac{1-7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

4. Учтем условие $y \ge 0$. Корень $y_1 = 2$ подходит, а корень $y_2 = -3/2$ не подходит, так как он отрицательный.

5. Выполним обратную замену для $y=2$:

$\sqrt[6]{x+1} = 2$

Возведем обе части в шестую степень:

$x+1 = 2^6$

$x+1 = 64$

$x = 63$

6. Проверим корень. $63 \ge -1$, условие ОДЗ выполняется.

Подставим $x=63$ в исходное уравнение:

$2\sqrt[3]{63+1} - \sqrt[6]{63+1} = 2\sqrt[3]{64} - \sqrt[6]{64} = 2 \cdot 4 - 2 = 8 - 2 = 6$.

$6 = 6$. Равенство верное.

Ответ: $x=63$.